【文章內容簡介】 ?????????若相關系數 ，則簡化為 ? () ?可見當隨機變量 X和 Y服從二維正態(tài)分布時，不相關即等同于統(tǒng)計獨立。 0?xy?)()( 2121),(22222)(2)(ypxpeeyxpyyxxyyxx??????????????正態(tài)分布是比較簡單，也研究得相當充分的一種分布函數。 ?在實踐中如果影響隨機變量的因素很多，且每一種因素的影響都很小，就可以近似地認為這個隨機變量是正態(tài)分布。 ?對于正態(tài)分布的隨機變量，只要給出均值和二次矩，其概率密度函數就可根據式 ()和 ()完全確定。 ?當隨機過程在每個給定時刻的隨機變量均為聯合正態(tài)分布時，就稱此隨機過程為正態(tài)過程或高斯過程。許多自然現象如大氣湍流、海浪、路面不平度等都可用正態(tài)過程近似地描述。 ?正態(tài)過程最重要的特點是經過線性運算之后仍為正態(tài)過程。 ?因此當一個線性系統(tǒng)的激勵為正態(tài)過程時，其響應也必為正態(tài)過程。 ?正態(tài)過程的另一重要特征是它的高次矩可由均值和二次矩導出。設 =0，則有 ? () ?證明過程從略。 x?? ? nn txEntxE )]([)12(531)]([ 22 ?????? ?62 工程中的隨機振動問題 ? 1．不平路面上行駛的車輛 ? 將車輛簡化為單自由度質量 — 彈簧 — 阻尼系統(tǒng)，由于路面不平引起接觸處的位移激勵 (圖 )，動力學方程為 ? () )(1 tx11 kxxckxxcxm ???? ???? ?圖 不平路面上的車輛 ?實際量測表明，路面沿縱向路程 s的不平度h(s)是局部均勻的、具有零均值的、遍歷的高斯隨機場。隨機場與隨機過程名稱的不同是由于將時間變量 t改為空間坐標 s，時間頻率 也改為波數 即以波長 代替周期 T。相應地，平穩(wěn)過程改稱為均勻隨機場。設 為路程差，則路面不平度相對空間的自相關函數和功率譜密度定義為 ? () ? () T/2?? ? ?? /2?k??)]()([)( ?? ?? shshER h?? ? deRkS ikhh ?????? )()(?當車輛以勻速 v行駛時，空間與時間之間有以下轉換關系 ? () ?將隨機場 轉換為隨機過程 ，其自相關函數完全相同 ? () vkvTvvts /, ???? ????)(sh)()(1 vthtX ?)()(1?? hx RR ??利用式 ()推導隨機過程與隨機場的功率譜密度之間的關系，得到 ? () ?計算波數功率譜密度 的經驗公式為 ? () )(1)(1)()(11kSvdeRvdeRShikhixx?????????????????????)(kS hnh kkS?? ?)(?其中 根據不同等級的路面不平度作出規(guī)定。 ?將式 ()中的 k代入后得到的功率譜密度與速度 v有關 ? () ?, ??nnnx vS??? ??? 1)(1?若將汽車懸掛裝置的上下部分質量分別考慮，則可將車輛簡化為串聯質量的二自由度系統(tǒng)的隨機振動問題。 ?若分別考慮車輛前后輪承受地面激勵，也可將車輛簡化為在對稱平面內運動的剛體，歸結為另一種類型的二自由度系統(tǒng)的隨機振動。 ?若考慮更多因素，包括間隙和干摩擦等非線性因素，則車輛模型可更為復雜，工程中多用等效線性化方法分析其統(tǒng)計特性。 ? 2．船舶在風浪中的橫搖 ? 對于開闊洋面上充分發(fā)展了的風浪，其波高 在同一位置和不太長時間內可認為是零均值的平穩(wěn)高斯隨機過程。關于波高功率譜密度的計算，國際上廣泛采用的公式為 ? () ?式中 為重力加速度， 為名義波高，與風速有關。 ?45)( ????? ?? eaSghga , 2 3123 ??? ? ?31h?從圖 ~之間。具有零速的船舶在橫浪作用下的響應以橫搖為主。列出解耦的橫搖動力學方程 ] ? () ?式中 J為船舶連同水的附加質量在內的轉動慣量， c和 k分別為粘阻系數和恢復力矩系數，M(t)為隨機波浪產生的隨機激勵力矩。 )( tMkcJ ??? ??? ??? ?圖 海浪的波高功率譜密度 ? M(t)的功率譜密度 與波高功率譜密度、船舶的吃水深度、尺寸、形狀及水動力學等因素有關。 ?因而船舶在隨機波浪作用下的橫搖問題歸結為單自由度線性系統(tǒng)的隨機振動問題。 ?當橫搖幅度較大時，還必須考慮恢復力矩和阻尼力矩的非線性因素。當橫搖運動與船舶其他運動耦合時就成為多自由度系統(tǒng)的隨機振動問題。 )(?MS? 3． 地震載荷作用下的結構振動 ? 重要的建筑物如原子能反應堆、水壩、橋梁等必須將地震載荷作為重要的設計載荷。地震波傳至地表時產生鉛垂方向和水平方向的運動。水平運動對結構的破壞作用尤為巨大。 ?圖 。 ?圖 建筑物的簡化模型 ?只考慮地震加速度的水平分量 ，列出樓房相對地面的動力學方程 ? gx??)( )()()( )()(2221112221122121121111bxmxkkxkxccxcxmaxmxxkxxcxmgg???????????????????????????地震有初震、強震和衰減三個階段，是明顯的不平穩(wěn)隨機過程。 ?工程中有兩種處理方法： ?一種為確定性方法，即采用盡可能接近一次強地震加速度 的記錄作為輸入，計算結構的響應。但不能保證另一次地震能得到同樣結果。 ?另一種為隨機振動方法，即探討地震隨機過程的一般規(guī)律，強震階段的水平分量常視為零均值平穩(wěn)高斯隨機過程。 gx???如卡耐 塔基米 (KanaiTajimi)模型，其加速度的功率譜密度為 ? () ?式中參數 和 取決于震源至地面的介質性質，對硬土層可取 和 為一常數。為考慮地震過程的非平穩(wěn)性，也可使 與確定的時間函數 A(t)相乘，稱作漸進譜密度。 )0( )(4])(1[])(41[)( 2222 022????? ??????????gggggxSSg??g? g??? 5?g 0, Sg ??)(?gxS ??? 4．風載荷作用下的結構振動 ? 風載荷是塔架、煙囪等高層建筑和大跨度橋梁等結構的重要設計載荷。結構上作用的風載荷可分為定常部分和脈動部分。剛度較大的建筑只需將定常部分作為靜載荷考慮。對于柔度愈來愈大的高層建筑，則必須同時考慮定常部分和脈動部分，后者為隨機載荷。 ?對于飛機，高空大氣湍流產生的突風載荷是重要的設計載荷，這是一種隨機載荷。飛機在嚴重的湍流中可能造成超載而破壞。 103 線性系統(tǒng)對單個隨機激勵的響應 ? 1． 單自由度線性系統(tǒng)對單個隨機激勵的晌應 ?設質量 — 彈簧 — 阻尼系統(tǒng)受到隨機力 F(t)激勵，動力學方程為 ? )()( tFkxxcxm ??? ????系統(tǒng)的響應特性可用脈沖響應函數 h(t)或復頻響應函數 描述 (圖 )。寫出杜哈梅積分形式的解，將積分的上下限擴展為 不影響結果， ? （ ） ?若激勵 F(t)為平穩(wěn)隨機過程，則穩(wěn)態(tài)響應也是平穩(wěn)隨機過程，其統(tǒng)計特性可計算如下。 )(?H),( ??????????dhtFdthFtx)()()()()(???????????? ?圖 受單個隨機激勵的單自由度線形系統(tǒng) ? (1)均值 ?利用式 ()對式 ()求平均，并將求平均與積分的次序互換，導出 ? ?由于 F(t)為平穩(wěn)隨機過程，有 ? () )()()]([])()([)]([???????dhtFEdhtFEtxEx?????????????FtFEtFE ?? ??? )]([)]([?則式 ()化作 ? ?上式中的積分可用 時的復頻響應函數值 H(0)表示。 ?得到 ? ?即響應的均值與激勵的均值只相差一個常值乘子 H(0)。 )()( ???? dhFx ? ????0??)()0( FHx ?? ??當激勵的靜態(tài)分量為零時，響應的靜態(tài)分量亦為零。 ?今后為分析方便，只討論激勵力與響應的均值皆為零的情形。 ? (2)自相關函數 ? 利用式（ ）和 ()計算自相關函數，用 表示積分變量，并交換求平均與積分求和的次序，導出 ? () ?此積分僅依賴于時差 與時間 t無關。 21 ,??122211212121222111)()()()]()([)()(])()()()([)]()([)(???????????????????????ddhRhddtFtFEhhdhtFdhtFEtxtxERFx??????????????????????????????????????? (3)激勵與