專題6計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)(編輯修改稿)
2025-04-20 05:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 式訓(xùn)練4 設(shè)“a1,a2,…,an”是1,2,…,n的一個(gè)排列,把排在ai(i=1,2,…,n)的左邊且比ai小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為ai的“順序數(shù)”.如在排列“6,4,5,3,2,1”中,5的順序數(shù)為1,3的順序數(shù)為0,則在1至8這八個(gè)數(shù)字構(gòu)成的全排列中,同時(shí)滿足8的順序數(shù)為2,7的順序數(shù)為3,5的順序數(shù)為3的不同排列種數(shù)為 .熱點(diǎn)五:二項(xiàng)式定理及應(yīng)用高考對(duì)二項(xiàng)式的考查重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理的展開式及通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)及特定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式性質(zhì)、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,題型多為選擇題、填空題,難度為中低檔. 若二項(xiàng)式(x3+1x2)n的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng),則正整數(shù)n的最小值為( ). 【分析】展開式中含有常數(shù)項(xiàng)即x的次數(shù)為零這一項(xiàng),先由通項(xiàng)公式Tr+1列出等式,找到n與r的關(guān)系式,再利用r為自然數(shù)且r≤n,確定n的最小值.【解析】展開式的通項(xiàng)公式是Tr+1=Cnrx3n3rx2r=Cnrx3n5r,若二項(xiàng)式(x3+1x2)n的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng),則3n5r=0,即n=5r3(r=0,1,2,…,n),故當(dāng)r=3時(shí),n取最小值,最小值為5.【答案】B【歸納拓展】(a+b)n的展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=Cnranrbr(r=0,1,2,…,n)時(shí),要注意以下幾點(diǎn):(1)它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng),只要n與r確定了,該項(xiàng)就隨之確定。(2)Tr+1是展開中的第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng)。(3)公式中a,b的指數(shù)和為n,且a,b不能隨便顛倒位置。(4)要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分離開,以便于解決問題。(5)對(duì)二項(xiàng)式展開式(ab)n的通項(xiàng)公式還要注意符號(hào).,“賦值法”是一種重要的思想方法,是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法.變式訓(xùn)練5 已知(x+1x)n的展開式中第五項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為( ). 熱點(diǎn)六:幾何概型幾何概型是一個(gè)新增的考點(diǎn),它與古典概型一樣,主要以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),多為單獨(dú)考查,有時(shí)會(huì)與線性規(guī)劃、定積分等知識(shí)綜合考查,關(guān)鍵是對(duì)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找,有時(shí)需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域. (2013陜西卷)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A、C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,假設(shè)其信號(hào)的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號(hào)來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率是( ). 【分析】由于是在所給矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),可先計(jì)算出矩形區(qū)域ABCD的面積,可知直接計(jì)算出無信號(hào)地點(diǎn)的面積較為困難,因此可以求出有信號(hào)地點(diǎn)(扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF)的面積,然后再解之.【解析】矩形ABCD的面積為12=2,兩個(gè)扇形都是半徑為1的四分之一個(gè)圓,兩個(gè)扇形面積的和為2π4=π2,則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率為2π22=1π4,故選A.【答案】A【歸納拓展】長(zhǎng)度、面積和體積是幾何概型中的三種基本度量,在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握,要把問題向它們作合理轉(zhuǎn)化,要注意古典概型與幾何概型的區(qū)別(基本事件的有限性與無限性),并正確選用幾何概型解題.變式訓(xùn)練6 設(shè)矩形區(qū)域Ω由直線x=177。π2和y=177。1所圍成的平面圖形,區(qū)域D是由余弦函數(shù)y=cos x、x=177。π2及y=,則該豆子落在區(qū)域D中的概率是 .熱點(diǎn)七:條件概率條件概率雖然在高考中考查得比較少,但從近幾年開始有增多的趨勢(shì),復(fù)習(xí)中注意抓住對(duì)實(shí)際問題的分析,關(guān)鍵在于識(shí)別概率類型. 從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù),事件A=“取到的兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=( ). 【分析】根據(jù)條件概率公式,先求出事件A的概率,然后求出事件AB的概率,代入公式即可.【解析】∵P(A)=C32+C22C52=25,P(AB)=C22C52=110,∴P(B|A)=P(AB)P(A)=14.【答案】B【歸納拓展】條件概率公式揭示了條件概率P(A|B)與事件概率P(B)、P(AB):一種情況是已知P(B)和P(AB)時(shí)要求出P(A|B)。另一種情況是已知P(B)和P(A|B)時(shí)要求出P(AB).對(duì)于后一種情況,為了方便也常將條件概率公式改寫為如下的乘法公式:若P(A)0,有P(AB)=P(A)P(B|A).變式訓(xùn)練7 如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則(1)P(A)= 。(2)P(B|A)= . 熱點(diǎn)八:隨機(jī)變量的分布列、期望與方差隨機(jī)變量的分布列、期望與方差是高考中的重點(diǎn),年年必考,以考生比較熟悉的實(shí)際應(yīng)用問題為背景,綜合排列組合、概率公式、互斥事件、獨(dú)立事件以及統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查對(duì)隨機(jī)變量的識(shí)別及概率計(jì)算的能力,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,解答時(shí)要注意分類與整合、,但有時(shí)也會(huì)以小題的形式出現(xiàn),難度中等. (2013天津卷)一個(gè)盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號(hào)分別為1,2,3,4。白色卡片3張,編號(hào)分別為2,3,(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).(1)求取出的4張卡片中,含有編號(hào)為3的卡片的概率。(2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【分析】(1)根據(jù)題意任取的4張卡片與順序無關(guān),是一個(gè)組合計(jì)數(shù)問題,也可以為白色的,因此在計(jì)算基本事件數(shù)時(shí)要分類討論.(2)根據(jù)題意,在取出的4張卡片中,至少有一張有紅色的,紅色卡片中的編號(hào)有4,所以紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X,可能取值也為4,然后根據(jù)卡片的最大值分別求出各自的概率,列出分布列,再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式計(jì)算隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值.【解析】(1)設(shè)“取出的4張卡片中,含有編號(hào)為3的卡片”為事件A,則P(A)=C21C53+C22C52C74=67.所以取出的4張卡片中,含有編號(hào)為3的卡片的概率為67.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=1)=C33C74=135,P(X=2)=C43C74=435,P(X=3)=C53C74=27,P(X=4)=C63C74=47.所以隨機(jī)變量X的分布列是X1234P1354352747 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1135+2435+327+447=175.【歸納拓展】,然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式,求出概率.,若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布或兩點(diǎn)分布,則可直接使用公式求解.變式訓(xùn)練8 在某大學(xué)自主招生考試中,所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試,成績(jī)分為A,B,C,D,其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人.(1)求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù).(2)若等級(jí)A,B,C,D,E分別對(duì)應(yīng)5分,4分,3分,2分,1分.①求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分.②若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望. 熱點(diǎn)九:事件的獨(dú)立性、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是一種重要的概率分布,、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的考查是高考的熱點(diǎn)之一,側(cè)重于考查事件相互獨(dú)立性的概率。在解答題中,一般會(huì)綜合事件的相互獨(dú)立、互斥或?qū)α?、二?xiàng)分布等知識(shí)進(jìn)行考查. (2013福建卷)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案,方案甲的中獎(jiǎng)率為23,中獎(jiǎng)可以獲得2分。方案乙的中獎(jiǎng)率為25,中獎(jiǎng)可以獲得3分。,每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品.(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng),小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng),記他們的累計(jì)得分為X,求X≤3的概率。(2)若小明、小紅兩人都選擇方
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