【文章內(nèi)容簡介】 V V V V V Vpt x y z y x y z??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2222 2 21 ()yzxzz z z z z zVVVVV V V V V Vpt x y z z x y z????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 然后對式（ ）中的第一式進行時間平均運算，則有 2222 2 21 ()xyx x x x z x x xVVV V V V V V V Vpt x y z x x y z???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 由于 ， 應用時均物理量與脈動物理量之積的時均值等于零的運算規(guī)則 ， 即 （ ） ， 可得 39。x x xV V V??39。 0 , 39。 0A B B A??39。 39。 , 39。 39。 , 39。 39。 x x x x x x x y x y x y x z x z x zV V V V V V V V V V V V V V V V V V? ? ? ? ? ?這樣式（ ）經(jīng)過化簡后，可表示為 2222 2 2()( 39。 39。 )( 39。 39。 ) ( 39。 39。 )xyx x x x zxx xyx x zx xVVV V V V Vt x y zVVVp VVV V V Vxyyx x y z??????? ?? ? ?? ? ??????? ? ? ??????? ? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ? ??再應用時均運動的連續(xù)方程（ ），上式可化為 2222 2 2()39。39。39。 39。 39。 39。x x x x x x xx y zxyx x x zV V V V V V VpV V Vt x y z x x y zVVV V V Vx y z???????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。 39。 39。 39。 39。 39。y y y y y y yx y zx y y y y zV V V V V V VpV V Vt x y z y x y zV V V V V Vx y z??? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。39。39。39。 39。39。z z z z z z zx y zyzxz zzV V V V V V VpV V Vt x y z z x y zVVVV VVx y z???? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??????? ??? ? ?? ? ?（ ） 方程組 （ ） 就是著名的不可壓縮流體作湍流運動時的時均運動方程稱為 雷諾方程 。 將時均運動方程 （ ） 和 N— S方程 （ a） 相比可以看出 ， 湍流中的應力 ， 除了由于粘性所產(chǎn)生的應力外 ， 還有由于湍流脈動運動所形成的附加應力 ， 這些附加應力稱為 雷諾應力 。雷諾方程與 N— S方程在形式上是相同的 ， 只不過在粘性應力項中多出了附加的湍流應力項 。 以上導出的雷諾方程和連續(xù)方程中 ， 除過要求解的四個變量 、 、 和 外 ， 還有與脈動速度有關的如 、 等六個未知數(shù) 。 四個方程中有十個未知數(shù) ， 即方程組不封閉 。 要使方程組封閉 ， 必須補充其它未知量的關系式才能夠進行求解 。 xV yV zV p 39。39。xxVV 39。39。xyVV 將雷諾方程與粘性流體應力形式的動量方程進行比較，由式（ ）可以看出，在湍流的時均運動中，除了原有的粘性應力分量外，還多出了由脈動速度乘積的時均值 、 39。39。xxVV?? 等構(gòu)成的附加項 ， 這些附加項構(gòu)成了一個對稱的二階張量 ， 即 39。39。xyVV??39。 39。 39。 39。 39。 39。39。 39。 39。 39。 39。 39。39。 39。 39。 39。 39。 39。 x x x y x zx y y y y zx z y z z zV V V V V VV V V V V VV V V V V V? ? ?? ? ?? ? ???? ? ???? ? ?? ? ???（ ） 式 （ ） 中的各項構(gòu)成了所謂的雷諾應力 。 雷諾應力的物理意義可理解如下 在穩(wěn)定湍流中繞某點 M處取一微元六面體圖 ，考察過點M取與 x軸垂直的某微 元面 ，其面積為 。在單位時間內(nèi)通過單位面積的動量為 ，其時均值為 1ds2xV?xxxx VVVV 39。39。22 ??? ?? （ ） 式（ ）左端是單位時間內(nèi)通過垂直于 x軸的單位面積所傳遞的真實動量的平均值，右端第一項是同一時間內(nèi)通過同一面積所傳遞的按時均速度計算的動量，第二項是由于 x方向 上速度脈動所傳遞的動量 。 根據(jù)動量定理 ， 通過 面有動量傳遞 ， 那么在 面上就有力的作用 。 式 （ ） 中各項都具有力的因次 ， 從而證明了在湍流情況下 ， 沿 x方向的時均真實應力 ， 應等于時均運動情況下 x方向上的應力加上由于湍流中的 x方向脈動引起的附加應力 。 對 面來說 ， 附加應力 與它垂直 ， 所以是法向應力 ， 因此稱之為 附加湍流正應力 。 1ds1ds1ds xx VV 39。39。?圖 湍流應力分析 圖 湍流應力分析 由于在點 M處沿 y方向上有脈動速度 ， 則在單位時間內(nèi)通過微元面 （ 垂直于 y軸 ） 上的單位面積流入的質(zhì)量為 如圖 ， 這部分流體本身具有 x方向的速度 ， 因而隨之傳遞的 x方向上的動量為 ， 其時均值為 39。yV2ds 39。yV?39。x x xV V V??39。yxVV?xyxyxxyxy VVVVVVVVV 39。39。39。)39。(39。39。 ???? ????39。0yxVV? ?根據(jù)時均運算關系式， ，所以 xyxy VVVV 39。39。39。 ?? ?（ ） 39。yV圖 y方向的速度脈動 ，而在單位時間內(nèi)通過單位面積上增加的 x方向上的動量的時均值 ， 即 39。39。39。 39。 39。 ( 39。 39。 )39。1 yxy x y xyxVV VyV V V V yV???? ?? ??? ? ? ??????? ??（ ） 式（ ）表明，在單位時間內(nèi)通過垂直于 y方向的 面的單位面積所傳遞出去的 x方向動量為 ，因而該單位面積就受到一個沿 x方向的大小為 的作用力。式（ ）說明了這個力的變化量?？梢岳斫鉃椋寒斄黧w質(zhì)點由時均速度較高的流體層向時均速度較低的流體層脈動時由于脈動引起的動量傳遞，使低速層被加速。反過來，如果脈動由低速層向高速層發(fā)生，高速層被減速，因此這兩層流體在 x方向上各受到切應力的作用。 是湍流中流體微團的脈動造成的，稱為 湍流切應力 ，記作 。 2ds39。39。yxVV?39。39。yxVV?39。39。yxVV?t?湍流正應力和湍流切應力統(tǒng)稱為雷諾應力 。 從雷諾方程可以看出 ， 由于湍流運動采用了時均方法 ， 在運動方程中出現(xiàn)了雷諾應力 ， 從而增加了方程中的未知量 ， 因此需要補充新的關系式才能求解 。 如果補充的關系式是一個代數(shù)方程 ， 而不需要補充任何附加的微分方程來求解時均流場 ， 則稱這種模型為零方程模型；若補充的關系式是一個微分方程（ 如湍流脈動動能方程 ） ， 則稱為一方程模型；若是兩個微分方程 ， 則稱為雙方程模型等等 。 本節(jié)所討論的普朗特混合長度理論即是所謂的代數(shù)模型 （ 零方程模型 ） 。 混合長度理論是基于經(jīng)驗性的一個經(jīng)過實驗驗證的理論模型。在許多問題中得到了較好的應用。其基本思想是如果能夠找出湍流應力與其它流場參數(shù)之間的關系，即找到了這些物理量的補充關系式，就可以使方程組封閉。為此普朗特把湍流脈動與氣體分子運動相比擬，認為雷諾應力是由流體微團的脈動 引起的。 它和分子運動引起粘性應力的情況十分相似。在定常層流直線運動中，由分子動量輸運而引起的粘性切應力 ，與此相對應，當湍流的時均流動的流線為直線時，認為脈動引起的雷諾切應力（湍流應力）也可以表示成上述類似的形式，即 /lxd V d y???dyVd xtt ?? ?（ ） 式中的 稱為湍流粘性系數(shù) 。 這就是混合長度理論的基本思想 。 t?39。xV另一方面 ， 湍流應力與脈動速度有關 ， 為了確定這種關系 ，普朗特做出了第一個假設：即流體微團 x方向脈動速度 近似等于兩層流體的時均速度之差 ， 即 39。 ( )xxx x xd V d VV V l V ld y d y? ? ? ?這一假設的基礎是認為流體微團在 y方向脈動 ， 從這一層跳入另一層時 ， 要經(jīng)過一段與其他流體微團不相碰撞的距離 （ 參看圖 ） ， 在這段距離上速度保持不變 。 這個距離 l l稱為 混合長度 ， 它是流體微團在湍流運動中的自由行程的平均值 。 經(jīng)過 距離后 ， 流體微團以自己原來的動量進入另一層和周圍流體相摻混 。 l從圖（ ）上可以看出， 層上的流體質(zhì)點脈動到 y層時，其速度比 y層上的流體時均速度大 。它引起 y層上流體速度有一個正的脈動，其值 。同理，當流體微團從 y層脈動到 層時，使 層的流體有一個負的脈動速度，其大小也是 。 )( ly??xV39。 /xldV dy)( ly?/xldV dy)( ly?/xldV dy 圖 普朗特又做出第二個假設，他認為 y方向的脈動速度 39。yV 和/xldV dy 成正比。其根據(jù)可用圖 。兩層流體混合時，由 于上下兩層流體的速度差為 ， 因此兩流體質(zhì)點間相互作用從而引起橫向脈動 ， 速度為 。 顯然第二個假設成立 ， 即 /xldV dy39。yV39。 xy dVV Cl dy?普朗特引入了混合長度的概念 ， 確定了脈動速度 的大小與時均速度梯度之間的關系 ， 從而確定湍流切應力的大小 。 39。39。xyVV、22200139。39。139。39。?????????????????????? ??dyVdCldtdyVdlCTdtVVTVVxT xyTxyxt ?????式中混合長度 尚未確定，因此可取 。這樣湍流切應力就可以寫為 l1C?2239。39。???????????dyVdlVV xyxt ???考慮到湍流切應力的符號 應與粘性切應力的符號 相同。為 t? l?標出符號，上式可寫成 dyVddyVddyVdl xtxxt ??? ??2 （ ） 式中 ， ， 混合長度 一般需要實驗確定 。 2 xt dVldy??? l 1．附面層厚度及流動阻力 粘性是流體的重要屬性。根據(jù)流體粘性的特點，在靠近物體表面處，流體將粘附在物面上而流速為零，即滿足無滑移條件。而沿物面的法線方向上，流速逐漸增加，到某一距離處，流速與外邊界速度近似相等。我們定義靠近物體表面，存在較大速度梯度的薄層為附面層或邊界層。通常定義當 V=（ V0為附面層外邊界的速度）時的垂直物面的法向距離為 附面 層厚度 ， 用 表示 。 在航空上 ， 有實際意義的問題大多屬于大雷諾數(shù)下的流動問題 。 此時緊貼物面法線方向速度梯度很大的這一層都是很薄的 ， 因此附面層厚度 是個小量 。 氣流流過物體表面的距離越長 ， 附面層厚度也越大 ， 即附面層厚度隨氣流流過物體的距離而增加 。 粘性影響較大的另一種情況是流體在物體后面的部分 ， 通常要離開物體的表面 ， 即在物體后面形成所謂的尾跡區(qū) 。 由于粘性的作用較強 ， 粘性切應力作用較大 ，因而形成流動阻力 。 顯然 ， 該阻力產(chǎn)生的根源是流體與物體表面之間的摩擦以及附面層分離引起的 。 之外 ， 由于附面層脫離后的尾跡區(qū)中 ， 還會導致物體表面上產(chǎn)生流動方向