【文章內(nèi)容簡介】 ，過A作BD的垂線分別交BC、BD于E、F，連結(jié)DE，由BD平分∠ABC，易得△ABF≌△EBF，則AB=BE，BD平分∠ABC，BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD=ED，∠BAD=∠DEB，又∠BAD+∠C=1800，∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC，則DE=DC，∴AD=DC．C、能力提升例如圖，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求證：AD=DC．【解析】△CBD沿角平分線BD折向BA而構(gòu)成全等三角形的．【解答】證法三、如圖，延長BA至E，使BE=BC，連結(jié)DE， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE，又BD=BD，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠C=∠E，CD=DE，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800，∴∠E=∠DAE，DE=DA，則AD=DC．考點(diǎn)二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解由于角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線而構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形．A、夯實(shí)基礎(chǔ)例已知：如圖，在△ABC中，∠C=90176。,AC=BC,AD平分∠：AC+CD=AB【解析】要想證明AC+CD=AB，可以在AB上截取AE=AC，然后證明BE= CD即可．【解答】證明：在AB上截取AE=AC，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD= ∠DAB，AD=AD，∴△CAD≌△EAD，∴∠DEA=90176。，∵∠C=90176。，AC=BC，∴∠B=45176。，∴∠B=∠BDE=45176?！郉E=BE，∴AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=AB.B、雙基固化例如圖1，在△ABC中，∠=AC.【解析】根據(jù)已知可知AD是∠BAC的平分線，可通過點(diǎn)D作∠BAC的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進(jìn)行證明.【解答】證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.∵DA為∠BAC的平分線，∴DE=DF.又∵AD平分BC，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，又S△ABD=ABDE，S△ACD=ACDF，∴ABDE=ACDF，∴AB=AC.C、能力提升例已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。，沿過B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使C點(diǎn)與AB邊上的一點(diǎn)D重合，當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)D恰為AB中點(diǎn)？寫出一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB中點(diǎn). 【解析】若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，ED⊥AB，可知△BDE和△ADE全等，即∠EAD=∠EBD，因?yàn)镋B平分∠CBA，∠C=90176。，所以∠A=30176。.【解答】當(dāng)∠A =30176。時(shí)，點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn).∵∠A=30176。，∠C=90176。(已知)，∴∠CBA=60176。(直角三角形兩銳角互余).又△BEC≌△BED(已知)，∴∠CBE=∠DBE=30176。，且∠EDB=∠C=90176。(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，∴∠DBE=∠A(等量代換)∵BE=AE(等角對(duì)等邊)，又∠EDB=90176。，即ED⊥AB，∴D是AB的中點(diǎn)(三線合一).第十二章 軸對(duì)稱圖形一、軸對(duì)稱圖形 知識(shí)總結(jié)（一）知識(shí)總結(jié)（二）例題精講知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)二：作軸對(duì)稱圖形知識(shí)點(diǎn)三：等腰三角形知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)稱A、夯實(shí)基礎(chǔ)例1: 下列圖形是軸對(duì)稱圖形的是 （ ）.（A） （B） （C） （D）【解析】要選擇哪個(gè)圖案是軸對(duì)稱圖形，主要根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征：沿某條直線折疊，能沿某直線折疊重合的只有最后一個(gè)圖形.【解答】（D）B、雙基固化例2: 如圖1，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離相等？ 圖1 圖2【解析】，將A、B兩個(gè)居民區(qū)看作兩個(gè)點(diǎn)，將街道看作直線l，則本題實(shí)際上是在直線l上求作一點(diǎn)，這點(diǎn)到點(diǎn)A、.【解答】如圖2，（1）連結(jié)AB，（2）作線段AB的垂直平分線MN交直線l與點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求作的奶站的位置.C、能力提升例3: 如圖3，△ABC中，∠BAC=120176。，若DE、FG分別垂直平分AB、AC，△AEF的周長為10cm，求∠EAF的度數(shù)及BC的長. 圖3【解析】,根據(jù)已知可得EA=EB,FA=FC,這樣BC的長實(shí)際就是AE+EF+∠EAF的度數(shù),則只要求到∠BAE+∠CAF的度數(shù)即可解決問題.【解答】因?yàn)椤螧AC=120176。，所以∠B+∠C=60176。，因?yàn)镈E垂直平分AB，所以BE=AE，∠B=∠BAE，因?yàn)镕G垂直平分AC，所以AF=CF，∠C=∠CAF，所以AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，∠EAF=∠BAC(∠BAE+∠CAF)=120176。(∠B+∠C)=60176。.知識(shí)點(diǎn)二：作軸對(duì)稱圖形A、夯實(shí)基礎(chǔ)例4: 如圖,以直線AE為對(duì)稱軸,畫出該圖形的另一部分.【解析】要畫出圖形的另一部分, 首先要找到圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)A，B，C，D，E，由于點(diǎn)A，D，E在對(duì)稱軸上，所以它們的對(duì)稱點(diǎn)與本身重合，這樣只要根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)B、C關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，然后用線段連結(jié)相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)即可得到圖形的另一部分.【解答】作圖過程如下：（1）分別作出點(diǎn)B、C關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，H,如圖a；（2）連結(jié)AF、FD、DH、HE，得到所求的圖形,如圖b. 圖a 圖b B、雙基固化例5: 用四塊如圖4①所示的正方形瓷磚拼成一個(gè)新的正方形，②、圖4③、圖4④中各畫一種拼法(要求三種拼法各不相同). ① ② ③ ④ 圖4【解析】本題是一道與軸對(duì)稱圖形有關(guān)的拼圖問題，要拼軸對(duì)稱圖案，則需要理解軸對(duì)稱圖形的特征：要某直線折疊后，可以根據(jù)自己想象設(shè)計(jì)出美麗的圖案.【解答】下面給出3種不同答案，. 圖5C、能力提升例6: 如圖6，（1）作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將△ABC向右平移6個(gè)單位，作出平移后的△A2B2C2，并寫出△A2B2C2各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）觀察△A1B1C1和△A2B2C2，它們是否關(guān)于某直線對(duì)稱？若是，請(qǐng)?jiān)趫D上畫出這條對(duì)稱軸. 圖6 圖7【解析】（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)作△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，可先確定關(guān)鍵點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)ABC1的坐標(biāo)，描出這些點(diǎn)的坐標(biāo)，然后順次連結(jié)即可.（2）要作△ABC向右平移6個(gè)單位的后的△A2B2C2，首先要作出A、B、C三點(diǎn)向右平移6個(gè)單位的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）要觀察△A1B1C1和△A2B2C2是否關(guān)于某直線對(duì)稱，可連接A1A2，B1B2，C1C2，看它們的垂直平分線是否是同一條直線，如果是，則△A1B1C1和△A2B2C2就關(guān)于這條直線對(duì)稱，否則，不關(guān)于某條直線對(duì)稱.【解答】（1）如圖7所示,A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)。（2）如圖7所示,A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)。（3）△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于直線軸對(duì)稱.知識(shí)點(diǎn)三：等腰三角形A、夯實(shí)基礎(chǔ)例7: △ABC中,AB=AC,它的兩邊分別是2厘米和4厘米,則它的周長是（ ）(A)8厘米 (B)10厘米 (C)8厘米或10厘米 (D)不確定【解答】BB、雙基固化例8: 如圖是某房屋頂框架的示意圖，其中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120176。，求∠B、∠C和∠BAD的度數(shù).【解析】由AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，等腰三角形的底邊上的高，頂角的平分線重合，根據(jù)AD⊥BC，可得AD平分∠BAC，進(jìn)一步可以求到各角的度數(shù).【解答】在△ABC中，因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C，因?yàn)椤螧AC+∠B+∠C=180176。，∠BAC=120176。，所以∠B=∠C=(180176。120176。)=30176。,因?yàn)锳D⊥BC,所以∠BAD=∠BAC=60176。.