電動力學零二數(shù)學準備(編輯修改稿)
2025-02-14 02:23 本頁面
【文章內容簡介】 ??????????????????????????rrr12 用分離變量法解此方程。設 ? ? ? ? ? ???? ?? rRr ,?????? ?????????????? dddddrdRrdrdRs i ns i n11 2此式左邊為 r的函數(shù)，右邊為 θ的函數(shù)，只有當它們都等于常數(shù)時才有可能相等。 13 令此常數(shù)為 n(n+1), 則得兩個方程： 0)1(2 ?????????RnndrdRrdrd0s i n)1(s i n ?????????? ?????nndddd14 容易求出解 1???nnnnrbraRnn ba ,為任意常數(shù)，由邊界條件確定 15 作代換變換角度方程 ?? c os?? ? 0)1(1 2 ?????????? ?? nndddd???16 上式稱為勒讓德方程，只有當 n為整數(shù)時才存在 1≤? ≤1區(qū)間的有限解，其解稱為勒讓德多項式，記為 ? ? ? ??? c o snP??得通解 ? ? ? ???? c o s,01 nnnnnn Prbrar ???? ????????17 用簡單方法求出 Pn(cos?)的顯示式 : r1??當 r≠0時點電荷電勢為拉普拉斯方程的解。 將下式描述的電勢代入即可驗證 18 對拉普拉斯方程作用算符 z??022 ????????zψψz?zψ??nnzψ??為一解 , 若 亦為一解 亦為解 19 因此，拉普拉斯方程具有特解 ,1r,c o s11 23 ?rr zrz ????????????? ?,1c o s3131 235 2222 ???????????? ?rrrzrz這些特解都具有形式 ? ??c o s11 nn Pr ?………………… 20 ? ? ? ???? c o s,01 nnnnnn Prbrar ???? ?????? ??比較并按習慣定義所選的常數(shù)因子，得 ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?????????c os3c os521c os1c os321c osc osc os1c os232210??????PPPP21 可以證明 Pn(cos?)的一般表達式為 ? ?
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