【文章內(nèi)容簡介】 ??? nnnn?原級數(shù)也發(fā)散． .1)(,1 )()()()(111211211211211215171315131aaaaaaaaaaaaaasnnnnnnn?????????????????????????）（),(211~)21l n (112ln112333????????nnnnnnnn）（.2ln11,2,2~211131 34343 收斂收斂 ?????????? nn nnnnnnn????? ??1121121),0)((nnn aaa判斷級數(shù)。的斂散性?????1 32ln11n nnn練習： ,2)3(1)1(??????nn n,lim,)(81),(22 1)1(211 不存在當n 是奇數(shù)當n 是偶數(shù)比值判別法nnnnnuuuu n ??????????????根值判別法???????????????????????1)1()1(1)1(2,212lim2limlimnnnnn nnnnnnnnu?,])1(2[31)4(1nnnn ????? ,lim],)1(2[31 不存在nnnnnn uu ?????])1(2][)1(23[31])1(2[])1(2[])1(2[31 1111 ???? ???????????? nnnnnnnnnuu級數(shù)收斂.?????????? ,13 12])1(2[31 nnnn n ruru斂？是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，是否收判斷級數(shù) ??? ??1 ln)1(nnnn例２ 解 ,1ln1 nnn ??? ,11發(fā)散而 ???n n,ln1ln )1(11發(fā)散?????? ?????nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂． ,ln )1(1級數(shù)是交錯??? ??nnnn 由萊布尼茨定理： xxnnxnlnlimlnlim???????? ,01l i m ????? xx,0ln11limln1lim ???????????nnnnn nn),0(ln)( ??? xxxxf?),1(011)( ????? xxxf,),1( 上單增在 ??? ,ln1 單減即 xx ?,1ln1 時單減當故 ?? nnn),1()1l n ()1( 1ln1 1 ????????? ? nunnnnu nn所以此交錯級數(shù)收斂， 故原級數(shù)是條件收斂． 。的斂散性例3 、：判斷級數(shù) ????122 )s i n (nan?)s i n ()1()s i n ()s i n (222222??????nannnanann ?????????nanan????222s i n)1(?,2~s i n2222nanana ????.)s i n (}{ s i n0s i n122222222條件收斂級數(shù)單調(diào)遞減,且??????????nannananana??? ????????12212)s i n (,2nnanna ??散? 不定? ) .的何種點？( 收斂? 發(fā)6 是級數(shù)1 ，1 ，2 , 4 , 5 ,2，點來說,3)(xa則對級數(shù)2,的收斂半徑為Rxa例4 . 設冪級數(shù)n0nn0nnn??????????O 2 2 x O 3 5 1 2 1 2 4 6 x 收斂點 :2,4。 發(fā)散點 :2,1,6。 不定點 :1,5. 思考題解答 能． 收斂 收斂 nnnnnnn bcbacab ??????? 0,收斂????1)(nnn ba收斂，收斂， ?????????11)()(nnnnnn babc 設 ??? 1nnb 與 ??? 1nnc 都收斂，且nnncab ??),2,1( ??n ，能否推出 ??? 1nna 收斂？思考題 .)1)(1(0斂域及和函數(shù)收求級數(shù) ?????nnxn例 5 解 ,1)1)(1(0??????Rxnnn 斂半徑為的收?,111 ???? x收斂域為 ,20 ?? x即則有設此級數(shù)的和函數(shù)為 ),( xs.)1)(1()(0??????nnxnxs兩邊逐項積分 ??????011)1(nxnx? ?? ?????0 11)1)(1()(nx nx dxxndxxs??????01)1(nnx)1(11????xx ,21xx???求導，得兩邊再對 x)2 1()( ???? xxxs .)2( 1 2??.1lna r c t a n)( 2克勞林級數(shù)展開成麥將 xxxxf ???例 6 解 ,32)1l n (32?? ????? xxxx,)1(32)1l n (216422 ?? ????????? ?nxxxxx nn)11( ??? x? ?? x dxxx 0 21 1ar c t an又? ???????? x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[ ???? ??????????12)1(75312753nxxxxx nn)11( ??? x???????????????1210222)1(2112)1(1lna r c t a nnnnnnnnxnxxxx故?? ???????????? 02202222)1(2112)1( nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022???????? nnnnnx)11( ??? x的冪級數(shù)．成的和函數(shù)展開將級數(shù))1()!12(2)1( 12111???? ??????xnx nnnn例 7 解 ．設法用已知展開式來解的展開式，是分析 xnxnnn s i n)!12()1(1121?????????? ???????????????112111211)2()!12( )1(2)!12(2 )1(nnnnnnn xnnx2s in2x?211s i n2 ??? x21s i n21c os221c os21s i n2 ???? xx??????????????01202)21()!12()1(21c o s2)21()!2()1(21s i n2nnnnnnxnxn???????????????01202)1()!12(2)1(21c o s)1()!2(2)1(21s i n2nnnnnnnnxnxn),( ????形．函數(shù)，同時畫出它的圖寫出該級數(shù)的和的正弦級數(shù)并在為周期內(nèi)展開成以在將?????????2220c o sxxx例 8 解 ,c o s),(,s i nc o s2),0(c o s)(1進行奇延拓內(nèi)對必須在周期的正弦級數(shù)為內(nèi)展開成以在要將xnxbxxxfnn???????????????????????),0,(c o s,00),0(c o s)(xxxxxxF令? ??? 0 s i nc os2 nx dxxb n? ? ????? 0 ])1s i n()1[ s i n(1 dxxnxn]1)1(11)1(1[111???????????nnnn??????????? mnnnmno2,)1(412,2)1( ?n,0?na ),2,1,0( ??n? ??? 01 2s i n1 xdxb ,0???????????12 )0(.2s i n)14(8c o smxmxm mx上級數(shù)的和函數(shù)為在 ????? 22 x???????????????????????),2,()0,(c o s2,00),2(),0(,c o s)(??xxxxxxs和函數(shù)的圖形為 xyo ? ?2????2的和．由此求級數(shù)為周期的付氏級數(shù)，并以內(nèi)展開成將函數(shù)????????1212)11(2)(n nxxxf例 8 解 ,)11(2)( 是偶函數(shù)????? xxxf?? ??? 100 )2(12 dxxa ,5? ??? 10 1c o s)2(12 dxxnxa n ? ?? 10 c o s2 xdxnx? ??? 10 s i n2 xnxdn ]1)1[(2 22 ???? nn??????????? 12,42,0