[理學(xué)]量子力學(xué)(編輯修改稿)
2025-02-15 15:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 a?a??????? ?a做下標(biāo)代換，有 ),( ?? ?? ?a（假設(shè)本征值是分立的） 23 。， 1||)( 2 ?? ????? a??????? a而由展開式 可得 A? 表示在任意態(tài) 下測(cè)量 得到 的幾率。 ?2||?a ?A如體系的 Hamilton不顯含時(shí)間 t，即 0???tH則 H為守恒量。 在此情況下，若 CSCO 中包含 H，則完全集中 的各力學(xué)量都是守恒量，這種完全集稱為對(duì)易 守恒量完全集，簡(jiǎn)記為 CSCCO。 問(wèn)題： 24 守恒量完全集的共同本征態(tài)中，能量是否取 確定值？ 此本征態(tài)肯定是定態(tài)，因此各力學(xué)量的取值 幾率都是不隨時(shí)間改變的。 而且所相應(yīng)的量子數(shù)都稱為 好量子數(shù) 。 下面給出幾個(gè)求力學(xué)量完全集的例子。 25 交完備函數(shù)組。它們構(gòu)成體系的一組正數(shù)為學(xué)量完全集。其本征函本身就構(gòu)成力一維諧振子的例),2,1,0(nH a m i l t o n i a1??nn???nnna ??的幾率。態(tài)下，測(cè)得振子能量為代表在而 nn Ea ?2||即態(tài)均可用它們來(lái)展開，一維諧振子的任何一個(gè)﹟ 26 本征態(tài)為一維運(yùn)動(dòng)粒子，動(dòng)量的例 2力學(xué)量完全集。因此，動(dòng)量就構(gòu)成一個(gè)可用平面波展開，即積函數(shù)均展開定理，任何平方可按照 F o u r i e rpxip ex?~)(???pxieppx ??)()2(1)(2/1 ??? d﹟ 27 例 3 三維自由粒子， ， 動(dòng)量 為守恒量， 的三個(gè)分量 構(gòu)成一組 CSCO，并且為一組 CSCCO。 它們的共同本征函數(shù)為 ??? /?? ~)( rpip er ??,2/?? 2 mpH ?p?p? ),( zyx ppp0]?,?[ ?Hp體系的任意波函數(shù) 都可以展開為 )(r??? ?? zyxrpi pppepr ddd???? /?2/3 )?()2(1)( ???當(dāng)然，坐標(biāo) 也構(gòu)成一組 CSCO, 但不是 CSCCO。 ),( zyxr?28 )(2)(2?? 222 rVmrVmpH ?????? ?例 4 三維中心力場(chǎng) 中的粒子 )(rV0]?,?[ ?Hl可以證明， ，角動(dòng)量是守恒量。 故可將 選為一組 CSCCO。 )?,?,?( 2 zllH尋找一組 CSCCO。 0]?,?[ 2 ?zll已知 但 0]?,?[,0]?,?[ 2 ?? HlHl z試分析 能否構(gòu)成 CSCO ),(),??,?( , zyxppp zyx能否構(gòu)成 CSCCO？ ﹟ 29 關(guān)于對(duì)易力學(xué)量完全集 (CSCO)的其它說(shuō)明： (1)CSCO是限于最小集合，即從集合中抽出 任何一個(gè)可觀測(cè)量后，不再構(gòu)成 CSCO。 即要求 CSCO中各觀測(cè)量是 函數(shù)獨(dú)立 的。 (2)一個(gè)給定體系的 CSCO中，可觀測(cè)量的數(shù) 目一般等于體系自由度的數(shù)目，但也可以 大于體系自由度的數(shù)目。 如平面轉(zhuǎn)子中 )?,?( zlH一維自由粒子中 )?,?( xpH30 (3)一個(gè)給定體系往往可以找到多個(gè) CSCO， 或 CSCCO。在處理具體問(wèn)題時(shí)，應(yīng)視其 側(cè)重點(diǎn)來(lái)進(jìn)行選擇。 比如對(duì)易算符組 中，可以 選擇四個(gè) CSCCO: )?,?,?,?( zyx pppH)?,?,?( yx ppH )?,?,?( zy ppH )?,?,?( zx ppH主要靠所研究體系的對(duì)稱性如何（即哈密 頓 的構(gòu)成方式 ），以方便求解。在第六章 將涉及這個(gè)問(wèn)題。 )?,?,?( zyx ppp31 (4)關(guān)于本征態(tài)的完備性定理： 設(shè) 為體系的一個(gè)厄米算符，對(duì)于體系的 任一態(tài) 有下界，但無(wú)上 界，則 的本征態(tài)的集合構(gòu)成體系的態(tài)空間中的一個(gè)完備集，即體系的任何一個(gè)量 子態(tài)都可以用這組本征態(tài)完全集來(lái)展開。 H?),/()?,(, ????? HH?這里有兩點(diǎn)需要注意： 32 1）物理體系的哈密頓算符都是厄米算符， 能量必然有下界。因此體系的任一量子 態(tài)可以放心地用 CSCCO 的共同本征態(tài) 完全集來(lái)展開。 2）在 的本征值有簡(jiǎn)并的情況下，對(duì)于給 定能量本征值，本征態(tài)尚未完全確定， 此時(shí)需要用一個(gè) C
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