二面角求法及經典題型歸納(編輯修改稿)
2025-04-20 06:31 本頁面
【文章內容簡介】 ) ：在AB上存在一點Q,使PQ⊥OA,并計算=的值；(Ⅱ) 求二面角OACB的平面角的余弦值. （II）解連結PN，PO.由OC⊥OA，OC⊥OB知，OC⊥平面OAB，又平面OAB，∴OC⊥ON，又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC，∴OP是NP在平面AOC內的射影，在等腰中，P為AC的中點，根據三垂線定理，知：AC⊥NP.為二面角O—AC—B的平面角，在等腰中，OC=OA=1，在例4（2010重慶市理，19題12分）如題（19）圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，點E是棱PB的中點。（I） 求直線AD與平面PBC的距離；[來源:]（II） 若AD=，求二面角AECD的平面角的余弦值。解（Ⅰ）在矩形中，,從而,故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離.因由,故為等腰直角三角形，而點E是棱的中點，所以.又在矩形ABCD中，,而是在底面內的射影，由三垂線定理得,從而，故因，,且C點為AC的中點.連接則在所以練習（2008天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大?。治觯罕绢}是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABCD，點P 就是二面角PBDA的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）三．補棱法ABCEDP本法是針對在解構成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決 例1（2008湖南）如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60176。，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB。（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長AD、BE相交于點F，連結PF.）。（Ⅰ）證略ABCEDPFGH解: （Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結PF.過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60176。，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.則AG⊥，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中， 所以，在Rt△AHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是例2. （2010廣東省卷理18題，14分）如圖5，是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分
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