【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 c cxxxk k kk k kk k k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????????????122()()()nnFtx F tx F t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?()M x C x K x F t? ? ?多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程矩陣形式 (244) 0?? xx ???()K x F t?（ 1） 剛度影響系數(shù)計(jì)算 假設(shè)外力以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng) ，即 ? ?1 1 1 0 0 1 0 0T Tj j j nx x x x x x????????(245) 再假定作用于系統(tǒng)的一組外力使系統(tǒng)只在第 j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其它各個(gè)坐標(biāo)上都不產(chǎn)生位移，即產(chǎn)生的位移向量為： 影響系數(shù)法： 根據(jù) 質(zhì)量影響系數(shù)、剛度影響系數(shù)、阻尼影響系數(shù) 分別確定 M、 K、 C，再建立作用力方程。 ()M x C x K x F t? ? ? 因此，所施加的這組外力在數(shù)值上正好是剛度矩陣的第 j列，kij 是在第 i個(gè)坐標(biāo)上所施加的力。故剛度矩陣 K中的元素 kij是使系統(tǒng)僅在第 j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第個(gè) i坐標(biāo)上所施加的力。 kij稱(chēng)為剛度影響系數(shù) 。 (246) ????????????????????????????????????????????????????njjjnnnjnnjnjkkkkkkkkkkkktF??????????????2112221111100100)( 現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬間，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生位移和速度，即 0?? xx ?pxM ???? ? ? ? TTnjjj xxxxxx 00100111 ???????????????? ?? ??(247) 再假定作用于系統(tǒng)的一組外力使系統(tǒng)只在第 j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其它各個(gè)坐標(biāo)上都不產(chǎn)生加速度，即加速度向量為： （ 2） 質(zhì)量影響系數(shù)計(jì)算 ????????????????????????????????????????????????????njjjnnnjnnjnjmmmmmmmmmmmmtF??????????????2112221111100100)((248) 即所施加的這組外力在數(shù)值上正好是質(zhì)量矩陣的第 j列。因此，質(zhì)量矩陣 M中的元素 mij是使系統(tǒng)在第 j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。 mij稱(chēng)為質(zhì)量影響系數(shù)。 阻尼矩陣 C中的元素 Cij稱(chēng)為阻尼影響系數(shù) ，其物理意義是：使系統(tǒng)僅在第 j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。阻尼矩陣一般是正定或半正定的對(duì)稱(chēng)矩陣，可以按工程上各種理論及經(jīng)驗(yàn)公式求出，或直接由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。 （ 3） 阻尼影響系數(shù)計(jì)算 慣性耦合及彈性耦合 對(duì)式 （ 244） 所描述的 n自由度線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，若矩陣中非對(duì)角元素非零則稱(chēng)之為 耦合項(xiàng) 。 質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)的耦合項(xiàng)稱(chēng)為 慣性耦合 ，剛度矩陣中出現(xiàn)的耦合項(xiàng)稱(chēng)為 彈性耦合 。 耦合的物理意義可以簡(jiǎn)單地用兩自由度系統(tǒng)為例說(shuō)明。 ???????22211211mmmmM??????????221100mmM01 ?x??02 ?x??如果系統(tǒng)僅在第一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生加速度，即 , ,則： ?????? ????????????????0000 11112211 xmxmm ???????????????????????1211111222112110 xmxmxmmmm?????? 結(jié) 論 ? 不出現(xiàn)慣性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上產(chǎn)生慣性力；出現(xiàn)慣性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度還會(huì)在其它坐標(biāo)上引起慣性力 ； ? 不出現(xiàn)彈性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力； 出現(xiàn)了彈性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移還會(huì)在其它坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力。 ? 耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇，若選用主坐標(biāo)，可使得多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程完全解耦。 ? 主坐標(biāo) 指使多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的全部耦合項(xiàng)都不出現(xiàn)的坐標(biāo)。它是求解多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題中的一個(gè)十分重要的概念， 而單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)中是沒(méi)有的。 主振動(dòng)、固有頻率、主振型（固有振動(dòng)） ( ) 0 , 0F t C?? 時(shí)式 （ 244） 被改寫(xiě)成 0M x K x??()x f t????? ?? ??? MKtf tf TT)()(??（ 249） （ 250） （ 251） 0)()( ?? tfKtfM TT ???? ??描述系統(tǒng)的同步運(yùn)動(dòng) 由于在正定或半正定振動(dòng)系統(tǒng)中， M正定、 K正定或半正定 0T M?? ? 0T K?? ?式（ 251） 2???0)()( 2 ?? tftf ???s i n ( ) 0()0atfta t b? ? ??????? ???（ 252） （ 253） （ 254） 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式為 因此，正定系統(tǒng)只可能出現(xiàn)的同步運(yùn)動(dòng) 有兩種： ? 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 。 系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都以相同的頻率及初始相位作簡(jiǎn)諧運(yùn) 動(dòng) 。 ? 剛體運(yùn)動(dòng) 。 半正定系統(tǒng)除了能出現(xiàn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)之外， 還能出現(xiàn)剛體運(yùn)動(dòng)（ 這是一種可以無(wú)限遠(yuǎn)離原平衡位置的剛體運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)不發(fā)生彈性變形 ）。 s i n ( ) 0 (()( ) 0 (atxta t b? ? ? ???????? ???簡(jiǎn)諧振動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)））(255) 若把常數(shù) α并入式（ 255）中 φ的各元素內(nèi)，主振動(dòng)（這里指簡(jiǎn)諧振動(dòng)）可寫(xiě)成 (256) ? ?Tenee ???? , 21 ??)s in( ??? ?? tx把式（ 256）代入式（ 249），得到代數(shù)齊次方程組 0)( 2 ?? ??MK02 ?? ?MK0222221122222222221212112121221111???????????????????nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk???????克萊姆法則 222210 n??? ???? ?(257) (258) (259) 0)( 2 ?? iiMK ??矩陣 稱(chēng)為特征矩陣，記為 )( 2 MK ?? )(?B)(11 ?a d j BBB ??)(?B a d j BIB ????????????????????????????????eninnnnneinnnneinneninnneinneimkmkmkmkmkmk????????????)()()()()()(2,1,11,21,11,1121,11,12111,21,11,1121111??????????????????????????????(260) (261) (262) (263) 令 ，解方程組（ 263），得第 i階特征向量為 1?en?? ?Tneeei 1, 1,21 ?? ???? ?,i i ia? ? ? ??? 代入式（ 255） 將 )s in ( iiii tax ??? ??enneexxx?????? ?2211（ 264） （ 265） 在振動(dòng)中把 φ i稱(chēng)作第 i階主振型。主振型也稱(chēng)作固有振型或主模態(tài)。主振型僅取決于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣 M 、剛度矩陣 K等物理參數(shù)。 主振型是多自由度系統(tǒng)中的一個(gè)重要概念，在單自由度系統(tǒng)中是沒(méi)有的。 多自由度 系統(tǒng)的固有振動(dòng)是 n個(gè)主振動(dòng)的疊加。 1 1 1 1 2 2 2 21( ) s in ( ) s in ( ) s in ( )s in ( )n n n nni i i iix t a t a t a tat? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ????把式（ 257） 所描述的特征方程 改寫(xiě)為 0)( 2 ?? ??MK??? MK 2?（ 266） （ 267） ??? 21 )( ?? KM121()KM ???? ?（ 268） （ 269） 式 （ 268） 中的矩陣 的最大特征值是 ， 而式 （ 269） 中的矩陣 )( 1 KM ? 2n?)( 1 MK ? 的最大特征值是 。 211?主振型的正交性 主振型之間關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣具有正交性質(zhì) 式（ 267） iii MK ??? 2?jjj MK ???2?jTiijTi MK ????? 2?jTijjTi MK ????? 2?（ 270） （ 271） （ 272） （ 273） 由式（ 272）和（ 273）相減，得 0)( 22 ?? jTiji M ????0TijM i j?? ??0TijK i j?? ??（ 274） （ 275） （ 276） 式 （ 275） 和式 （ 276） 表明：對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，既關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。 ji? ， 式（ 273）總成立，令 顯然，主質(zhì)量 總是正實(shí)數(shù)，主剛度 在正定系統(tǒng)中是正實(shí)數(shù)，而在半正定系統(tǒng)中 除正實(shí)數(shù)外還可以是零。 piiTi MM ???piiTi KK ???式（ 273） pipii MK?2?（ 277） （ 278） （ 279） piM piKpiK? ?ji ???? 1式（ 275）和（ 277）可合寫(xiě)成矩陣形式，即 由式（ 276）和（ 278）得 ?????????pjpiT KK00K11（ 280） （ 281） （ 282） 記 是主振型 ?11 00T TTi pii i i jTij TTTpjj i j jjMMMMM MMM? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ?? ???? ? ? ? ??? ?? ????? ??????主振型正交的物理意義可以從能量角度解釋 )s in ()( iiii tatq ?? ?? )s in ()( jjjj tatq ?? ??? ? ?????????jijijjii qqqqx ????位移響應(yīng) 112201 1 102 2 21122ii piTTi j i jpjjjp i i p j j i jqq MT x M x q q M q qMM q M q T T? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?系統(tǒng)動(dòng)能 jijpjipiT UUqKqKKxxU ????? 22212121系統(tǒng)勢(shì)能 ? ? ? ?22