【文章內(nèi)容簡介】 得 ：0 0 1 31 3 1 3 2 61352CCCC33 例 3：將 n個不同的球，隨機地投入 N個不同的盒中，求（ 1）第 1盒為空（ A）的概率 （ 2）第 1盒或第 2盒為空（ B）的概率 （ 3）設(shè)盒子多于球數(shù)，求 n個球落入 n個不同的盒子（ C）的概率（也即盒子中最多有一個球的概率）。 解 ： 樣 本 空 間 中 樣 本 點 的 計 算 。 對 第 一 個 球 來 說 可 以 投 入 個 盒 子 中 ，有 種 方 法 ， 同 樣 對 其 余 的 球 ， 每 球 均 有 種 方 法 ， 故 nsNN N n N?? ?( 1 ) 2 ,3 ,. .. , 1個 球 放 入 第 個 盒 子 中 共 有 nn N N? ? ? ?1 nAnSNnPAnN???? ? ? ? ? ?12 1( 2 ) = ,niNA i i A A P AN???? ? ? ????設(shè) “ 第 盒 為 空 ” , = 1 , 2 , 則 PP? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2P B P A A P A P A P A A? ? ? ?12 nNN?????????( 3 ) 1 2 1 .. . + 1N N n N n第 個 球 有 種 落 法 ， 第 個 球 有 種 落 法 ， ， 第 個 球 有 種 落 法 , 故? ? ? ? ? ?1 2 1 nCNn N N N N n A? ? ? ? ? ?? ? nCN nSnAPCnN??50 :個 兩利 用 此 模 型 可 求 出 人 中 至 少 有 人 生 日 相 同 的 概 率2 nNN???????5 0 5 0365= 3 6 5 = 5 0 / 3 6 5 9 7 %N n A ?設(shè) ， 則 所 求 概 率 為 : 134 解：假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么， 12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 = 000 3. 例 4：某接待站在某一周曾接待 12次來訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的 ? 人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的” (稱之為實際推斷原理 )。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。 35 例 5: (抽簽問題 )一袋中有 a個紅球， b個白球，今有 a＋ b個人依次不放回地各取一球，求第個 k人取到紅球的概率。 k =1,2,… ,a+b． 解 1： kA k a b n? ? ?設(shè) “ 第 個 人 取 到 紅 球 ” 記① ② … n ① —— a , , , ,12 kn???? ???① ② … n ( 1 ) !()( ) !ka a b aPAa b a b??????號球為紅球，將 n個人也編號為 1,2,?, n． 與 k無關(guān) 可設(shè)想將 n個球進行編號： 其中 視 的任一排列為一個樣本點，每點出現(xiàn)的概率 相等。 可以是①，② …中的任意一球 a ?36 解 3： 將第 k次摸到的球號作為一樣本點： , , , ,12 kn???? ???11( ) /aak n naP A C Cab??? ? ? ?( ) 1 2kPA??()k aaPA n a b? ? ? ?此值不僅與 k無關(guān)，且與 a，b都無關(guān)，若 a＝ 0呢？對嗎？ 為什么？ 原來這不是等可能概型 11anC ??anCkA總樣本點數(shù)為 ，每點出現(xiàn)的概率相等，而其中有 個 樣本點使 發(fā)生， ① ，②， … ， n S＝ { }， kA ?① ，②， … ， a { } kA ?{紅色 } 解 2： 視哪幾次摸到紅球為一樣本點 ： 解 4： 記第 k次摸到的球的顏色為一樣本點： S＝ {紅色 ,白色 }， ? 結(jié)論：以上概率與第幾次取球無關(guān)，也與放回、不放回取球無關(guān)，其概率均為原來紅球的比例。 167。 5 條件概率 引例：一袋中有 a個紅球， b個白球，現(xiàn)不放回地取球兩次，設(shè) A={ 第 1次摸到紅球 }， B ={ 第 2次摸到紅球 } 。求第 1次摸到紅球條件下第 2次摸到紅球的概率。 ? ? aP A = a + b ? ? aP B =a + b解：由前面的知識得 A， B發(fā)生的概率為： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?()PB不 相 容實 際 上 我 們 也 可 以 通 過 以 下 方 法求 得P B = P B A A = P A B A B = P A B + P A Ba a 1 b a a= + =a + b a + b 1 a + b a + b 1 a + b??38 B A S 當(dāng)首次摸到紅球后，袋中各色球比例發(fā)生了變化， 即有 a1個紅球， b個白球，此時摸到紅球的概率 應(yīng)不同于 P(B)，因為當(dāng) A發(fā)生后樣本空間發(fā)生了變化。 ? ? ? ?,. 1= 1aP B A P B A ab ???把 這 樣 的 概 率 記 為 顯 然 一 般 地 ， 由 下 圖 得? ? ? ?? ?A B SABA A SP A Bn / nnP B A = = =n n / n P A39 定義： ( | ) 1 ( | )P B A P B A??( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B C A P B A P C A P BC A? ? ?BC? ( | ) ( | )P B A P C A??P ( A B )P ( B | A ) =P ( A )( ) 0PA ?一、條件概率 由上面討論知， P(B|A)應(yīng)具有前面所述概率的所有性質(zhì)。例如： 40 由 P(B|A)的意義，其實可將 P(A)記為 P(A|S)，而這里的 S常常省略而已， P(A)也可視為條件概率 。 條件概率的計算有兩種方法 1. 樣本空間改變法，直接計算 2. 利用定義公式， P(AB)/P(A) 如前例中， ? ? a a 1，P A B = a + b a + b 1? ? aP A = a + b( ) 1()( ) 1P A B aP B AP A a b?? ? ???41 解：設(shè) A=“所取 13張牌中至少有一張紅桃”， Ｂ =“所取 13張牌中恰有兩張紅桃” ? ? ? ?? ?P A BP B A PA?寫 難 慮由 于 直 接 出 所 求 概 率 有 度 ， 考 用 公 式 ：例：從一副 52張的撲克牌中任取 13張，若已知這 13張牌中已知至少有一紅桃，問恰有兩張紅桃的概率多少？ ? ?PA ?其 中 ， 133913521CC?2 1113 391352CCC? ? ?P A B ?那 么 ，? ? ? ?A B , P A B P B? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?2 1 11 3 3 91 3 1 35 2 3 9P A B P B CCP B AP A P A C C? ? ? ??42 二、概率的乘法公式 對條件概率公式變換一下就可得到下面的乘法公式（假設(shè)條件概率都有意義）： ( ) ( ) ( | ) ( | )P ABC P A P B A P C AB?1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | )P A B P A P B A P A B P B P A B? ? ? ?或( ) ( ) ( | )( ) ( ) ()(( ) ) )(P AB C P A P BC AP A P B AP A P BP C B APAA CB???()( ) ( | )( ) ( ) ( )P A B CP A B P C A BP A P B A P C A B??注 意 ：43 例 1：設(shè)袋中有 r只紅球， t只白球，每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入 a只與所取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。 =iiA i iAi解 ： 設(shè) “ 第 次 取 到 紅 球 ” ， =1,2,3,4則 就 表 示 “ 第 次 取 到 白 球 ”1 2 3 4 1P ( A A A A ) = P ( A )21P ( A A ) 13 2P ( A AA ) 1243P ( A AAA )r + ar + t + a?tr + t + 2 a ?t + ar + t + 3 ar=r + t?由 乘 法 公 式 ，44 例 2：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為 70%，余下 的 30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有 80%的產(chǎn)品可以出廠， 20%的產(chǎn)品要報廢。求該廠產(chǎn)品的報廢率。 解：設(shè) A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報廢 } B={生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試 } 已知 P(B)=， P(A|B)= ( ) ( )P A P A B?,A B A A B??( ) ( ) 0 .3 0 .2 6 %P B P A B? ? ? ?45 例 3： 某行業(yè)進行專業(yè)勞動技能考核，一個月安排一次，每人 最多參加 3次；某人第一次參加能通過的概率為 60%；如 果第一次未通過就去參加第二次，這時能通過的概率為 80%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時能通 過的概率為 90%。求這人能通過考核的概率。 1 1 2 1 2 3A A A A A A A?1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A P A A A? ? ?1 1 2 1 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | )P A P A P A A P A P A A P A A A? ? ? ? ? 0 92? ? ? ? ? ?＋1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( | ) ( | )P A P A P A A