【正文】 ??21e )z(1(z)T ?2( ) ( 2 )( ) ( ) ( 1 ) ( )eTzT z G z G z???? 1 11zzD(z)z系統(tǒng)的輸出 2( ) ( ) ( 2 ) ( 1 )T z R z? ? ? ?11 21TzC(z) z zz自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 77 . . .. . . .32 32 ????? ??? nn T zTzTz自動控制理論 或?qū)懽? . .. .)3(3)2(2)(* ????? TtTTtTtC ??圖 339b為最少拍系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)序列 （ 3）單位加速度函數(shù)輸入 ? ? ? ?zAmttr ,3)767(,21 2 ??? 中的因而式由于? ? 得和式由式 )727(_)787( 112 ???? ?? zzT? ? ? ?311 ??? zzT e? ? ? ? 321 331 ??? ????? zzzzTzT e據(jù)此，求得系統(tǒng)對應(yīng)的 D(z)為 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?zGz zzzzGzT zTzDe 31211133????????系統(tǒng)的輸出 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 78 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????????????????????TtTTtTTTtczTnzTzTzTzzzTzzzzRzTzCn2322162923 1121332222242322231112321???圖 739c為最少拍系統(tǒng)單位加速度函數(shù)的響應(yīng)序列 圖 739 最少拍系統(tǒng)的響應(yīng)曲線 自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 79 最少拍系統(tǒng)對于不同的典型輸入信號，對其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和相應(yīng)的數(shù)字控制器的要求見表 75 表 75 最少拍系統(tǒng)設(shè)計的總結(jié) 自動控制理論 ??trT3??t1t221t??zR111??z? ?2111 ???zTz? ?? ?31112121?????zzzT??zTe11 ??z? ?211 ??z? ?311 ??z??zT1?z212 ?? ? zz321 33 ??? ?? zzz? ? ? ?zGzz 111 ???? ?? ? ? ?112121zzz G z?????? ?? ?? ?zGzzzz31211133???????TT2典型輸入 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) D(s) 調(diào)節(jié)時間 ts 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 80 結(jié)論： ? 最少拍系統(tǒng)不僅動態(tài)響應(yīng)快，而且無穩(wěn)態(tài)誤差，其設(shè)計方法簡單，所求的數(shù)字控制器 D（ z）易于在計算機上實現(xiàn)。 ?最少拍系統(tǒng)是針對某一典型輸入信號而設(shè)計，因而所求的數(shù)字控制器 D（ z）只適用于該輸入信號，對于其他的輸入信號，系統(tǒng)就不再具有最少拍系統(tǒng)的特性，因而這種設(shè)計方法對輸入信號的適應(yīng)性較差。 例 720 現(xiàn)有一按單位斜坡輸入設(shè)計的最少拍系統(tǒng)，由表 75可知，其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 ? ? 212 ?? ?? zzzT檢驗該系統(tǒng)在單位階躍和單位加速度信號輸入時的響應(yīng)特性。 解 單位階躍輸入為 ? ?? ? ? ? ? ???????????????????32112112 12 11 zzzzzzzRzTzCzzR自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 81 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? TtδTtδTt δ tc 31212系統(tǒng)的輸出為 ? ? ? ?? ? )2(12 1 2131 112 ??? ?? ?? ?? zzz zzTzC? ???????? ????? 654322 342314722 zzzzzT? ? ? ?? ?31 112 12 1 ? ??? ?? z zzTzR單位加速度輸入為 即 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????????????TtδTTtδT TtδTTtδTTt δ Ttc 22222圖 740和圖 741所示分別為單位階段躍和單位加速度函數(shù)輸入時的系統(tǒng)輸出響應(yīng)序列 自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 82 圖 741 圖 740 （ 3）最少拍系統(tǒng)對參數(shù)的變化很敏感，另導(dǎo)致系統(tǒng)的閉環(huán)極點偏離 z平面的 坐標(biāo)原點，使系統(tǒng)的性能變壞。 （ 4）最少拍系統(tǒng)的設(shè)計只能保證在采樣點上的誤差為零，但不能使采樣點間的誤差為零，即系統(tǒng)存在著紋波。圖 742中的虛線為在單位斜坡輸入下最少拍系統(tǒng)的實際響應(yīng)曲線。 圖 742 例 721 已知一離散控制系統(tǒng)如圖 743所示。其中 K=10， Tm=1s,采樣周期T=1s。要求該系統(tǒng)在 r(t)=t輸入時，實現(xiàn)最少拍控制。 自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 83 ?求數(shù)字控制器 D（ z）； ?分析該系統(tǒng)輸出信號中有紋波的原因。 圖 743 例 721中的離散控制系統(tǒng) 解 （ 1）由表 75可知，系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)為 ? ? 212 ?? ?? zzzT而 ? ? ? ? ? ???????????110121ssZzzG? ? ?????? ????? ? 11010101 21 sssZz? ?? ?? ?1111????????zzzz自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 84 則由工（ 770）得 ? ? ? ?? ?? ?? ?11 11 ?? ???? ??? zz zzzD（ 2）因為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1211211 11 ???? ????? TzzTzzzRzTzE e所以零階保持器的輸入為 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?11 11112 ?? ??? ?? ???? zz zzTzzEzDzE54321 ????? ????? TzTzTzTzTz????? ??? 876 TzTzTz即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????????????TtT δTtT δ TtT δTtT δTtT δTtT δte 自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 85 該系統(tǒng)相關(guān)點的波形如圖 744～圖 746所示。 數(shù)字控制器 D（ z）的實現(xiàn) 最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計是與輸入信號 R(z)的形式、廣義對象的脈沖傳遞函數(shù) G(z)以及對輸出有無紋波的要求有關(guān)。為了能設(shè)計出穩(wěn)定的物理上可實現(xiàn)的最少拍控制系統(tǒng)的數(shù)字控制器 D(z)必須按如下提出的要求去選擇 T(z)和Te(z)由式（ 770）得 ? ? ? ? ? ? ? ?zTzGzDzT e? （ 779） 根據(jù)式（ 779），提出下列要求： 1）為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定， T(z)和 Te(z)不能含有 z平面上單位圓上和單位圓外的極點。 2）若 G(z)中含有延遲因子 zr，則需選擇 T(z)的分子部分要含有與 G(z)完全相同的延遲因子 zr。 3） T(z)需把 G(z)在單位圓上和單位圓外的零點作為自己的零點。 自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 86 4） D(z)的極點數(shù)必須大于或等于其零點數(shù)。 圖 745 圖 746 自動控制理論 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 87 第八節(jié) MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 自動控制理論 用 MATLAB對離散系統(tǒng)進行分析與設(shè)計，有如下的優(yōu)點： 1）離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別可由 MATLAB直接求出閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根， 或在 z平面上直接畫出閉環(huán)極點來回答。 2）應(yīng)用 Simulink直接對離散系統(tǒng)進行參數(shù)的調(diào)整與仿真，通過輸出響應(yīng)曲線 可直觀地看到系統(tǒng)校正前后性能的變化。顯然，用這種方法有利于設(shè)計出性能 優(yōu)良的離散系統(tǒng)。 一、數(shù)學(xué)模型的處理 1. 求 z變換和 z反變換 MATLAB Toolbox工具箱中的指令 ztrans和 iztrans分別用于求取時間函數(shù)的 z 變換和 z反變換。求取時間函數(shù) f(t)的 z變換可用指令 F=ztrans(f) 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 88 自動控制理論 求取 F(z)的 z反變換的指令為 F=iztrans(F) 例 722 （ 1）求單位斜坡函數(shù) f(t)=t的 z變換 （ 2）求 F(z)=z/3z24z+1的 z反變換 解 1）在 MATLAB命令窗口中鍵入指令： Syms t T。 Ztrans(t*T)。 運行結(jié)果為 Ans= T*z/(z1)^2 2）在 MATLAB命令窗口中鍵入指令： Syms z。 F=z/(3*z^24*z+1)。 f=iztrans(F)。 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 89 自動控制理論 運行結(jié)果為 Ans= 1/21/2*（ 1/3） ^n 2. 模型轉(zhuǎn)換 將連續(xù)系統(tǒng)模型 G(s)轉(zhuǎn)換為離散系統(tǒng)的模型 G(z)，可用指令 c2d來實現(xiàn)，其 格式為 sysd=c2d(sys,T) 或 sysd=c2d(sys,T,method) 前一種格式表示對連續(xù)對象 sys離散化，且有零階保持器，采樣周期為 T。后 一種格式比前一種格式多了用 “ method”定義離散化的方法。 “ method”可為以下字 符串之一： ?zoh?——零階保持器 。 “foh”——一階保持器 。 ?tustin?——雙線性逼近（ tusin）方法 。 ?prewarp?——采用改進 fusin方法 。 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 90 自動控制理論 反之，要實現(xiàn)由離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng)的模型，可以使用指令 d2c，其 格式為 sys=d2c(sysd,T,method) 例 723 已知 G(s)=1/s(s+1)， T=1s，求 G（ z）。 Sys=tf([1],[1 1 0])。 C2d(sys,1) 運行結(jié)果略。 二、離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 1. 輸入函數(shù)的 MATLAB表示 1）單位階躍輸入 ,. ..2,1,0。1)( ?? kku若令 k=100， T=1s，則在 MATLAB中表示為 )1 0 1,1()]。1 0 0,1(,1[)( o n e suo n e sku ?? 或2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 91 自動控制理論 2）單位斜坡輸入 , .. .2,1,0。)( ?? kkTku若取 k=50，則在 MATLAB中表示為 Tkuk *。50:0 ??3）單位加速度函數(shù)輸入 ,. ..2,1,0。)(2/1)( 2 ?? kkTku若取 k=10， T=，則在 MATLAB中表示為 ]2)^*(*[。10:0 kuk ??2. 求離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 )()()()(zde nznu mzRzC ?令輸入信號為 r，則可用指令 Y=filter(num,den,r) 求取系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。 2022/2/16 第七章 離散化控制系統(tǒng) 92 自動控制理論 例 724 已知一離散控制系統(tǒng)如圖 747所示。若令 K=1， T=1s， r(t)=1(t)，求系統(tǒng) 的輸出響應(yīng)。 圖 747 例 724中的離散控制系統(tǒng) 解 由傳遞函數(shù) G(s)的 z變換 G(z)，求得該系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) )(1)()()(2 ????? zzzzGzGzRzC%MATLAB程序如下 Num=[