【正文】 ?（ 6）兩個(gè)瞬時(shí)物理量之積的時(shí)均值，等于兩個(gè)時(shí)均物理量之積與兩個(gè)脈動(dòng)量之積的時(shí)均值之和，即 39。0AB ? () 因?yàn)? 在平均周期內(nèi)是個(gè)定值 ， 所以有 A001139。 A（ 2）脈動(dòng)量的時(shí)均值等于零，即 39。 A B C、 、39。 研究表明 ， 雖然湍流運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜 ， 但是它仍然遵循連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的特征和一般力學(xué)規(guī)律 ， 因此 ， 雷諾提出用時(shí)均值概念來研究湍流運(yùn)動(dòng)的方法 ， 導(dǎo)出了以時(shí)間平均速度場為基礎(chǔ)的雷諾時(shí)均 N— S方程 。 對于不可滲漏的固體邊界速度為無滑移條件 、 溫度為無突躍條件 ， 即 Vfluid = Vwall， Tfluid = Twall () 如果固體邊界為可滲漏 ， 則邊界條件要根據(jù)具體情況來確定 。 （一）初始條件 在初始時(shí)刻 ， 方程組的解應(yīng)該等于該時(shí)刻給定的函數(shù)值 。 Qq下面推導(dǎo)由于熱傳導(dǎo)而產(chǎn)生的傳熱量 ， 根據(jù)傅立葉熱傳導(dǎo)定律有 q k T? ? ?其中 k為導(dǎo)熱系數(shù)，與分析質(zhì)量流率和動(dòng)量流率相同，我們可以得出 6個(gè)面上由于熱傳導(dǎo)而產(chǎn)生的熱流率 ,將 6個(gè)面上的熱流量代數(shù)求和得出 ( ) ( ) ( )k x y zQ q q q d x d y d zx y z??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???q dxdydz () 將傅立葉熱傳導(dǎo)定律代入上式得出 ()kQ k T d x d y d z? ? ? ? () 粘性應(yīng)力做功率等于粘性應(yīng)力分量 、 相應(yīng)的速度分量和相應(yīng)的面積三項(xiàng)的乘積 ， 見圖 ， 與 x軸垂直的左側(cè)面上粘性應(yīng)力做功率為 其中 () .v L F xW w d y d z? ()x x x x y x y z x zw V V V? ? ?? ? ? ?圖 與上述分析質(zhì)量流量 、 動(dòng)量流量和熱流量完全相同可以得出 ，在與 x軸垂直的兩個(gè)面上粘性應(yīng)力的做功率為 ()x x x y x y z x zV V V d x d y d zx ? ? ?? ???同理可以得出另外兩個(gè)方向上的功率 ， 因此總的粘性應(yīng)力做功率應(yīng)為 ( ) ( )v x x x y x y z x z x y x y y y z y zW V V V V V Vxy? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ???()x z x y z y z z zV V V d x d y d zz ? ? ?? ?? ? ? ?? ?(???? )ij d x d y d z??V () 將式 ()、 () 代入到 () 便得到微分形式的能量方程 V V () dedt? ? ( ) (p k T?? ? ? ? ? ? ? ?)ij q????其中 21?2e u V g z? ? ?上式中粘性力做功項(xiàng)還可以分解為 V V () (?? )ij??? ()ij?? ? ? ? ?其中 為粘性耗散函數(shù)，對于牛頓不可壓流體，該耗散函數(shù)為 ?222 22 2 2yyxx zVVVV Vx y z x y? ? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ??2 2y xzzV VVVy z z x???? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ?通過上式可以看出 0，也就是說 耗散項(xiàng)永遠(yuǎn)是正的，即粘性應(yīng)力所做的功總是消耗機(jī)械能，使流體的內(nèi)能增加。 類似于 ， 由式 （ ） 同樣可以針對微元控制體列出能量方程 (V 該方程可以寫成矢量形式 ， 并用 代替 D Dt d dt2 ()3DV R p V VDt?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 對于不可壓流動(dòng)，上式為 21DV R p VDt ??? ? ? ? ?（ ） 式中 稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù) 。 將 ( ) ， () ， 代入 （ ） 最后得出對于無限小微元體的微分形式動(dòng)量方程 ij? ij ji??? ij?ijdVRpdt? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） 式中 為單位體積所受的質(zhì)量力 R?用文字表示該方程的物理意義為 單位體積所受的質(zhì)量力＋單位體積所受的壓力 ＋單位體積所受的粘性力＝密度 加速度 （ ） 將方程 （ ） 寫成分量式為 yxx x z x x x x xx x y zV V V VpR V V Vx x y z t x y z????? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???（ ） x y y y z y y y y yy x y zV V V VpR V V Vy x y z t x y z? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???yzxz z z z z z zz x y zV V V VpR V V Vz x y z t x y z?? ??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???（ ） （ ） 對于無粘流動(dòng) 因此方程 （ ） 變成 0ij? ?dVRpdt??? ? ?（ ) 式 （ ） 即為描述理想流動(dòng)的歐拉方程 (Euler’s equation)。 為了簡單起見 ， 以 x方向?yàn)槔?。 質(zhì)量力是在某種外部場的作用下使得所有流體質(zhì)量受到的力 ， 如重力 、 離心力 、 電磁力等等 。 本章首先討論粘性流動(dòng)的基本方程 ， 由于連續(xù)方程并不涉及到粘性問題 ， 因此本章主要討論動(dòng)量方程和能量方程 ， 然后導(dǎo)出湍流流動(dòng)的雷諾方程 ， 最后討論附面層基本知識 。理論和實(shí)驗(yàn)表明，對于氣體繞物體的流動(dòng)，粘性影響主要在靠近物體表面的薄層內(nèi)（稱為附面層）。這樣求解粘性流動(dòng)的問題，可以通過求解粘性流動(dòng)的基本方程，也可以求解附面層內(nèi)的流動(dòng)。 本章內(nèi)容構(gòu)成了粘性流體流動(dòng)的基本知識 。 表面力是由于控制面上應(yīng)力的作用而產(chǎn)生的力 ， 這些應(yīng)力包括壓強(qiáng) p和流體運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的粘性應(yīng)力 ,其中壓強(qiáng)的作用方向垂直指向控制面 。 圖 x方向應(yīng)力作用的表面力 。 對于牛頓流體 ， 粘性應(yīng)力與流體的變形以及粘性系數(shù)成正比 ， 具體關(guān)系為 V) V) V) 22(3xxx Vx? ? ??? ? ? ??22(3yyyVy? ? ??? ? ? ??22(3zzzVz? ? ??? ? ? ??y xxyV Vxy??????????????yzyzVVyz??????????????x zzxV Vzy????? ?????????（ ） 式 ( ) 又稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律 。 ????NS方程為二階非線性偏微分方程組。n)dA () svQ W W? ? ? ( ) ( )c v c spe d v et ?? ?? ??? ??因?yàn)樵谖⒃刂企w中沒有軸功 ， 所以 。 ??將式 () 代入到 () 中，并采用（ ）消去 ，得到內(nèi)能形式的能量方程 ij??? V () ? (du pdt? ? ? ?) ( )k T q?? ? ? ? ? ? ?根據(jù)連續(xù)方程有 V () (p?? 1) ( )p d dpd t d t? ???? ? ?它表示單位時(shí)間內(nèi)單位體積流體在壓強(qiáng) p的作用下所作的膨脹（ 或壓縮 ） 功 。 在數(shù)學(xué)上可以表示為 在 0tt?V (x, y, z, t0) = V0 (x, y, z) p (x, y, z, t0) = p0 (x, y, z) (x, y, z, t0) = 0(x, y, z) T(x, y, z, t0) = T0 (x, y, z) () ??式中 V0 (x, y, z) ， p0 (x, y, z) ， 0(x, y, z) ， T0 (x, y, z) 均為時(shí)刻的已知函數(shù)。 對于所有的流動(dòng)進(jìn)出口截面 ， 應(yīng)給出每時(shí)刻截面上速度 、 壓力和溫度的分布 。 雷諾從不可壓縮流體的 N— S方程導(dǎo)出湍流平均運(yùn)動(dòng)方程 （ 后人稱此為雷諾方程 ） 并引出雷諾應(yīng)力的概念 。 39。0A ?001139。 39。39。 39。 39。 39。 39。 39。 0nnAs? ??() （ 8） 瞬時(shí)物理量對于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值 ， 等于時(shí)均物理量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù) ， 即 AAtt????? () 在準(zhǔn)定常的條件下， () 0At? ?? 湍流運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程 由于湍流流動(dòng)中各物理量都具有某種統(tǒng)計(jì)特征的規(guī)律 ， 所以基本方程中任一瞬間物理量都可用平均物理量和脈動(dòng)物理量之和來代替 ， 并且可以對整個(gè)方程進(jìn)行時(shí)間平均的運(yùn)算 。 )( 39。 )( ) ( 39。 )()yyxx zzyyxx zyyxx zzyx zVVVV VVt x y z t x y zVVVV VVt x y zVVVV Vt x yVV Vtzxyxyz???? ???????? ?????? ???? ??????? ????????? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??( 39。 )( ) ( 39。 ) 0yyxx zzVVVV VVt x y z x y z???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?與瞬時(shí)值的連續(xù)方程相比，多出了三個(gè)脈動(dòng)量乘積的導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值。 0yx zVV Vx y z?? ?? ? ?? ? ?可見 ， 對不可壓湍流運(yùn)動(dòng) ， 時(shí)均運(yùn)動(dòng)和脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程和瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程具有相同的形式 。 0A B B A??39。 , 39。 )( 39。 )xyx x x x zxx xyx x zx xVVV V V V Vt x y zVVVp VVV V V Vxyyx x y z??????? ?? ? ?? ? ??????? ? ? ??????? ? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ? ??再應(yīng)用時(shí)均運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程（ ），上式可化為 2222 2 2()39。 39。 39。y y y y y y yx y zx y y y y zV V V V V V VpV V Vt x y z y x y zV V V V V Vx y z??? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。 39。雷諾方程與 N— S方程在形式上是相同的 ， 只不過在粘性應(yīng)力項(xiàng)中多出了附加的湍流應(yīng)力項(xiàng) 。 xV yV zV p 39。xyVV 將雷諾方程與粘性流體應(yīng)力形式的動(dòng)量方程進(jìn)行比較，由式（ ）可以看出，在湍流的時(shí)均運(yùn)動(dòng)中，除了原有的粘性應(yīng)力分量外，還多出了由脈動(dòng)速度乘積的時(shí)均值 、 39。xyVV??39。 39。 39。39。 39。在單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的動(dòng)量為 ，其時(shí)均值為 1ds2xV?xxxx VVVV 39。 式 （ ） 中各項(xiàng)都具有力的因次 ， 從而證明了在湍流情況下 ， 沿 x方向的時(shí)均真實(shí)應(yīng)力 ， 應(yīng)等于時(shí)均運(yùn)動(dòng)情況下 x方向上的應(yīng)力加上由于湍流中的 x方向脈動(dòng)引起的附加應(yīng)力 。?圖 湍流應(yīng)力分析 圖 湍流應(yīng)力分析 由于在點(diǎn) M處沿 y方向上有脈動(dòng)速度 ， 則在單位時(shí)間內(nèi)通過微元面 （ 垂直于 y軸 ） 上的單位面積流入的質(zhì)量為 如圖 ， 這部分