【正文】 A,B,C為三隨機事件 ,且 P(C)≠0, 問 P(A∪ B|C)=P(A|C)+P(B|C)－ P(AB|C)是否成立？ 若成立，與概率的加法公式比較之。若 P(A)=,P(B)=, 則“ P(A∪ B)=+=” 對嗎？ 5. 滿足什么條件的試驗問題稱為古典概型問題？ ? ? ? ? ? ?? ? 12 1 0 , 1 9 , , , , , , ,6. A A S S A AS A P A? ? ??一口袋中有 個球 其中有 個白球及 個紅球。? ? ? ? , 1 , 2 , , 5iiA i P A p i? ? ? ?解：設 第 局甲勝? ?A ? 甲 在 整 個 比 賽 中 獲 勝? ?? ? ? ? ? ?221 2 1 2 3 1 2 3 1121P A P A A A A A A A A p p p p? ? ? ? ? ? ?記 為 三 局 二 勝 制 ： ? ? ? ?2221 3 1 2 1P P P P P? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 3 4 523 2 2 2 23 4 22 1 1P A P A A A A Ap C p p p C p p p p? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?記 為五 局 三 勝 制 ： 前 3 次 有 2 次 贏 前 4 次 有 2 次 贏21211, 2 1, 2p p pp p p? ?????? ???當當64 65 復習思考題 1 ? ? ? ? , , ,3 . , A B A B A B A B A B A BA B A B A B A B A B? ? ? ??設 和 為兩事件 即“ 至少有一發(fā)生”事件 為“ 恰有一發(fā)生 ”事件與“ 同時發(fā)生 ”事件的和事件。1 2 1 2, , , , , ,i j ( ) ( ) ( ) ,nni j i jA A A A A A nP A A P A P A??兩 兩 獨 立 定 義 ： 設 為 個 隨 機 事 件 ，若 對 均 有 ：定義：設 A， B為兩隨機事件， 若 P(B|A)=P(B)， 即 P(AB)=P(A)P(B) 即 P(A|B)=P(A)時，稱 A， B相互獨立。 53 例 3：盒中有 8只乒乓球，其中 3只是新球，第 1次比賽時，從中任取2只，用后放回，第 2次比賽時再從中任取 3球，求第 2次所取 3球中恰有 2只新球的概率；若已知第 2次所取 3球中恰有 2只新球，則第 1次所取的 2球全是舊球的概率是多少？ 解 : 設 A=“第 2次所取 3球中恰有 2只新球” Bi=“第 1次所取的 2球中有 i 只新球” , i=0， 1， 2 顯然 B0,B1,B2是 S的一個劃分，是 A的前導事件組 20( 1 ) ( ) ( ) ( )iiiP A P B P A B?? ?由 全 概 率 公 式 ：205328CCC??213538CCC?115328CCC?212638CCC?025328CCC?211738CCC0000 20( ) ( )()( 2) ( )() ( ) ( )iiiP B P A BP ABP B APA P B P A B????由 貝 葉 斯 公 式 ：21( 0)C ?54 例 4：一盒中裝有 n只球，其中裝有白球只數(shù)是等可能的，已知球的顏色只有白與黑，若有放回地取 k次，沒有取到黑球，求盒中只裝有白球的概率。51 例 1：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為 80%， 若甲出差，則乙出差的概率為 20%；若甲不出差， 則乙出差的概率為 90%。 12( 1 ) nB B B S??? ?( 2 ) , , , 1 , 2 , ,ijB B i j i j n? ? ? ? ? ? ?B1 B2 Bn S 即： B1,B2,?,B n至少有一發(fā)生是 必然的，兩兩同時發(fā)生又是不可能的。 解：設 A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報廢 } B={生產(chǎn)的產(chǎn)品要調試 } 已知 P(B)=， P(A|B)= ( ) ( )P A P A B?,A B A A B??( ) ( ) 0 .3 0 .2 6 %P B P A B? ? ? ?45 例 3： 某行業(yè)進行專業(yè)勞動技能考核，一個月安排一次，每人 最多參加 3次；某人第一次參加能通過的概率為 60%；如 果第一次未通過就去參加第二次，這時能通過的概率為 80%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時能通 過的概率為 90%。例如： 40 由 P(B|A)的意義，其實可將 P(A)記為 P(A|S)，而這里的 S常常省略而已， P(A)也可視為條件概率 。 5 條件概率 引例：一袋中有 a個紅球， b個白球，現(xiàn)不放回地取球兩次，設 A={ 第 1次摸到紅球 }， B ={ 第 2次摸到紅球 } 。 35 例 5: (抽簽問題 )一袋中有 a個紅球， b個白球，今有 a＋ b個人依次不放回地各取一球，求第個 k人取到紅球的概率。 ? ?2 3 81 3 1 3 2 61352CCCPAC? ? ?0 1 3 1 1 21 3 3 9 1 3 3 91 3 1 35 2 5 21 C C C CPBCC? ? ?? ?0 1 31 3 3 91352CCPCC?? ? ? ?P D P C E??=E D C E??13設 “ 張 牌 中 缺 方 塊 ” 則? ? ? ?P C P CE??性 質 3 0 1 31 3 3 91352CCC??解 ： 由 超 幾 何 分 布 概 率 公 式 得 ：0 0 1 31 3 1 3 2 61352CCCC33 例 3：將 n個不同的球，隨機地投入 N個不同的盒中，求（ 1）第 1盒為空（ A）的概率 （ 2）第 1盒或第 2盒為空（ B）的概率 （ 3）設盒子多于球數(shù)，求 n個球落入 n個不同的盒子（ C）的概率（也即盒子中最多有一個球的概率）。 4 等可能概型（古典概型） 定義：若試驗 E滿足： S中樣本點有限 (有限性 ) (等可能性 ) ? ? APA S?? 所包含的樣本點數(shù) 中的樣本點數(shù)稱這種試驗為 等可能概型 (或古典概型 )。 設 且 則( 1 , 2 , ...),nkAk? ? ? ?證 ： 令 , , , 1 , 2 , .. ..ijA A i j i j? ? ? ? ?1111( ) ( ) ( ) ( ) .n ni i i iiiiiP A P A P A P A? ?????? ? ? ???23 ? ? ? ?, ( ) ( ) ( )A B P A B P A P B A P B P A? ? ? ? ? ?當 時? ? ? ? ? ?3( ) ( ) ( )B P B A P B P A BA B P B A P B P A? ? ?? ? ? ? 設 A 、 為 任 意 兩 事 件 ， 特 別 地 ， 當 時 ， 則 有 4 ( ) 1 ( )P A P A??AAS ?證 ： ( ) ( ) 1P A P A? ? ?()B B A A B??證 ： ( ) ( ) ( )P B P B A P AB? ? ? ?( ) ( ) ( )P B A P B P AB? ? ? ?? ? 0 ( ) ( )P B A P B P A? ? ? ?并 由( ) ( ) , ( ) ( ) 1P B P A P A P S? ? ? ?于 是 有, ( ) ( ) 1A S P A P S? ? ? ?24 5 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ?概 率 的 加 法 公 式 ：()A B A B A??證 ： ( ) ( ) ( )P A B P A P B A? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB? ? ? ?推 廣 1：1111121( ) ( ) ( )( ) ( 1 ) ( )n ni i i ji i j nini j k ni j k nP A P A P A AP A A A P A A A? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ????( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P CP A B P A C P B C P A B C? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A B P C P A C B C? ? ?證 ：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P AB P C P AC P BC P AB C? ? ? ? ? ? ?推 廣 2( 一 般 情 形 ） ：25 例 1：試比較以下事件的概率大小， A=投 1顆骰子 4次，至少得一次“ 6點” B=投 2顆骰子 24次，至少得一次“雙 6點” 解： ( ) 1 ( 4 6 )P A P?? 次 投 擲 中 沒 有 一 次 得 點451 = 0 . 5 1 7 76????????( ) 1 ( 2 4 6 )P B P?? 次 投 擲 中 沒 有 一 次 得 雙 點24351 = 0 .4 9 1 436????????26 ? ? ? ? ? ? ? ?P A B P A P B P A B? ? ?4590??3090?例 2：在所有的兩位數(shù)中任取一數(shù)，求此數(shù)能被 2或 3整除的概率。 ()nfA1 ( ) 0PA ?。 例： ?中國國家足球隊，“沖擊亞洲”共進行了 n次，其中成功了一次，則在這 n次試驗中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 18 ** 頻率的性質： 且 隨 n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為 p． ()nfA12111 0 ( ) 12 ( ) 13 , ( ) ( )nnk kk n i n iiifAfSA A A f A f A?????? ?。 12 S A B { |