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正文內(nèi)容

小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種面積模型(編輯修改稿)

2025-04-20 03:09 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 法二:連接,由題目條件可得到,所以,而.所以則四邊形的面積等于.【鞏固】如圖,長(zhǎng)方形的面積是平方厘米,是的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少平方厘米?【解析】 設(shè)份,則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.【例 14】 四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)(如圖所示).如果三角形的面積等于三角形的面積的,且,那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_________倍. 【解析】 在本題中,四邊形為任意四邊形,對(duì)于這種”不良四邊形”,無(wú)外乎兩種處理方法:⑴利用已知條件,向已有模型靠攏,從而快速解決;⑵通過(guò)畫(huà)輔助線來(lái)改造不良四邊形.看到題目中給出條件,這可以向模型一蝶形定理靠攏,于是得出一種解法.又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,可以得到第二種解法,但是第二種解法需要一個(gè)中介來(lái)改造這個(gè)”不良四邊形”,于是可以作垂直于,垂直于,面積比轉(zhuǎn)化為高之比.再應(yīng)用結(jié)論:三角形高相同,則面積之比等于底邊之比,得出結(jié)果.請(qǐng)老師注意比較兩種解法,使學(xué)生體會(huì)到蝶形定理的優(yōu)勢(shì),從而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問(wèn)題.解法一:∵,∴,∴.解法二:作于,于.∵,∴,∴,∴,∴,∴.【鞏固】如圖,四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形,其中三個(gè)三角形的面積已知, 求:⑴三角形的面積;⑵?【解析】 ⑴根據(jù)蝶形定理,那么;⑵根據(jù)蝶形定理,.【例 15】 如圖,平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn),、的面積依次是4和6.求:⑴求的面積;⑵求的面積.【解析】 ⑴根據(jù)題意可知,的面積為,那么和的面積都是,所以的面積為;⑵由于的面積為8,的面積為6,所以的面積為,根據(jù)蝶形定理,所以,那么.【例 16】 如圖,長(zhǎng)方形中,,三角形的面積為平方厘米,求長(zhǎng)方形的面積. 【解析】 連接,.因?yàn)?,所以.因?yàn)椋云椒嚼迕?,所以平方厘米.因?yàn)椋蚤L(zhǎng)方形的面積是平方厘米.【例 17】 如圖,正方形面積為平方厘米,是邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.【解析】 因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn),所以,根據(jù)梯形蝶形定理可以知道,設(shè)份,則 份,所以正方形的面積為份,份,所以,所以平方厘米.【鞏固】在下圖的正方形中,是邊的中點(diǎn),與相交于點(diǎn),三角形的面積為1平方厘米,那么正方形面積是 平方厘米.【解析】 連接,根據(jù)題意可知,根據(jù)蝶形定理得(平方厘米),(平方厘米),那么(平方厘米). 【例 18】 已知是平行四邊形,三角形的面積為6平方厘米.則陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】 連接.由于是平行四邊形,所以,根據(jù)梯形蝶形定理,所以(平方厘米),(平方厘米),又(平方厘米),陰影部分面積為(平方厘米).【鞏固】右圖中是梯形,是平行四邊形,已知三角形面積如圖所示(單位:平方厘米),陰影部分的面積是 平方厘米. 【分析】 連接.由于與是平行的,所以也是梯形,那么.根據(jù)蝶形定理,故,所以(平方厘米).【鞏固】右圖中是梯形,是平行四邊形,已知三角形面積如圖所示(單位:平方厘米),陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】 連接.由于與是平行的,所以也是梯形,那么.根據(jù)蝶形定理,故,所以(平方厘米).另解:在平行四邊形中,(平方厘米),所以(平方厘米),根據(jù)蝶形定理,陰影部分的面積為(平方厘米).【例 19】 如圖,長(zhǎng)方形被、分成四塊,已知其中3塊的面積分別為8平方厘米,那么余下的四邊形的面積為_(kāi)__________平方厘米. 【解析】 連接、.四邊形為梯形,所以,又根據(jù)蝶形定理,所以,所以(平方厘米),(平方厘米).那么長(zhǎng)方形的面積為平方厘米,四邊形的面積為(平方厘米).【例 20】 如圖,是等腰直角三角形,是正方形,線段與相交于點(diǎn).已知正方形的面積48,則的面積是多少?【解析】 由于是正方形,所以與平行,那么四邊形是梯形.在梯形中,和的面積是相等的.而,所以的面積是面積的,那么的面積也是面積的.由于是等腰直角三角形,如果過(guò)作的垂線,為垂足,那么是的中點(diǎn),而且,可見(jiàn)和的面積都等于正方形面積的一半,所以的面積與正方形的面積相等,為48.那么的面積為.【例 21】 下圖中,四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形,、分別是,,的中點(diǎn),如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),那么,的值等于 . 【解析】 左、右兩個(gè)圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形,不方便直接求面積,觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖中的空白部分面積都比較好求,所以可以先求出空白部分的面積,再求陰影部分的面積.如下圖所示,在左圖中連接.設(shè)與的交點(diǎn)為.左圖中為長(zhǎng)方形,可知的面積為長(zhǎng)方形面積的,所以三角形的面積為.又左圖中四個(gè)空白三角形的面積是相等的,所以左圖中陰影部分的面積為.如上圖所示,在右圖中連接、.設(shè)、的交點(diǎn)為.可知∥且.那么三角形的面積為三角形面積的,所以三角形 的面積為,梯形的面積為.在梯形中,由于,根據(jù)梯形蝶形定理,其四部分的面積比為:,所以三角形的面積為,那么四邊形的面積為.而右圖中四個(gè)空白四邊形的面
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