【文章內容簡介】 ?????????????22112211證明 設 x可由 x1 ,x2 , … ,x n有兩種線性表示： niii ,2,1, ??? ??0???ii ??0)()()( 222111 ??????? nnn xxx ?????? ?x1 ,x2 , … ,x n是線性空間 V 的一組基，它們線性無關， 坐標 設 x1 ,x2 , … ,x n是線性空間 V 的一組基，則稱 x由 x1 ,x2 , … ,x n唯一線性表示的系數為向量 x在基 x1 ,x2 , … ,x n下的坐標，記為 X. nn xxxx ??? ???? ?2211? ? TnX ??? ?21?? ????????????????nnxxx?????2121即設 則 引入坐標的意義就在于將抽象的向量與具體的 數組向量聯(lián)系起來了。 說明： 在不同的坐標系（或基）中，同一向量的坐標一般是不同的。例如： 例 在 R3中， x1 ,x2 , x 3是與 y1 ,y2 , y 3都是線性空間 R3 的一組基 ?????????????????????????????????100,010,001321 xxx?????????????????????????????????111,011,001321 yyy向量 3321 ),( Rx T ?? ???在這兩組基下的坐標分別為 T),( 33221 ????? ??,),( 321 T???引理 n維線性空間 V 的任意 n個線性無關的向量x1 ,x2 , … ,x n都可構成線性空間 V 的一組基。 證明 設 x1 ,x2 , … ,x n 是 n維線性空間 V 的任意一組線性無關的向量， x是 V的任一向量，只要證明： 設存在一組不全為 0的數 k , l 1 , l 2 , … , l n使 02211 ????? nn xlxlxlkx ?由于 x1 ,x2 , … ,x n 是線性無關的，故 0?knklklkl xxxx n???? ?21 21所以 X可由 x1 ,x2 , … ,x n是線性表示。 X可由 x1 ,x2 , … ,x n是線性表示即可 進而 因此 x1 ,x2 , … ,x n可構成 V 的一組基 推論 1 在 n維線性空間中，任意 m(mn)個 向量必是線性相關的 推論 2 在 n維線性空間中，任意兩組基 中所含的向量的數目相同。 下面，討論當線性空間的基改變時，向量的坐標如何變化，為此，首先介紹過渡矩陣的概念。 二、基變換與過渡矩陣 x1 ,x2 , … ,x n與 y1 ,y2 , … , y n是 n維線性空間 V的兩組不同基。則由基的定義，有 ???????????????????nnnnnnnnnnxpxpxpyxpxpxpyxpxpxpy???????22112222112212211111稱 P是由基 x1 ,x2 , … ,x n到基 y1 ,y2 , … , y n的過渡矩陣。 ? ? ? ? Pxxxyyy nn ?? 2121 ?記作： nnijpP ?? )(其中 過渡矩陣結論 (1) 過渡矩陣 P是可逆矩陣； 同一向量在不同基下的坐標是不同的。設 ? ?? ?YyyyXxxxxnn,,2,121????得坐標變換公式 (2) 設 P是由基 x1 ,x2 , … ,x n到基 y1 ,y2 , … , y n的過渡矩陣，則 P1是由基 y1 ,y2 , … , y n到基x1 ,x2 , … ,x n的過渡矩陣。 XPY 1??? ?PYxxx n, 21 ??由于基向量線性無關，則 ,PYX ?例 求向量 在基 x1 ,x2 , x 3下的坐標 ?????????????????????????????????????????????121,111,011,001321 ?XXX解法 1： 由向量坐標的定義，可設： 332211 XXX ???? ??????????????332321121??????得方程組 解方程組即可 由自然基到基 x1 ,x2 , x 3的過渡矩陣為 ??????????????1001100111P?????????? ?????????????????????????? ?1111211001100111 XPY解法 2： ,100110111???????????P 求得 利用坐標變換公式，則基 x1 ,x2 , x 3的坐標為 自學 P8例 ；練習 P23： 4 第三節(jié) 線性子空間 主要內容： 一、子空間與生成子空間 二、子空間的運算 三、子空間的直和 定義：設 V是一個線性空間， S是 V的一個子集，如果 S關于 V的加法及數乘也構成一個線性空間，則稱 S是 V的一個子空間。仍記為 定理 : 線性空間 V的一個子集 S是 V的一個子空間當且僅當 S關于 V的加法及數乘是封閉的，即 VS ?SyxFSyx????????? ,說明：每個非零線性空間至少有兩個子空間，一個是它自身，另一個是僅由零向量所構成的子集合，稱為零子空間。 一、子空間與生成子空間 設 x1 ,x2 , … ,x k 是線性空間 V的任意一組向量，則稱所有 x1 ,x2 , … ,x k線性表示的集合構成的子空間（可以驗證其為 V的子空間）為生成子空間，記 ),(}:{212211kkkxxxLxxxxVxL????????? ???例 在三維向量空間 R3中， e1 ,e2 , e 3是自然基。則 e1 ,e2的生成子空間是 x1 x2 平面； e2 ,e3的生成子空間是 x2 –x3 平面； e1 ,e3的生成子空間是 x1 –x3 平面； 生成子空間 例 n元齊次方程組 的解的集合構成線性空間， ??Ax稱為解空間，記為 ,)(AN.)( nRAN ? 若設 則 ,)( rAr a n k ? .)(d im rnAN ??即 ,}{)( ??? AxxAN稱 為 A的核空間， A的核空間的維數稱為 A的零度