【正文】 。 A和 B為兩事件，且 P(A)=a,P(B)=b,問： (1) 當(dāng) A和 B獨(dú)立時(shí) ,P(A∪ B)為何值？ (2) 當(dāng) A和 B互不相容時(shí) , P(A∪ B)為何值？ ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , 0 , | | | 1 |9. A B P A P B A P B P B AP B A P B A? ? ???設(shè) 和 為隨機(jī)事件 問 是否成立？是否成立？67 A1,A2,?, An為樣為本空間 的一個(gè)劃分 ？ A,B,C為三隨機(jī)事件，當(dāng) A≠B，且 P(A)≠0, P(B)≠0時(shí)， P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說明。從中任意取一球 設(shè) 取到白球 則 取到紅球 且設(shè)樣本空間為中有兩個(gè)樣本點(diǎn) 而 是其中一個(gè)樣本點(diǎn)問 對(duì)嗎？66 ？ A和 B為兩隨機(jī)事件，試舉例說明 P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。 4. 甲、乙兩人同時(shí)猜一謎，設(shè) A={甲猜中 }， B={乙猜中 }， 則 A∪ B={甲、乙兩人至少有 1人猜中 }。 此結(jié)論成立嗎？1.“ 事件 A不發(fā)生，則 A=Ф” ,對(duì)嗎？試舉例證明之。 ? ?? ?, 1 , 2 , 3 , 4 iA i iA???解：設(shè) 第 個(gè)元件運(yùn)行正常系統(tǒng)運(yùn)行正常1 4 3 2 注意：這里系統(tǒng)的概念與電路 中的系統(tǒng)概念不同 ? ?1 2 3 4A A A A A?則 ：1 2 3 4, , ,A A A A由題意知， 相互獨(dú)立231 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A A p p p p? ? ? ? ? ? ?獨(dú) 立1 2 3 1 41 2 3 1 4 1 2 3 1 43 2 5( ) ( )( ) ( ) ( )P A P A A A A AP A A A P A A P A A A A Ap p p?? ? ?? ? ?另 解 ，對(duì) 嗎 ？63 1,2pp ?例 ： 甲 、 乙 兩 人 進(jìn) 行 乒 乓 球 比 賽 ， 每 局 甲 勝 的 概 率 為 對(duì) 甲 而 言 ， 采 用 三 局 二 勝 制 有 利 ， 還 是 采 用 五 局 三 勝 制 有 利 ？ 設(shè) 各 局 勝 負(fù) 相 互 獨(dú) 立 。 ( ) 0 , ( ) 0P A P B??232 + + 2 1nnn n n n? ? ?相 互 獨(dú) 立 的 判 斷 需 要 檢 驗(yàn) C C C 個(gè) 等 式58 例：設(shè) S={e1,e2,e3,e4}, P(ei)=, i=1,2,3,4 A1={e1,e2} , A2={e2,e3} , A3={e1,e3} 驗(yàn)證 A1， A2， A3兩兩獨(dú)立，但不是相互獨(dú)立 解： P(A1)=P(A2)=P(A3)= 1 2 3 1 2 3( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )P A A A P P A P A P A?? ? ?所以 A1， A2， A3不是相互獨(dú)立的 P(A1A2)=P({e2})= = P(A1)P(A2) P(A1A3)=P({e1})= = P(A1)P(A3) P(A2A3)=P({e3})= = P(A2)P(A3) 由以上三等式知 A1， A2， A3兩兩獨(dú)立 ,但是 59 , , , ,A B A B A B A B???相 互 獨(dú) 立 相 互 獨(dú) 立 相 互 獨(dú) 立 相 互 獨(dú) 立? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 1A B P A B P A P BP A B P B A P B P A B P B P A P A P BAB?? ? ? ? ? ? ? ?????證 ： 設(shè) 相 互 獨(dú) 立 ， 即根 據(jù) 獨(dú) 立 性 定 義 ， 得 知 與 是 獨(dú) 立 的? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1P A B P A B P A P A B P A P B P A P BAB? ? ? ? ? ? ?????? 與 是 獨(dú) 立 的? ? ( ) 1 1 ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )[ 1 ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ][ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]( ) ( )P A B P A B P A P B P ABP A P B P A P BP A P B P AP A P BP A P BAB? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? 與 是 獨(dú) 立 的60 ( ) 0 , ( ) 0 , A B A BP A P B??若 則 ， 相 互 獨(dú) 立 與 ， 互 不 相 容 不 能 同 時(shí) 成 立A ,B ( ) ( ) ( ) 0 ,P A B P A P B A B ?? ? ? ?設(shè) 獨(dú) 立 ， 則A ,B = ( ) ( ) ( )A B P A B P A P B A?? ? ?設(shè) 互 不 相 容 ， 即 ， 則 0( ) 0 ( B ) 0 0 ( ) ( B ) A ,B P A P A P B P A? ? ? ? ? , 即 不 獨(dú) 立 在上例中， S={e1,e2,e3,e4}, P(ei)=, i=1,2,3,4 A1={e1,e2} , A2={e2,e3} , A3={e1,e3} 由于 P(A1A2)==P(A1)P(A2) ，所以說 A1， A2獨(dú)立 但 A1A2={e2}不為空，即 A1， A2是相容的 ( ) ( ) ( ) A B( ) ( ) ( ) A B( ) ( ) ( ) ( ) A BP A P B P A BP A B P A P BP A P B P A P B???????? ???， 、 為 任 意 事 件注 意 ： ， 、 為 互 不 相 容 事 件， 、 為 獨(dú) 立 事 件61 例：甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，甲擊中 率為 ，乙擊中率為 ，求目標(biāo)被 擊中的概率。從中取 2 次 ,每次取 1件，設(shè) Ai={第 i次取到正品 }， i=1,2 2 1 27( | ) ( )9P A A P A? ? ?2 1 28( | ) ( )10P A A P A??不放回抽樣時(shí)， 放回抽樣時(shí)， 即放回抽樣時(shí)， A1的發(fā)生對(duì) A2的發(fā)生概率不影響 同樣， A2的發(fā)生對(duì) A1的發(fā)生概率不影響 稱 A1與 A2是獨(dú)立的 81057 注意： 1 兩 兩 獨(dú) 立 不 能 推 出 相 互 獨(dú) 立1 2 1 21 2 1 2, , , , , ,2 , ( ) ( ) ( ) ( )kknni i i i i iA A A A A A nk n P A A A P A P A P A? ? ?相 互 獨(dú) 立 定 義 ： 設(shè) 為 個(gè) 隨 機(jī) 事 件 ，若 對(duì) 均 有 ：3 實(shí) 際 問 題 中 ， 常 常 不 是 用 定 義 去 驗(yàn) 證 事 件 的 獨(dú) 立 性 ， 而 是 由 實(shí) 際 情 形 來 判 斷 其 獨(dú) 立 性 。 解：一般把試驗(yàn)的最后結(jié)果先用事件表示出來，故設(shè) A=“有放回地取 k次，沒有取到黑球” ,再考慮引起 A發(fā)生的前導(dǎo)事件組，設(shè) Bi=“盒中裝有 i只白球”， i=0， 1， 2， … ，n 1() 1iPB n? ?則0( ) ( ) ( )niiiP A P B P A B?? ?由 全 概 率 公 式 ：1 [01n???? ?1/ kn ? ? ?2/ kn ?? ? ?/]knn0( ) ( )()12( ) ( )knnn n kkiiiP B P A B nP B AnP B P A B??????由 貝 葉 斯 公 式 ：? ?01 /1n kiinn?? ? ?01 ()1niiP A Bn?? ? ?55 例 5：甲袋中裝有 10只球，其中 7只紅球， 3只白球，而乙袋中原來是空的，現(xiàn)從甲袋中任取三球放入乙袋，求以下概率： （ 1）從乙袋中任取一球是紅球 （ 2）從乙袋中任取一球后，放回，再取一球是紅球 （ 3）從乙袋中任取一球后，不放回，再取一球是紅球 （ 4）從乙袋中任取一球是紅球，不放回，再取一球是紅球 解 ： （ 1）（ 2）（ 3）都可以用全概率公式求解，但注意本題乙袋原來是空的 就是說乙袋中紅球比例成份同甲袋！ 所以 （ 1）（ 2）（ 3）的答案均為 (4) 設(shè) Ai=“第 i次從乙袋中取得紅球”， i=1,2 P(A1)= Bi=“從甲袋中取的 3球中有 i只紅球”， i=0,1,2,3 3110( ) ( ) ( )iiiP A P B P A B????3073310CCC ?0373310CCC ?1273310CCC ?2173310CCC ?0? 13? 23?71 10?31 2 1 20( ) ( ) ( )iiiP A A P B P A A B????3073310CCC ?0373310CCC ?1273310CCC ?2173310CCC ?0? 0? 2132?? 7115?12211()( ) ?()P A AP A APA??217 1 2()10 1 3P A A????其 實(shí) 也 可 以 按 前 面 的 方 法 解 ： 因 為 甲 乙 兩 袋 中 的 紅 球 比 例 一 樣 的 ，所 以 可 以 直 接 從 甲 袋 中 考 慮 ：2356 167。52 例 2：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有 5% 的假陽性及 5%的假陰性：若設(shè) A={試驗(yàn)反應(yīng)是陽性 }， C={被診斷患有癌癥 } 則有： 已知某一群體 P(C)=，問這種方法能否用于普查？ ( | ) 5 % , ( | ) 5 % ,P A C P A C??()( | )()P A CP C APA?( ) ( | ) 0 . 0 8 7( ) ( | ) ( ) ( | )P C P A CP C P A C P C P A C????若 P(C)較大，不妨設(shè) P(C)