【文章內(nèi)容簡介】 ?????????若相關(guān)系數(shù) ，則簡化為 ? () ?可見當(dāng)隨機(jī)變量 X和 Y服從二維正態(tài)分布時(shí)，不相關(guān)即等同于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 0?xy?)()( 2121),(22222)(2)(ypxpeeyxpyyxxyyxx??????????????正態(tài)分布是比較簡單，也研究得相當(dāng)充分的一種分布函數(shù)。 ?在實(shí)踐中如果影響隨機(jī)變量的因素很多，且每一種因素的影響都很小，就可以近似地認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量是正態(tài)分布。 ?對于正態(tài)分布的隨機(jī)變量，只要給出均值和二次矩，其概率密度函數(shù)就可根據(jù)式 ()和 ()完全確定。 ?當(dāng)隨機(jī)過程在每個(gè)給定時(shí)刻的隨機(jī)變量均為聯(lián)合正態(tài)分布時(shí)，就稱此隨機(jī)過程為正態(tài)過程或高斯過程。許多自然現(xiàn)象如大氣湍流、海浪、路面不平度等都可用正態(tài)過程近似地描述。 ?正態(tài)過程最重要的特點(diǎn)是經(jīng)過線性運(yùn)算之后仍為正態(tài)過程。 ?因此當(dāng)一個(gè)線性系統(tǒng)的激勵(lì)為正態(tài)過程時(shí)，其響應(yīng)也必為正態(tài)過程。 ?正態(tài)過程的另一重要特征是它的高次矩可由均值和二次矩導(dǎo)出。設(shè) =0，則有 ? () ?證明過程從略。 x?? ? nn txEntxE )]([)12(531)]([ 22 ?????? ?62 工程中的隨機(jī)振動問題 ? 1．不平路面上行駛的車輛 ? 將車輛簡化為單自由度質(zhì)量 — 彈簧 — 阻尼系統(tǒng)，由于路面不平引起接觸處的位移激勵(lì) (圖 )，動力學(xué)方程為 ? () )(1 tx11 kxxckxxcxm ???? ???? ?圖 不平路面上的車輛 ?實(shí)際量測表明，路面沿縱向路程 s的不平度h(s)是局部均勻的、具有零均值的、遍歷的高斯隨機(jī)場。隨機(jī)場與隨機(jī)過程名稱的不同是由于將時(shí)間變量 t改為空間坐標(biāo) s，時(shí)間頻率 也改為波數(shù) 即以波長 代替周期 T。相應(yīng)地，平穩(wěn)過程改稱為均勻隨機(jī)場。設(shè) 為路程差，則路面不平度相對空間的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度定義為 ? () ? () T/2?? ? ?? /2?k??)]()([)( ?? ?? shshER h?? ? deRkS ikhh ?????? )()(?當(dāng)車輛以勻速 v行駛時(shí)，空間與時(shí)間之間有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系 ? () ?將隨機(jī)場 轉(zhuǎn)換為隨機(jī)過程 ，其自相關(guān)函數(shù)完全相同 ? () vkvTvvts /, ???? ????)(sh)()(1 vthtX ?)()(1?? hx RR ??利用式 ()推導(dǎo)隨機(jī)過程與隨機(jī)場的功率譜密度之間的關(guān)系，得到 ? () ?計(jì)算波數(shù)功率譜密度 的經(jīng)驗(yàn)公式為 ? () )(1)(1)()(11kSvdeRvdeRShikhixx?????????????????????)(kS hnh kkS?? ?)(?其中 根據(jù)不同等級的路面不平度作出規(guī)定。 ?將式 ()中的 k代入后得到的功率譜密度與速度 v有關(guān) ? () ?, ??nnnx vS??? ??? 1)(1?若將汽車懸掛裝置的上下部分質(zhì)量分別考慮，則可將車輛簡化為串聯(lián)質(zhì)量的二自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動問題。 ?若分別考慮車輛前后輪承受地面激勵(lì)，也可將車輛簡化為在對稱平面內(nèi)運(yùn)動的剛體，歸結(jié)為另一種類型的二自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動。 ?若考慮更多因素，包括間隙和干摩擦等非線性因素，則車輛模型可更為復(fù)雜，工程中多用等效線性化方法分析其統(tǒng)計(jì)特性。 ? 2．船舶在風(fēng)浪中的橫搖 ? 對于開闊洋面上充分發(fā)展了的風(fēng)浪，其波高 在同一位置和不太長時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為是零均值的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。關(guān)于波高功率譜密度的計(jì)算，國際上廣泛采用的公式為 ? () ?式中 為重力加速度， 為名義波高，與風(fēng)速有關(guān)。 ?45)( ????? ?? eaSghga , 2 3123 ??? ? ?31h?從圖 ~之間。具有零速的船舶在橫浪作用下的響應(yīng)以橫搖為主。列出解耦的橫搖動力學(xué)方程 ] ? () ?式中 J為船舶連同水的附加質(zhì)量在內(nèi)的轉(zhuǎn)動慣量， c和 k分別為粘阻系數(shù)和恢復(fù)力矩系數(shù)，M(t)為隨機(jī)波浪產(chǎn)生的隨機(jī)激勵(lì)力矩。 )( tMkcJ ??? ??? ??? ?圖 海浪的波高功率譜密度 ? M(t)的功率譜密度 與波高功率譜密度、船舶的吃水深度、尺寸、形狀及水動力學(xué)等因素有關(guān)。 ?因而船舶在隨機(jī)波浪作用下的橫搖問題歸結(jié)為單自由度線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動問題。 ?當(dāng)橫搖幅度較大時(shí)，還必須考慮恢復(fù)力矩和阻尼力矩的非線性因素。當(dāng)橫搖運(yùn)動與船舶其他運(yùn)動耦合時(shí)就成為多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動問題。 )(?MS? 3． 地震載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動 ? 重要的建筑物如原子能反應(yīng)堆、水壩、橋梁等必須將地震載荷作為重要的設(shè)計(jì)載荷。地震波傳至地表時(shí)產(chǎn)生鉛垂方向和水平方向的運(yùn)動。水平運(yùn)動對結(jié)構(gòu)的破壞作用尤為巨大。 ?圖 。 ?圖 建筑物的簡化模型 ?只考慮地震加速度的水平分量 ，列出樓房相對地面的動力學(xué)方程 ? gx??)( )()()( )()(2221112221122121121111bxmxkkxkxccxcxmaxmxxkxxcxmgg???????????????????????????地震有初震、強(qiáng)震和衰減三個(gè)階段，是明顯的不平穩(wěn)隨機(jī)過程。 ?工程中有兩種處理方法： ?一種為確定性方法，即采用盡可能接近一次強(qiáng)地震加速度 的記錄作為輸入，計(jì)算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。但不能保證另一次地震能得到同樣結(jié)果。 ?另一種為隨機(jī)振動方法，即探討地震隨機(jī)過程的一般規(guī)律，強(qiáng)震階段的水平分量常視為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。 gx???如卡耐 塔基米 (KanaiTajimi)模型，其加速度的功率譜密度為 ? () ?式中參數(shù) 和 取決于震源至地面的介質(zhì)性質(zhì)，對硬土層可取 和 為一常數(shù)。為考慮地震過程的非平穩(wěn)性，也可使 與確定的時(shí)間函數(shù) A(t)相乘，稱作漸進(jìn)譜密度。 )0( )(4])(1[])(41[)( 2222 022????? ??????????gggggxSSg??g? g??? 5?g 0, Sg ??)(?gxS ??? 4．風(fēng)載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動 ? 風(fēng)載荷是塔架、煙囪等高層建筑和大跨度橋梁等結(jié)構(gòu)的重要設(shè)計(jì)載荷。結(jié)構(gòu)上作用的風(fēng)載荷可分為定常部分和脈動部分。剛度較大的建筑只需將定常部分作為靜載荷考慮。對于柔度愈來愈大的高層建筑，則必須同時(shí)考慮定常部分和脈動部分，后者為隨機(jī)載荷。 ?對于飛機(jī)，高空大氣湍流產(chǎn)生的突風(fēng)載荷是重要的設(shè)計(jì)載荷，這是一種隨機(jī)載荷。飛機(jī)在嚴(yán)重的湍流中可能造成超載而破壞。 103 線性系統(tǒng)對單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng) ? 1． 單自由度線性系統(tǒng)對單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的晌應(yīng) ?設(shè)質(zhì)量 — 彈簧 — 阻尼系統(tǒng)受到隨機(jī)力 F(t)激勵(lì)，動力學(xué)方程為 ? )()( tFkxxcxm ??? ????系統(tǒng)的響應(yīng)特性可用脈沖響應(yīng)函數(shù) h(t)或復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) 描述 (圖 )。寫出杜哈梅積分形式的解，將積分的上下限擴(kuò)展為 不影響結(jié)果， ? （ ） ?若激勵(lì) F(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是平穩(wěn)隨機(jī)過程，其統(tǒng)計(jì)特性可計(jì)算如下。 )(?H),( ??????????dhtFdthFtx)()()()()(???????????? ?圖 受單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的單自由度線形系統(tǒng) ? (1)均值 ?利用式 ()對式 ()求平均，并將求平均與積分的次序互換，導(dǎo)出 ? ?由于 F(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，有 ? () )()()]([])()([)]([???????dhtFEdhtFEtxEx?????????????FtFEtFE ?? ??? )]([)]([?則式 ()化作 ? ?上式中的積分可用 時(shí)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)值 H(0)表示。 ?得到 ? ?即響應(yīng)的均值與激勵(lì)的均值只相差一個(gè)常值乘子 H(0)。 )()( ???? dhFx ? ????0??)()0( FHx ?? ??當(dāng)激勵(lì)的靜態(tài)分量為零時(shí)，響應(yīng)的靜態(tài)分量亦為零。 ?今后為分析方便，只討論激勵(lì)力與響應(yīng)的均值皆為零的情形。 ? (2)自相關(guān)函數(shù) ? 利用式（ ）和 ()計(jì)算自相關(guān)函數(shù)，用 表示積分變量，并交換求平均與積分求和的次序，導(dǎo)出 ? () ?此積分僅依賴于時(shí)差 與時(shí)間 t無關(guān)。 21 ,??122211212121222111)()()()]()([)()(])()()()([)]()([)(???????????????????????ddhRhddtFtFEhhdhtFdhtFEtxtxERFx??????????????????????????????????????? (3)激勵(lì)與