20xx高考數(shù)學(xué)試題(全國(guó)卷理詳解(編輯修改稿)
2025-02-10 22:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 BAA1=∠CAA1= 60o，則異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為 【解法一】：設(shè)= a，= b，= c，則= a + b, = b + c a，由條件知：| a | = | b | = | c | = r , a, b = b, c = a, c = 60o，則a?b = b?c = a?c = r 2| a + b | 2 = | a | 2+ | b | 2 +2 a?b = 3r 2| b + c a | 2 = | a | 2+ | b | 2 + | c | 2 + 2b?c 2a?b 2a?c = 2 r 2設(shè),=q，則cos q ====【解法二】：如圖，D、E、F、G分別為其所在棱的中點(diǎn)，則DE∥AB1，EF∥BC1易證AA1⊥BC?CC1⊥BC，設(shè)AB=2，DE =AB1=，EF=BC1=，DF=C1G=，在△DEF中，由余弦定理的cos∠DEF= 則AB1與BC1所成的角的余弦值為【解法三】：如圖，D、E、H、G分別為其所在棱的中點(diǎn)，則DE∥AB1，DH∥BC1，解三角形DEH可求得cos∠EDH= ……二．解答題：（共6個(gè)小題，滿分70分）17.（本小題滿分10分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知cos(A C ) + cosB = 1，a = 2c，求C .【解】：由cos(A C ) + cosB = 1 222。 cos(A C ) cos(A + C ) = 1222。2sinAsinC = 1 ……………………………………①由a = 2c及正弦定理222。 sinA = 2sinC ………………②聯(lián)立①、②得sin2C =222。 sinC =(sinC 0)，sinA =1222。 A = 90o, C =30o18. （本小題滿分12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC = 2，PA = 2，E是PC上的一點(diǎn)，PE = 2EC .(Ⅰ)證明：PC⊥平面BED ；(Ⅱ)設(shè)二面角A PB C為90o，求PD與平面PBC所成的角的大小.(Ⅰ)【證法一】：如圖，設(shè)AC∩BD = O，設(shè)= a，= b，則| a | = 2, | b | = 2，a?b = 0= a b，===( b a) + a =( a +2b)222。?=( a +2b )( b a) =(2b 2 a 2 a?b ) = 0222。 PC⊥OE，ABCD為菱形222。 AC⊥BD，AC是PC在平面ABCD上的射影，所以PC⊥BD222。 PC⊥平面BED【證法二】：PC =2，CE =，? CE? CP =CO? CA222。，又∠ECO =∠PCA，則△ECO ∽△PCA 222?！螩EO =∠PAC222。 PC⊥OE，下同證法一.【證法三】：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(, 0，0)，P(, 0，2)C(, 0，0)，=+=+=(，0，)設(shè)B(0，m，0) ，則：?=(2, 0，2)?(，0，) = 0?=(2, 0，2)?(0，m，0) = 0222。 CP⊥OE且CP⊥OB222。 CP⊥平面BED.(Ⅱ) 【解法一】：作AF⊥PB交PB于F，由條件知平面PAB⊥平面PBC則AF⊥平面PBC 222。 AF⊥BC由PA⊥底面ABCD 222。 PA⊥BC所以BC⊥平面PAB?BC⊥AB?ABCD為正方形222。 AB = 2= PA222。F是PB的中點(diǎn)222。 AF =,AD∥BC 222。 AD∥平面PBC 222。D到平面PBC的距離d = AF =設(shè)PD與平面PBC所成的角為q，則sinq ===222。q = 30o .【解法二】：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(, 0，0)，P(, 0，2)C(, 0，0)，設(shè)B(0，m，0) ，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，所以平面PAB的法向量與平面ABCD平行可設(shè)p = (a, b, 0)為平面PAB的法向量
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