小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種面積模型(編輯修改稿)
2025-04-20 03:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 法二：連接，由題目條件可得到，所以，而．所以則四邊形的面積等于．【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)．陰影部分的面積是多少平方厘米?【解析】 設(shè)份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.【例 14】 四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)(如圖所示)．如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_________倍． 【解析】 在本題中，四邊形為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無(wú)外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過(guò)畫輔助線來(lái)改造不良四邊形．看到題目中給出條件，這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法．又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中介來(lái)改造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比．再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果．請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝶形定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問(wèn)題．解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【鞏固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知， 求：⑴三角形的面積；⑵？【解析】 ⑴根據(jù)蝶形定理，那么；⑵根據(jù)蝶形定理，．【例 15】 如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，、的面積依次是4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積．【解析】 ⑴根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；⑵由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝶形定理，所以，那么．【例 16】 如圖，長(zhǎng)方形中，，三角形的面積為平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積． 【解析】 連接，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以平方厘米，所以平方厘米．因?yàn)椋蚤L(zhǎng)方形的面積是平方厘米．【例 17】 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．【解析】 因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，根據(jù)梯形蝶形定理可以知道，設(shè)份，則 份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米．【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米．【解析】 連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝶形定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)． 【例 18】 已知是平行四邊形，三角形的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是 平方厘米．【解析】 連接．由于是平行四邊形，所以，根據(jù)梯形蝶形定理，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，陰影部分面積為(平方厘米)．【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米． 【分析】 連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么．根據(jù)蝶形定理，故，所以(平方厘米)．【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米．【解析】 連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么．根據(jù)蝶形定理，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四邊形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為(平方厘米)．【例 19】 如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_(kāi)__________平方厘米． 【解析】 連接、．四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝶形定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)．【例 20】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點(diǎn)．已知正方形的面積48，則的面積是多少？【解析】 由于是正方形，所以與平行，那么四邊形是梯形．在梯形中，和的面積是相等的．而，所以的面積是面積的，那么的面積也是面積的．由于是等腰直角三角形，如果過(guò)作的垂線，為垂足，那么是的中點(diǎn)，而且，可見(jiàn)和的面積都等于正方形面積的一半，所以的面積與正方形的面積相等，為48．那么的面積為．【例 21】 下圖中，四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，、分別是，，的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么，的值等于 ． 【解析】 左、右兩個(gè)圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積．如下圖所示，在左圖中連接．設(shè)與的交點(diǎn)為．左圖中為長(zhǎng)方形，可知的面積為長(zhǎng)方形面積的，所以三角形的面積為．又左圖中四個(gè)空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為．如上圖所示，在右圖中連接、．設(shè)、的交點(diǎn)為．可知∥且．那么三角形的面積為三角形面積的，所以三角形 的面積為，梯形的面積為．在梯形中，由于，根據(jù)梯形蝶形定理，其四部分的面積比為：，所以三角形的面積為，那么四邊形的面積為．而右圖中四個(gè)空白四邊形的面
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