回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(用三課時(shí))(編輯修改稿)
2025-02-14 17:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 殘差分析步驟： 1）計(jì)算每組數(shù)據(jù)的殘差，即樣本值減預(yù)測(cè)值 2）畫殘差圖?？v坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為自變量。 3）分析殘差圖 4）找異常值 )i iyy?(2）殘差圖的制作： 坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇 . 橫軸為編號(hào)：可以考察殘差與編號(hào)次序之間的關(guān)系，常用于調(diào)查數(shù)據(jù)錯(cuò)誤 . 橫軸為解釋變量：可以考察殘差與解釋變量的關(guān)系，常用于研究模型是否 有改進(jìn)的余地 . 下表列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 殘差 殘差圖 8642024680 2 4 6 8 10問(wèn)題數(shù)據(jù) 越窄越好 注意：殘差圖的作用： 1)發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù) ，問(wèn)題數(shù)據(jù) 2)判斷模型的適用性，若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該 比較均勻地落在 以橫軸為中心的 水平的帶狀區(qū)域中 帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高， 說(shuō)明選用的模型較合適。 R2來(lái)刻畫回歸的效果： ????????niiniiyyyyR12122)()?(1殘差平方和 總體偏差平方和 注意： 1） 取值范圍在 [ 0 , 1 ] 之間，即 0≤ R2 ≤1． 2)在線性回歸模型中， 相關(guān)指數(shù) R2表示解析變量 x對(duì)預(yù)報(bào)變量 y變化的貢獻(xiàn)率。 代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。 R2反映回歸直線的擬合程度 ，是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。 3） R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，模型擬合效果越好 R2的值越小，說(shuō)明殘差平方和越大，模型擬合效果越好 4） R2 ?1，說(shuō)明回歸方程擬合的越好 ,表示解析變量 x和預(yù)報(bào)變量 y的線性相 關(guān)性越強(qiáng) 。 R2?0，說(shuō)明回歸方程擬合的越差 5） 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過(guò) 比較 R2的值來(lái)做出選擇， 即選取 R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。 6）判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即 R2＝ (r)2 注：本例中 R2=，表示解析變量 x對(duì)預(yù)報(bào)變量 y約貢獻(xiàn)了 64%，即，可以敘述為 “身高解析了 64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的 36%。 所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。 ?練習(xí)：關(guān)于 x與 y有如下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 為了對(duì) x、 y兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型： y=+， y=7x+17，試比較哪一個(gè)模型擬合的效果更好 . 一 .用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問(wèn)題： 回歸方程只適用于我們所研究的樣本的 總體 ； 我們所建立的回歸方程一般都有 時(shí)間性 ； 樣本采集的 范圍 會(huì)影響回歸方程的適用范圍； 不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。 事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的 平均值。 —— 這些問(wèn)題也使用于其他問(wèn)題。 涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想： 模型適用的總體； 模型的時(shí)間性； 樣本的取值范圍對(duì)模型的影響； 模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。 小結(jié) 二 .建立回歸模型的基本步驟為： ，觀察是否相關(guān) (線性回歸、指數(shù)回歸、對(duì)數(shù)回歸等 ) 三 .回歸分析的一般方法： 1） .利用散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)變量是否線性相關(guān) 2） .利用殘差來(lái)判斷模型擬合的效果 (殘差分析 ) 利用 殘差圖 來(lái)分析數(shù)據(jù)，對(duì) 可疑數(shù)據(jù) (殘差較大的數(shù)據(jù) )進(jìn)行重新調(diào)查，有錯(cuò)誤就更正，然后重新利用回歸模型擬合，如果沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要找其他原因。 （三） —— 非線性回歸模型 高二數(shù)學(xué) 選修 12 復(fù)習(xí)回顧 線性回歸模型： y=bx+a+e (其中 a和 b為模型的未知參數(shù)， e稱為隨機(jī)誤差 )。 數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為 殘差 。 )i iyy?(i i ie y y?=對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得 的值平方后加起來(lái)，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為： 稱為 殘差平方和 ， 它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。 21()n i iiyy??? 4 、 我們可以用 相關(guān)指數(shù) R2來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是： 222 112211( ) ( )1( ) ( )nni iiiinniiiiy y y yRy y y y??????? ? ??????? 注： R2 ?1，說(shuō)明回歸方程擬合的越好； R2?0，說(shuō)明回歸方程擬合的越差。 1)確定解釋變量 x和預(yù)報(bào)變量 y。 2)畫出散點(diǎn)圖 。 3)確定回歸方程類型 。 4)求出回歸方程 。 5)利用相關(guān)指數(shù)或殘差進(jìn)行分析 . ： 1） .利用散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)變量是否線性相關(guān) 2） .利用殘差來(lái)判斷模型擬合的效果 (殘差分析 ) 利用 殘差圖 來(lái)分析數(shù)據(jù)，對(duì) 可疑數(shù)據(jù) (殘差較大的數(shù)據(jù) )進(jìn)行重新調(diào)查，有錯(cuò)誤就更正，然后重新利用回歸模型擬合，如果沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要找其他原因。 練習(xí) ； 關(guān)于 x與 y有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個(gè)線性模型： （ 1） ；（ 2） 試比較哪一個(gè)擬合效果更好。 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 ? 6 .5 1 7 .5yx?? ? 7 17 .yx??例 2： 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù) y和溫度 x有關(guān)?，F(xiàn)收集了 7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中： （ 1） 試建立產(chǎn)卵數(shù) y與溫度 x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為 28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目 。 （ 2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 溫度 xoC 21 23 25 27 29 32
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