【文章內(nèi)容簡介】 方程： 222022xuatu??????Ea ?0初始條件： 0)(,0),0( 2/ ???? ? lxxutuvxuxu tx ???? ?)(,0)0,(自己推導(dǎo)！ 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 例： 有一根 x=0 端為自由、 x=l 端處為固定得桿，固定端承受支撐運(yùn)動 tdtu g ?s in)( ?d 為振動的幅值 試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 lx0)(tug連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 解： lx0tdtu g ?s in)( ?方程建立 dxudxx uuu g???? )(22xuSdx???dxxFF ???F微段分析 應(yīng)變： xuudxudxxuuugg??????????)(])([?內(nèi)力： xuuESESF g????? )(?達(dá)朗貝爾原理： FdxxFFt uS d x ??????? )(22?),( txu桿上距原點(diǎn) x 處截面在時刻 t 的縱向位移 2222 )(xuuEStuS g???????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 lx0tdtu g ?s in)( ?令： 代入方程： 2222 )(xuuEStuS g???????guuu ??* guuu ?? *即： guSE S uuS ???? ?? ??? 39。*39。* tSd ??? s in2??設(shè)解為： ????1* )()(iii tqxu ? )(xi?為歸一化的正則模態(tài) ,...5,3,1,2c o s2)( ?? ixlilxi ??代入方程，得： tSdES qqSiiiii ?????? s i n)(2,...5,3,139。39。 ???????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 lx0tdtu g ?s in)( ?2222 )(xuuEStuS g???????guuu ??* ????1* )()(iii tqxu ?,...5,3,1,2c o s2)( ?? ixlilxi ??tSdES qqSiiiii ?????? s i n)(2,...5,3,139。39。 ???????)(xj?用 乘上式，并沿桿長積分： ?? ?? ????ljiljiiljii dxtSddxESqdxSq 021 039。39。0s i n)( ???????????利用正交性： tdi llqq iiii ???? s i n)1(22 22/)1(2 ??????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 lx0tdtu g ?s in)( ?2222 )(xuuEStuS g???????guuu ??* ????1* )()(iii tqxu ?,...5,3,1,2c o s2)( ?? ixlilxi ??tdi llqq iiii ???? s i n)1(22 22/)1(2 ??????模態(tài)穩(wěn)態(tài)解： tdillq iiii ????? s i n)1(22 2/)1(22???2)/(11ii ??? ??tlxidiEluiii???? ?? s i n2c o s)1(16,...5,3,132/)1(322* ??????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 lx0tdtu g ?s in)( ?2222 )(xuuEStuS g???????guuu ??* 2)/(11ii ??? ??tlxidiEluiii???? ?? s i n2c o s)1(16,...5,3,132/)1(322* ??????tdlxiiEluuuiiig??????s i n2c o s)1(161 ,...5,3,12/)1(3322*???????????????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 桿振動分析小結(jié) 1. 建立動力學(xué)方程 2. 根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài) 3. 變量分離 4. 代入動力學(xué)方程，并利用正交性條件 得到模態(tài)空間方程 5. 物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間 6. 模態(tài)空間方程求解 7. 返回物理空間，得解 )()(),( 1 tqxtxu iii ?????)(2 tQqq jjjj ?? ???)(, xii ??)0(),0( jj qq ?)(tqj)()(),( 1 tqxtxu iii ?????物理空間問題 模態(tài)空間問題 )()(),( 1 tqxtxu iii ?????模態(tài)疊加法 教學(xué)內(nèi)容 ? 一維波動方程 ? 梁的彎曲振動 ? 集中質(zhì)量法 ? 假設(shè)模態(tài)法 ? 模態(tài)綜合法 ? 有限元法 ? 梁的彎曲振動 動力學(xué)方程 考慮細(xì)長梁的橫向彎曲振動 ),( txf),( txmyx0梁各截面的中心慣性軸在同一平面 xoy 內(nèi) 在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響 外載荷作用在該平面內(nèi) 梁在該平面作橫向振動（微振） 這時梁的主要變形是彎曲變形 伯努利－歐拉梁（ BernoulliEuler Beam） f(x,t): 單位長度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長度梁上分布的外力矩 梁參數(shù)： I 截面對中性軸的慣性積 單位體積梁的質(zhì)量 ?S 梁橫截面積 E 彈性模量 外部力： 假設(shè)： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 動力學(xué)方程 ),( txf),( txmyx0f(x,t):單位長度梁上分布的外力 m(x,t):單位長度梁上分布的外力矩 微段受力分析 令： y(x,t):距原點(diǎn) x處的截面在 t時刻 的橫向位移 ),( txyx dxdxtxf ),(dx22tySdx???dxxMM ???dxxFF ss ???MsFdxtxm ),(:,MFs 截面上的剪力和彎矩 微段的慣性力 :22t ySdx ???:),( dxtxf 微段所受的外力 :),( dxtxm 微段所受的外力矩 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 dxtxf ),(dx22tySdx???dxxMM ???dxxFF ss ???MsFdxtxm ),(力平衡方程 ： 0),()(22????????? dxtxfFdxxFFt yS d x sss?22),(tyStxfxF s?????? ?即 ： 以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡： 0),(22),() 22 ??????????? dxtxmdxt ySdxdxdxtxfdxFMdxxMM s ?（略去高階小量： ),( txmxMF s ????材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系： 22 ),(),(xtxyEItxM???),(),(),(]),([ 222222txmxtxft txySx txyEIx ??????????? ?變截面梁的動力學(xué)方程： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 ),(),(),(]),([ 222222txmxtxft txySx txyEIx ??????????? ?變截面梁的動力學(xué)方程： 等截面梁的動力學(xué)方程： ),(),(2244txmxtxft ySx yEI ????????? ?連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 固有頻率和模態(tài)函數(shù) ),(),(),(]),([ 222222txmxtxft txySx txyEIx ??????????? ?變截面梁的動力學(xué)方程： 討論梁的自由振動 0),(]),([ 222222???????? t txySx txyEIx ?自由振動方程： 根據(jù)對桿縱向振動的分析，梁的主振動可假設(shè)為： )s i n ()()()(),( ???? ??? taxtqxtxy代入自由振動方程： 0)( 2 ?????? ???? SEI對于等截面梁： 0)()( 4)4( ?? xx ???2024a?? ?SEIa??20xCxCxCxCx ????? s i n hco s hs i nco s)( 4321 ????通解： )4~1( ?iC i ?和 應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 0),(),( 2244?????? t txySx txyEI ?等截面梁的自由振動方程： 梁的主振動： )s i n ()()()(),( ???? ??? taxtqxtxy0)()( 4)4( ?? xx ???xCxCxCxCx ????? s i n hco s hs i nco s)( 4321 ????通解： 代入，得： 第 i 階主振動： )(xi?i? 無窮多個 )si n ()(),()( iiiii txatxy ??? ??ia i?和 由系統(tǒng)的初始條件確定 系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加： ?????1)s i n ()(),(iiiii txatxy ???連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 常見的約束狀況與邊界條件 0),( ??? x txy0)( ?x? 0)( ?? x?lx 0 或?（ 1）固定端 撓度和截面轉(zhuǎn)角為零 0),( ?txy（ 2）簡支端 撓度和彎矩為零 0),( 22???? x txyEIM0),( ?txy0)( ??? x?0)( ?x?lx 0 或?（ 3）自由端 彎矩和剪力為零 0),( 22???? x txyEIM 0???? xMF s0)( ??? x? 0)( ???? x?lx 0 或?)()(),( tqxtxy ??連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 例： 求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù) x0y解： 一端固定，一端自由 邊界條件 0)0( ?? 0)0( ???固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零 自由端：彎矩和截面剪力為零 0)( ??? l? 0)( ???? l?xCxCxCxCx ????? s i n hc o s hs i nc o s)( 4321 ????得： 4231 , CCCC ????以及： ????????????0)c o s h( c os)s i n h( s i n0)s i n h( s i n)c o s h( c os2121llCllCllCllC????????0c o s hc o ss i n hs i n s i n hs i nc o s hc o s ???? ?? llll llll ???? ????21 CC、非零解條件： 2024a?? ?SEIa??20連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 0c o s hc o ss i n hs i n s i n hs i nc o s hc o s ??? ?? llll llll ???? ????簡化后，得： 01c o s hc o s ??ll ?? 頻率方程 當(dāng) i=1,2,3時 解得： ),4,3(,2 12 ???? iili ?? ?l? ?l? ?l?3?i當(dāng) 時 各階固有頻率： 2024a?? ?SEIa??20),2,1(,)( 42 ??? iSlEIlii ???對應(yīng)的各階 模態(tài)函數(shù) ： 其中： ),2,1(),s i n h( s i nc o s hc o s)( ?????? ixxxxx iiiiii ??????),2,1(,s i n hs i n c o s hc o s ????