【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 G z Zs s aK z Zas a s a s aT z z zK z Za z a z a z eK aT e z e aT ea z z e????? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ????自動(dòng)控制理論 或 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 42 例 714,求圖 725所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 圖 725 具有 ZOH的離散控制系統(tǒng) )(* tc11211)1(21)(??????????ezezezezG)1(21)()(21211?????????????zzzezzezezRzC1)( ?? zzzR圖中 a=1,k=1,T=1s. 解 把 代入 ,得 自動(dòng)控制理論 2 2 2 2( ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]( ) [ ( 1 ) ( 1 ) ] ( 1 )a T a T a Ta T a T a T a T a TC z K a T e z e a T eR z a z K a T e a e z K e a T e a e? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 43 121 2 31 2 3 4 5 60. 36 8 0. 26 4()1 2 1. 63 2 0. 63 20. 36 8 1. 4 1. 4 1. 14 7 0. 89 5zzCzz z zz z z z z z??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ?* ( ) 0 . 3 6 8 ( ) ( 2 ) 1 . 4 ( 3 ) 1 . 4 ( 4 )1 . 1 4 7 ( 5 )c t t T t T t T t TtT? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?圖 726 圖 725所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 44 第五節(jié) 差分方程 一、差分定義 一階前向差分 二階前向差分 一階后向差分 )()1()( kfkfkf d e f ????)()1(2)2()]()1([)1()2()()1()]()1([)(2kfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfd e f??????????????????????)1()()( ???? kfkfkf d e f)2()1(2)()]2()1([)1()()1()()]1()([)(2??????????????????????kfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfd e f二階后向差分 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 45 二、差分方程 圖 728 離散控制系統(tǒng) 當(dāng) t=kT時(shí) , ( ) ( )he t e k T? TktkT )1( ???TkTAekTcTkc )()(])1[( ???)()()( kTckTrkTe ??)()()1(])1[( kTA T rkTcATTkc ????由于 所以 三、用 Z變換求解差分方程 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 46 0)(2)1(3)2( ????? kxkxkx0)0( ?x 1)1( ?x例 715 求解下列差分方程 0)(2)0(3)(3)1()0()( 22 ?????? zXzxzzXzxxzzXz)2()1()2)(1()( ??????? zzzzzzzzXazzaZ k??? ])[(kkkx )2()1()( ????)()(2)1(3)2( kukxkxkx ?????0)( ?kx 0?k { 0,10,0)(???kkku解： 已知 因?yàn)? 所以 K=0,1,2… 例 716 求解下列差分方程 已知 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 47 1??k 0)1( ?x解： 已知 , 將 代入方程得 , 0)0( ?x)()()23( 2 zUzXzz ???1)()(0?? ????kkzkuzU2111231)(2 ???????? zzzzzX)()0()()]1([ zzXzxzzXkxZ ????21)()]1([ ???????zzzzzzXkxZkkx 21)1( ????121)( ???? kkx對(duì)方程等號(hào)兩邊取 Z變換 ,得 其中 因?yàn)? 所以 或 K=0,1,2… 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 48 圖 729 例 716x(k+1)和 x(k)的響應(yīng)曲線 四、用迭代法求解差分方程 例 717 試用迭代法求解下列差分方程 )()()1(])1[( kTA T rkTcATTkc ????自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 49 )0()0()1()1(,0 A T rcATck ????)1()1()1()2(,1 A T rcATck ????)1()0()1()0()1( 2 A T rA T rATcAT ?????零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng))()1()0()1()(,1101 irATATcATkckkkiikk ???????????11 ?? AT TA 20 ??TA2?21212 )()(????????????zzzzzzzzRzC解 例 718 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 若 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 系統(tǒng)不穩(wěn)定 求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 自動(dòng)控制理論 ?2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 50 )()()()( 2121 zRzzzczz ???? ????)(1)( ttr ?解 ])2[(])1[(])2[(])1[()( TnrTnrTncTnTc ????????])1[(3 6 Tnr ? ])2[( Tnr ? ])1[( Tnc ? ])2[( Tnr ?? )(nTc0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 ? ? ? ? ??0 0 0 1 1 表 73 式（ 753）求解的迭代過(guò)程 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 51 第六節(jié) 離散控制系統(tǒng)的性能分析 )()( )( zTzR zC ?)()( ttr ?? 1)( ?zR一、穩(wěn)定性分析 ?? ??? ni iizzAzTzC1)()(???? nikii zAkC11)(0l i m 11?????? kiniik ZA令 ,則 iz閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 若 ,即 的所有極點(diǎn)均位于 Z平面上的單位圓內(nèi) ,則 1?iz )(zT自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 52 1. S平面與 Z平面間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 TSez ? ?? js ???Tez ? 2a r gszT ??? ???S平面 Ｚ平面 σ ＜０ Σ ＝０ Σ ＞０ Σ ＝＋ ∞ 單位圓內(nèi) 單位圓的圓圈 單位圓的外圍 坐標(biāo)原點(diǎn) 自動(dòng)控制理論 ? 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 :閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于 Z平面上的單位圓內(nèi)。 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 53 設(shè) jyxz ?? jvu ???jvuyx yjyx yxzz ??????? ?????? 2222 22 )1( 2)1( 1)(11?0)R e ( ?? u? 122 ?? yx, , 則 ω 平面上的虛軸 , 即 自動(dòng)控制理論 圖 731 s平面向 z平面的映射 2. 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 令 11z ???? ? 或 11zz? ?? ?2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 54 10 1 1 0nn nnB B B B? ? ?? ?? ? ? ? ?圖 731 z平面向 w平面的映射 經(jīng) ω 變換后 ,離散化系統(tǒng)特征方程一般形式為 自動(dòng)控制理論 122 ?? yx122 ?? yxZ平面上單位圓的內(nèi)域 對(duì)應(yīng) ω 左半平面； Z平面上單位圓的外域 對(duì)應(yīng) ω 右半平面。 ? 結(jié)論 Z平面上單位圓的圓周對(duì)應(yīng) ω 平面的虛軸的虛軸； 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 55 例 719 已知 ,試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定該系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K值范圍。 圖 732 離散控制系統(tǒng) 22211( ) [ ] [ ( ]( 2 ) 2 2( 1 )()2 1 2 ( 1 ) ( )TTTKKG z Z Zs s s sK z z K e zz z e z z e???? ? ????? ? ?? ? ? ?sT ?解 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 56 221 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 02TTKG z z z e e z??? ? ? ? ? ? ? ( ) 0KK??? ? ? ?11z????? sT ?2?1?0?令 代入上式 勞斯表 0 0, 0 k ?采樣具有降低系統(tǒng)穩(wěn)定性作用。 二、閉環(huán)極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 57 )()()()()(zVzUzTzRzC ??1)( ?? zzzR1)()()(?? zzzVzUzC)(zT?? ???? ni iipzAzAzzC101)(?? ???? ni iipzzAzzAzC101)(???? nikii pAAkC10 )()(設(shè) 令 則 假設(shè) 無(wú)重極點(diǎn) ,則 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 58 實(shí)數(shù)極點(diǎn) 位于單位圓內(nèi)正實(shí)軸上極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是一個(gè)單調(diào)的衰減過(guò)程，而位于圓內(nèi)負(fù)實(shí)軸上極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是正負(fù)交替變化的衰減過(guò)程。 共軛極點(diǎn) 設(shè)一對(duì)共額極點(diǎn)為 ijii epp ?? ijii epp ???() iikkjk jkkki i i i i i i i ic k A p A p A p e A p e?? ?? ? ? ?ijii eAA ??ijii eAA ???）（）（）（iikiikjkiikjkiiikpAepAepAkc iiii?????????? ???c o s2)(令 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 59 圖 733 s、 z平面上的極點(diǎn)分布及其對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng) 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 60 下面分析 S平面上不同閉環(huán)極點(diǎn)與其脈沖響應(yīng)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 ⑴ sjs ?? ??s?Ts?? 2? ?? 2??? TTS eezsjs ?? 21??圖 733a中示出了實(shí)部不同，虛部均為 的 4對(duì)共軛極點(diǎn)和 4個(gè)實(shí)極點(diǎn)。 圖 733a中所示的極點(diǎn)均映射到 Z平面的正實(shí)軸上，為 圖 733b所示。 ?在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)只采一次，因而采樣后的脈沖序列不能反映原有脈沖響應(yīng)的變化規(guī)律 。 ⑵ 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 61 圖 734 s、 z平面上的極點(diǎn)分布及其對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng) 由于 s?? 21? ?? ?? ???? TT eTez?? 2?s即 自動(dòng)控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 62 ? 在一個(gè)完