二次函數(shù)中的面積計算問題(包含鉛垂高)(編輯修改稿)
2025-04-20 06:24 本頁面
【文章內容簡介】 知：t1，t2是方程t 2＋2t－24＝0，的兩個實數(shù)根，且t1＜t2，拋物線y＝x 2＋bx＋c的圖象經過點A（t1，0），B（0，t2）．（1）求這個拋物線的解析式；（2）設點P（x，y）是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形，求□OPAQ的面積S與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；BAOQPxy（3）在（2）的條件下，當□OPAQ的面積為24時，是否存在這樣的點P，使□OPAQ為正方形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．10．如圖，已知拋物線y＝ax 2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的負半軸上，線段OA、OC的長（OA＜OC）是方程x 2－5x＋4＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝1．（1）求A、B、C三點的坐標；（2）求此拋物線的解析式；yxBDOAEC（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DE∥BC交AC于點E，連結CD，設BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90176。，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3 : 4．動點P從A出發(fā)以2厘米/秒的速度沿AB方向向點B運動，動點Q從點B出發(fā)以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向點D運動，兩個動點同時出發(fā)，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止．設動點運動的時間為t秒．（1）求邊BC的長；（2）當t為何值時，PC與BQ相互平分；（3）連結PQ ，設△PBQ的面積為y，探求y與t的函數(shù)關系式，CcDcAcBcQcPc求t為何值時，y有最大值？最大值是多少？12．如圖①，已知拋物線y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）與x軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；OCABxyM（圖①）OCABxy（圖②）（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．13．如圖，已知拋物線y＝a(x－1)2＋(a≠0)經過點A(－2，0)，拋物線的頂點為D，過O作射線OM∥AD．過頂點D平行于軸的直線交射線OM于點C，B在軸正半軸上，連結BC．（1）求該拋物線的解析式；（2）若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設點P運動的時間為t（s）．問：當t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB，動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設它們的運動的時間為t（s），連接PQ，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小？并求出最小值及此時PQ的長．DCMyOABQPx14．如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點A的直線y＝－x＋m與x軸交于點E．（1）求點E的坐標；（2）求過A、O、E三點的拋物線解析式；yxBAOE（3）若點P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點（不與A、E重合），設四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．15．已知二次函數(shù)的圖象經過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B.（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N. 將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN. 在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒. 求S關于t的函數(shù)關系式. OPCBAxy圖1圖2MOAxPNCBy二次函數(shù)中的面積計算問題參考答案 3. 4. 8：（1）如圖1，過點B作BM⊥x軸于M．由旋轉性質知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120176。，∴∠BOM＝60176。．AxyBO圖1M∴OM＝OBcos60176。＝2＝1，BM＝OBsin60176。＝2＝．∴點B的坐標為(1，)． （2）設經過A、O、B三點的拋物線的解析式為y＝ax 2＋bx＋c∵拋物線過原點，∴c＝0．∴ 解得∴所求拋物線的解析式為y＝x 2＋x． （3）存在． 如圖2，連接AB，交拋物線的對稱軸于點C，連接OC．∵OB的長為定值，∴要使△BOC的周長最小，必須BC＋OC的長最小．∵點A與點O關于拋物線的對稱軸對稱，∴OC＝AC．∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．由“兩點之間，線段最短”的原理可知：此時BC＋OC最小，點C的位置即為所求．設直線AB的解析式為y＝kx＋m，將A(－2，0)，B(1，)代入，得AxyBO圖2C 解得∴直線AB的解析式為y＝x＋．拋物線的對稱軸為直線x＝＝－1，即x＝－1．將x＝－1代入直線AB的解析式，得y＝(－1)＋＝．∴點C的坐標為(－1，)． （4）△PAB有最大面積． AxyBO圖3DP如圖3，過點P作y軸的平行線交AB于點D．∵S△PAB ＝S△PAD＋S△PBD＝(yD－yP)(xB－xA)＝[(x＋)－(x 2＋x)](1＋2)＝－x 2－x＋＝－(x＋)2＋∴當x＝－時，△PAB的面積有最大值，最大值為． 此時yP＝(－)2＋(－)＝－．∴此時P點的坐標為(－，－)．：（1）將A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x 2＋bx
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