【文章內(nèi)容簡介】 V V V V V Vpt x y z y x y z??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2222 2 21 ()yzxzz z z z z zVVVVV V V V V Vpt x y z z x y z????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 然后對式（ ）中的第一式進(jìn)行時(shí)間平均運(yùn)算，則有 2222 2 21 ()xyx x x x z x x xVVV V V V V V V Vpt x y z x x y z???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 由于 ， 應(yīng)用時(shí)均物理量與脈動(dòng)物理量之積的時(shí)均值等于零的運(yùn)算規(guī)則 ， 即 （ ） ， 可得 39。x x xV V V??39。 0 , 39。 0A B B A??39。 39。 , 39。 39。 , 39。 39。 x x x x x x x y x y x y x z x z x zV V V V V V V V V V V V V V V V V V? ? ? ? ? ?這樣式（ ）經(jīng)過化簡后，可表示為 2222 2 2()( 39。 39。 )( 39。 39。 ) ( 39。 39。 )xyx x x x zxx xyx x zx xVVV V V V Vt x y zVVVp VVV V V Vxyyx x y z??????? ?? ? ?? ? ??????? ? ? ??????? ? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ? ??再應(yīng)用時(shí)均運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程（ ），上式可化為 2222 2 2()39。39。39。 39。 39。 39。x x x x x x xx y zxyx x x zV V V V V V VpV V Vt x y z x x y zVVV V V Vx y z???????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。 39。 39。 39。 39。 39。y y y y y y yx y zx y y y y zV V V V V V VpV V Vt x y z y x y zV V V V V Vx y z??? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。39。39。39。 39。39。z z z z z z zx y zyzxz zzV V V V V V VpV V Vt x y z z x y zVVVV VVx y z???? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??????? ??? ? ?? ? ?（ ） 方程組 （ ） 就是著名的不可壓縮流體作湍流運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程稱為 雷諾方程 。 將時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程 （ ） 和 N— S方程 （ a） 相比可以看出 ， 湍流中的應(yīng)力 ， 除了由于粘性所產(chǎn)生的應(yīng)力外 ， 還有由于湍流脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)所形成的附加應(yīng)力 ， 這些附加應(yīng)力稱為 雷諾應(yīng)力 。雷諾方程與 N— S方程在形式上是相同的 ， 只不過在粘性應(yīng)力項(xiàng)中多出了附加的湍流應(yīng)力項(xiàng) 。 以上導(dǎo)出的雷諾方程和連續(xù)方程中 ， 除過要求解的四個(gè)變量 、 、 和 外 ， 還有與脈動(dòng)速度有關(guān)的如 、 等六個(gè)未知數(shù) 。 四個(gè)方程中有十個(gè)未知數(shù) ， 即方程組不封閉 。 要使方程組封閉 ， 必須補(bǔ)充其它未知量的關(guān)系式才能夠進(jìn)行求解 。 xV yV zV p 39。39。xxVV 39。39。xyVV 將雷諾方程與粘性流體應(yīng)力形式的動(dòng)量方程進(jìn)行比較，由式（ ）可以看出，在湍流的時(shí)均運(yùn)動(dòng)中，除了原有的粘性應(yīng)力分量外，還多出了由脈動(dòng)速度乘積的時(shí)均值 、 39。39。xxVV?? 等構(gòu)成的附加項(xiàng) ， 這些附加項(xiàng)構(gòu)成了一個(gè)對稱的二階張量 ， 即 39。39。xyVV??39。 39。 39。 39。 39。 39。39。 39。 39。 39。 39。 39。39。 39。 39。 39。 39。 39。 x x x y x zx y y y y zx z y z z zV V V V V VV V V V V VV V V V V V? ? ?? ? ?? ? ???? ? ???? ? ?? ? ???（ ） 式 （ ） 中的各項(xiàng)構(gòu)成了所謂的雷諾應(yīng)力 。 雷諾應(yīng)力的物理意義可理解如下 在穩(wěn)定湍流中繞某點(diǎn) M處取一微元六面體圖 ，考察過點(diǎn)M取與 x軸垂直的某微 元面 ，其面積為 。在單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的動(dòng)量為 ，其時(shí)均值為 1ds2xV?xxxx VVVV 39。39。22 ??? ?? （ ） 式（ ）左端是單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于 x軸的單位面積所傳遞的真實(shí)動(dòng)量的平均值，右端第一項(xiàng)是同一時(shí)間內(nèi)通過同一面積所傳遞的按時(shí)均速度計(jì)算的動(dòng)量，第二項(xiàng)是由于 x方向 上速度脈動(dòng)所傳遞的動(dòng)量 。 根據(jù)動(dòng)量定理 ， 通過 面有動(dòng)量傳遞 ， 那么在 面上就有力的作用 。 式 （ ） 中各項(xiàng)都具有力的因次 ， 從而證明了在湍流情況下 ， 沿 x方向的時(shí)均真實(shí)應(yīng)力 ， 應(yīng)等于時(shí)均運(yùn)動(dòng)情況下 x方向上的應(yīng)力加上由于湍流中的 x方向脈動(dòng)引起的附加應(yīng)力 。 對 面來說 ， 附加應(yīng)力 與它垂直 ， 所以是法向應(yīng)力 ， 因此稱之為 附加湍流正應(yīng)力 。 1ds1ds1ds xx VV 39。39。?圖 湍流應(yīng)力分析 圖 湍流應(yīng)力分析 由于在點(diǎn) M處沿 y方向上有脈動(dòng)速度 ， 則在單位時(shí)間內(nèi)通過微元面 （ 垂直于 y軸 ） 上的單位面積流入的質(zhì)量為 如圖 ， 這部分流體本身具有 x方向的速度 ， 因而隨之傳遞的 x方向上的動(dòng)量為 ， 其時(shí)均值為 39。yV2ds 39。yV?39。x x xV V V??39。yxVV?xyxyxxyxy VVVVVVVVV 39。39。39。)39。(39。39。 ???? ????39。0yxVV? ?根據(jù)時(shí)均運(yùn)算關(guān)系式， ，所以 xyxy VVVV 39。39。39。 ?? ?（ ） 39。yV圖 y方向的速度脈動(dòng) ，而在單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積上增加的 x方向上的動(dòng)量的時(shí)均值 ， 即 39。39。39。 39。 39。 ( 39。 39。 )39。1 yxy x y xyxVV VyV V V V yV???? ?? ??? ? ? ??????? ??（ ） 式（ ）表明，在單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于 y方向的 面的單位面積所傳遞出去的 x方向動(dòng)量為 ，因而該單位面積就受到一個(gè)沿 x方向的大小為 的作用力。式（ ）說明了這個(gè)力的變化量。可以理解為：當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)由時(shí)均速度較高的流體層向時(shí)均速度較低的流體層脈動(dòng)時(shí)由于脈動(dòng)引起的動(dòng)量傳遞，使低速層被加速。反過來，如果脈動(dòng)由低速層向高速層發(fā)生，高速層被減速，因此這兩層流體在 x方向上各受到切應(yīng)力的作用。 是湍流中流體微團(tuán)的脈動(dòng)造成的，稱為 湍流切應(yīng)力 ，記作 。 2ds39。39。yxVV?39。39。yxVV?39。39。yxVV?t?湍流正應(yīng)力和湍流切應(yīng)力統(tǒng)稱為雷諾應(yīng)力 。 從雷諾方程可以看出 ， 由于湍流運(yùn)動(dòng)采用了時(shí)均方法 ， 在運(yùn)動(dòng)方程中出現(xiàn)了雷諾應(yīng)力 ， 從而增加了方程中的未知量 ， 因此需要補(bǔ)充新的關(guān)系式才能求解 。 如果補(bǔ)充的關(guān)系式是一個(gè)代數(shù)方程 ， 而不需要補(bǔ)充任何附加的微分方程來求解時(shí)均流場 ， 則稱這種模型為零方程模型；若補(bǔ)充的關(guān)系式是一個(gè)微分方程（ 如湍流脈動(dòng)動(dòng)能方程 ） ， 則稱為一方程模型；若是兩個(gè)微分方程 ， 則稱為雙方程模型等等 。 本節(jié)所討論的普朗特混合長度理論即是所謂的代數(shù)模型 （ 零方程模型 ） 。 混合長度理論是基于經(jīng)驗(yàn)性的一個(gè)經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的理論模型。在許多問題中得到了較好的應(yīng)用。其基本思想是如果能夠找出湍流應(yīng)力與其它流場參數(shù)之間的關(guān)系，即找到了這些物理量的補(bǔ)充關(guān)系式，就可以使方程組封閉。為此普朗特把湍流脈動(dòng)與氣體分子運(yùn)動(dòng)相比擬，認(rèn)為雷諾應(yīng)力是由流體微團(tuán)的脈動(dòng) 引起的。 它和分子運(yùn)動(dòng)引起粘性應(yīng)力的情況十分相似。在定常層流直線運(yùn)動(dòng)中，由分子動(dòng)量輸運(yùn)而引起的粘性切應(yīng)力 ，與此相對應(yīng)，當(dāng)湍流的時(shí)均流動(dòng)的流線為直線時(shí)，認(rèn)為脈動(dòng)引起的雷諾切應(yīng)力（湍流應(yīng)力）也可以表示成上述類似的形式，即 /lxd V d y???dyVd xtt ?? ?（ ） 式中的 稱為湍流粘性系數(shù) 。 這就是混合長度理論的基本思想 。 t?39。xV另一方面 ， 湍流應(yīng)力與脈動(dòng)速度有關(guān) ， 為了確定這種關(guān)系 ，普朗特做出了第一個(gè)假設(shè)：即流體微團(tuán) x方向脈動(dòng)速度 近似等于兩層流體的時(shí)均速度之差 ， 即 39。 ( )xxx x xd V d VV V l V ld y d y? ? ? ?這一假設(shè)的基礎(chǔ)是認(rèn)為流體微團(tuán)在 y方向脈動(dòng) ， 從這一層跳入另一層時(shí) ， 要經(jīng)過一段與其他流體微團(tuán)不相碰撞的距離 （ 參看圖 ） ， 在這段距離上速度保持不變 。 這個(gè)距離 l l稱為 混合長度 ， 它是流體微團(tuán)在湍流運(yùn)動(dòng)中的自由行程的平均值 。 經(jīng)過 距離后 ， 流體微團(tuán)以自己原來的動(dòng)量進(jìn)入另一層和周圍流體相摻混 。 l從圖（ ）上可以看出， 層上的流體質(zhì)點(diǎn)脈動(dòng)到 y層時(shí)，其速度比 y層上的流體時(shí)均速度大 。它引起 y層上流體速度有一個(gè)正的脈動(dòng)，其值 。同理，當(dāng)流體微團(tuán)從 y層脈動(dòng)到 層時(shí)，使 層的流體有一個(gè)負(fù)的脈動(dòng)速度，其大小也是 。 )( ly??xV39。 /xldV dy)( ly?/xldV dy)( ly?/xldV dy 圖 普朗特又做出第二個(gè)假設(shè)，他認(rèn)為 y方向的脈動(dòng)速度 39。yV 和/xldV dy 成正比。其根據(jù)可用圖 。兩層流體混合時(shí)，由 于上下兩層流體的速度差為 ， 因此兩流體質(zhì)點(diǎn)間相互作用從而引起橫向脈動(dòng) ， 速度為 。 顯然第二個(gè)假設(shè)成立 ， 即 /xldV dy39。yV39。 xy dVV Cl dy?普朗特引入了混合長度的概念 ， 確定了脈動(dòng)速度 的大小與時(shí)均速度梯度之間的關(guān)系 ， 從而確定湍流切應(yīng)力的大小 。 39。39。xyVV、22200139。39。139。39。?????????????????????? ??dyVdCldtdyVdlCTdtVVTVVxT xyTxyxt ?????式中混合長度 尚未確定，因此可取 。這樣湍流切應(yīng)力就可以寫為 l1C?2239。39。???????????dyVdlVV xyxt ???考慮到湍流切應(yīng)力的符號 應(yīng)與粘性切應(yīng)力的符號 相同。為 t? l?標(biāo)出符號，上式可寫成 dyVddyVddyVdl xtxxt ??? ??2 （ ） 式中 ， ， 混合長度 一般需要實(shí)驗(yàn)確定 。 2 xt dVldy??? l 1．附面層厚度及流動(dòng)阻力 粘性是流體的重要屬性。根據(jù)流體粘性的特點(diǎn)，在靠近物體表面處，流體將粘附在物面上而流速為零，即滿足無滑移條件。而沿物面的法線方向上，流速逐漸增加，到某一距離處，流速與外邊界速度近似相等。我們定義靠近物體表面，存在較大速度梯度的薄層為附面層或邊界層。通常定義當(dāng) V=（ V0為附面層外邊界的速度）時(shí)的垂直物面的法向距離為 附面 層厚度 ， 用 表示 。 在航空上 ， 有實(shí)際意義的問題大多屬于大雷諾數(shù)下的流動(dòng)問題 。 此時(shí)緊貼物面法線方向速度梯度很大的這一層都是很薄的 ， 因此附面層厚度 是個(gè)小量 。 氣流流過物體表面的距離越長 ， 附面層厚度也越大 ， 即附面層厚度隨氣流流過物體的距離而增加 。 粘性影響較大的另一種情況是流體在物體后面的部分 ， 通常要離開物體的表面 ， 即在物體后面形成所謂的尾跡區(qū) 。 由于粘性的作用較強(qiáng) ， 粘性切應(yīng)力作用較大 ，因而形成流動(dòng)阻力 。 顯然 ， 該阻力產(chǎn)生的根源是流體與物體表面之間的摩擦以及附面層分離引起的 。 之外 ， 由于附面層脫離后的尾跡區(qū)中 ， 還會導(dǎo)致物體表面上產(chǎn)生流動(dòng)方向