初中幾何部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及專項(xiàng)練習(xí)(編輯修改稿)
2024-11-27 17:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。 推論 1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 三角形按角分類： １３ ????????鈍角三角形銳角三角形斜三角形直角三角形三角形 用集合表示，見(jiàn)圖 三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角。 推論 2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 推論 3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 例如圖 2— 6 中 ∠ 1 ＞∠ 3；∠ 1=∠ 3＋∠ 4；∠ 5＞∠ 3＋∠ 8； ∠ 5＝∠ 3＋∠ 7＋∠ 8； ∠ 2＞∠ 8；∠ 2＝∠ 7＋∠ 8；∠ 4＞∠ 9； ∠ 4＝∠ 9＋∠ 10 等等。 四、全等三角形 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。 兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)， 互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。 全等用符號(hào)“≌”表示 △ ABC≌△ A `B`C`表示 A 和 A`， B 和 B`， C 和 C`是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 如圖 2— 7， △ ABC≌△ A `B`C`，則有 A、 B、 C的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A`、 B`、 C`； １４ AB、 BC、 CA的對(duì)應(yīng)邊是 A`B`、 B`C`、 C`A`。 ∠ A， ∠ B， ∠ C的對(duì)應(yīng)角是 ∠ A`、 ∠ B`、 ∠ C`。 ∴ AB＝ A`B`， BC＝ B`C`， CA＝ C`A`； ∠ A＝ ∠ A`， ∠ B＝ ∠ B`， ∠ C＝ ∠ C` 五、全等三角形的判定 邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―邊角邊 ‖或 ―SAS‖） 注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。 角邊角公理：有兩角和它們的夾 邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―角邊角 ―或 ―ASA‖） 推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―角角邊 ’域 ―AAS‖） 邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―邊邊邊 ‖或 ―SSS‖） 由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。 除了上面的判定定理外， ―邊邊角 ‖或 ―角角角 ‖都不能保證兩個(gè)三角形全等。 直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―斜邊， 直角邊 ‖或 ―HL‖） 六、角的平分線 定理 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 定理 一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 由定理 2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。 可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)（交于一點(diǎn)） 在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個(gè)做原 命題，那么另一個(gè)叫它的逆命題。 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定 理。 例如： ―兩直線平行，同位角相等 ‖和“同位角相等，兩直線平行 ‖是互逆定理。 一個(gè)定理不一定有逆定理，例如定理：“對(duì)頂角相等 ‖就沒(méi)逆定理，因?yàn)?―相等的角是對(duì)頂角 ‖這是一個(gè)假命顆。 七、基本作圖 限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖，稱為尺規(guī)作網(wǎng)＿ 最基本、最常用的尺規(guī)作圖．通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。 １５ 作一個(gè)角等于已知角：作法是使三角形全等 （ SSS），從而得到對(duì)應(yīng)角相等； 平分已知角：作法仍是使三角形全等（ SSS）．從而得到對(duì)應(yīng)角相等。 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線：（ 1）若點(diǎn)在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（ 2）若點(diǎn)在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點(diǎn) C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧交已知真線于 A、 B兩點(diǎn)，再以 A、 B為圓心，用相同的長(zhǎng)為半徑分別作弧交于 D點(diǎn)，連結(jié) CD即為所求垂線。 作線段的垂直平分線： 線段的垂直平分線也叫中垂線。 做法的實(shí)質(zhì)仍是全等三角形（ SSS）。 也可以用這個(gè)方法作線段的中點(diǎn)。 八、作圖題舉例 重要解決求作三角形的問(wèn)題 已知兩邊一夾角，求作三角形 已知底邊上的高，求作等腰三角形 九、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―等邊對(duì)等角 ‖） 推論 1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說(shuō)：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論 2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于 60176。 例如：等腰三角形底邊中線上的任一點(diǎn)到兩腰的距離相等，因?yàn)榈妊切蔚走呏芯€就是頂角的角平 分線、而角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等n 十、等腰三角形的判定 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相，那這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也相等。（簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―等角對(duì)等動(dòng) ‖）。 推論 1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 推論 2：有一個(gè)角等于 60176。 的等腰三角形是等邊三角形 推論 3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 3O176。 ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 十一、線段的垂直平分線 定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條 線段的垂直平分線上。 就是說(shuō)：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。 十二、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形 １６ 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線軸對(duì)稱，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線叫對(duì)稱軸。 兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫軸對(duì)稱。 定理 1：關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。 定理 2：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。 定理 3：兩個(gè)圖形關(guān)于某 條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)相交。那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。 逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。 如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。 例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點(diǎn)，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對(duì)稱軸，而等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。 十三、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩直角邊 a、 b的平方和等于斜邊 c的平方：cba ?? 22 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) a、 b、 c有下面關(guān)系： 222 cba ?? 那么這個(gè)三角形是直角三角形 二，例題解析 例 如圖， AB∥ CD， AE 交 CD 于點(diǎn) C，DE⊥ AE，垂足為 E， ∠ A=37186。，求∠ D 的度數(shù)． 例 2 、如圖，在 ABC△ 中， ABC? 和 ACB? 的平分 線相交于點(diǎn) O ，過(guò)點(diǎn) O 作 EF BC∥ 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ，過(guò)點(diǎn) O 作 OD AC? 于D ．下列四個(gè)結(jié)論： A D F C Ｂ Ｏ Ｅ １７ 190 2BOC A? ? ?① 176。 +； ②以 E 為圓心、 BE 為半徑的圓與以 F 為圓心、 CF 為半徑的圓外切； ③設(shè) O D m A E A F n? ? ?， ，則 AEFS m△ ； ④ EF 不能成為 ABC△ 的中位線． 其中正確的結(jié)論是 _____________．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上） 例 3 已知：如圖，在四邊形 ABCD 中， AB=CB,AD=CD。 求證：∠ C=∠ A. 例 4 已知命題：如圖，點(diǎn) A， D， B， E 在同一條直線上，且 AD=BE，∠ A=∠ FDE，則△ ABC≌△ 題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題 ，請(qǐng)?zhí)砑?一個(gè)． ． 適當(dāng)條件使它成為真命題 ,
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