【正文】 ∴AD平分∠BAC四、角平分線類問(wèn)題常用思路（一）規(guī)律總結(jié)同學(xué)們?cè)趯W(xué)完角平分線和全等三角形之后，就可以根據(jù)已知條件和結(jié)論再結(jié)合角的平分線的特性，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等三角形往往是同學(xué)們尋找證題思路的一個(gè)難點(diǎn)，下面以一個(gè)例題的幾種不同證法來(lái)歸納如何利用角平分線構(gòu)成全等三角形的常見輔助線的作法．（二）例題精講考點(diǎn)一：利用“角平分線的對(duì)稱性”求解 考點(diǎn)二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解考點(diǎn)一：利用“角平分線的對(duì)稱性”求解 因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，角平分線是其對(duì)稱軸，因此，題中若有角平分線，一般可以利用其對(duì)稱性來(lái)構(gòu)成全等三角形．A、夯實(shí)基礎(chǔ)例如圖，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求證：AD=DC．BACDE【解析】可以看作將△ABD沿角平分線BD折向BC而構(gòu)成全等三角形的．【解答】證法一、如圖，在BC上取BE=AB，連結(jié)DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，又BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠A=∠DBE，AD=DE，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC，DE=DC，則AD=DC．B、雙基固化例如圖，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求證：AD=DC．【解析】可以看作將△ABD沿角平分線BD折向BC而構(gòu)成全等三角形的．【解答】證法二、如圖，過(guò)A作BD的垂線分別交BC、BD于E、F，連結(jié)DE，由BD平分∠ABC，易得△ABF≌△EBF，則AB=BE，BD平分∠ABC，BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD=ED，∠BAD=∠DEB，又∠BAD+∠C=1800，∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC，則DE=DC，∴AD=DC．C、能力提升例如圖，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求證：AD=DC．【解析】△CBD沿角平分線BD折向BA而構(gòu)成全等三角形的．【解答】證法三、如圖，延長(zhǎng)BA至E，使BE=BC，連結(jié)DE， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE，又BD=BD，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠C=∠E，CD=DE，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800，∴∠E=∠DAE，DE=DA，則AD=DC．考點(diǎn)二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解由于角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線而構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形．A、夯實(shí)基礎(chǔ)例已知：如圖，在△ABC中，∠C=90176。（HL）。=85176。則∠OAD＝_____度. 【解析】此題可根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∵ △OAD≌△OBC∴ ∠OAD=∠OBC=180176。 求證：△ABC≌△DEF?！窘馕觥恳阎獌山牵海?）找夾邊：AB=AE（ASA）；（2）找一角的對(duì)邊：AC=AD或DE=BC(AAS)。∴DE=BE，∴AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=AB.B、雙基固化例如圖1，在△ABC中，∠=AC.【解析】根據(jù)已知可知AD是∠BAC的平分線，可通過(guò)點(diǎn)D作∠BAC的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進(jìn)行證明.【解答】證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.∵DA為∠BAC的平分線，∴DE=DF.又∵AD平分BC，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，又S△ABD=AB時(shí)，點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn).∵∠A=30176。所以∠B+∠C=60176。所以∠B=∠C=(180176。 所以∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD， 所以△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS）， 所以AE=BF=CD，AF=BD=CE . 二、軸對(duì)稱應(yīng)用及等腰三角形的方法規(guī)律總結(jié)（一）規(guī)律總結(jié)1．證明一個(gè)三角形是等腰三角形的方法（1）利用定義證明，有兩邊相等的三角形是等腰三角形。又因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠DBC=∠ABD=36176。所以△MOB和△NOC和△BOC和△ANM都是等腰三角形.【解答】A考點(diǎn)二：巧用“三線合一”證題及軸對(duì)稱應(yīng)用A、能力提升例已知，如圖1，AD是的角平分線，DE、DF分別是和的高?！窘獯稹浚?）x=7，－5；（2）x=177。二、實(shí)數(shù)運(yùn)算中常見錯(cuò)誤及原因分析（一）規(guī)律總結(jié)我們從有理數(shù)過(guò)度到實(shí)數(shù)，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)有了進(jìn)一步提高，在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時(shí)我們常將實(shí)數(shù)與有理數(shù)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，事實(shí)上有理數(shù)的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)實(shí)用于實(shí)數(shù)運(yùn)算，但對(duì)實(shí)數(shù)而言，有自身的特殊性，因此不少同學(xué)在進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)運(yùn)算常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，現(xiàn)將這些錯(cuò)誤加以歸類總結(jié)．（二）例題精講考點(diǎn)一：忽視公式適用的條件考點(diǎn)二：忽視結(jié)果的化簡(jiǎn)考點(diǎn)三：與算術(shù)平方根的乘除運(yùn)算混淆考點(diǎn)一：忽視公式適用的條件A、夯實(shí)基礎(chǔ)計(jì)算【錯(cuò)解】原式==（4）（3）=12【正解】原式==12【錯(cuò)因分析及解題指導(dǎo)】本題有兩處錯(cuò)誤：錯(cuò)誤一：忽視了公式成立的條件：，錯(cuò)誤二：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以、無(wú)意義，無(wú)法化簡(jiǎn)．正確做法是先計(jì)算被開方數(shù)，再化簡(jiǎn)．B、雙基固化化簡(jiǎn)【錯(cuò)解】原式=【正解】原式=.【錯(cuò)因分析及解題指導(dǎo)】本題錯(cuò)用了公式這一公式．我們?cè)谶\(yùn)用要注意對(duì)其中的a的正負(fù)進(jìn)行分類討論。寫出一次函數(shù)的表達(dá)式。 解答：y=5n，n是自變量，y是n的函數(shù)?！窘獯稹?a【方法點(diǎn)撥】對(duì)于算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)題，一定要弄清被開方數(shù)的大小，也就是必須保證開方數(shù)和被開方數(shù)都是非負(fù)的才可以?！窘獯稹? 又 AD垂直平分EFB、雙基固化例5在銳角∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，試在OA、OB上確定兩點(diǎn)C、D，使△PCD的周長(zhǎng)最短．【解析】△PCD的周長(zhǎng)等于PC+CD+PD，要使△PCD的周長(zhǎng)最短，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某兩點(diǎn)之間的距離，于是考慮作點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)E、F，則△PCD的周長(zhǎng)等于線段EF的長(zhǎng)．【解答】作法：如圖．①作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)E；②作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F；③連接EF分別交OA、OB于點(diǎn)C、D．則C、D就是所要求作的點(diǎn)．證明：連接PC、PD，則PC=EC，PD=FD．在OA上任取異于點(diǎn)C的一點(diǎn)H，連接HE、HP、HD，則HE=HP．∵△PHD的周長(zhǎng)=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF而△PCD的周長(zhǎng)=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF∴△PCD的周長(zhǎng)最短． C、能力提升例如圖4，已知四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證：。D、E是BC上的點(diǎn)，∠BAD=∠DAE=∠EAC，則圖中等腰三角形有（ ）個(gè).A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】因?yàn)椤鰽BC中，AB=AC，∠ABC=60176。2．等腰三角形的性質(zhì)及判定在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用是本節(jié)的重點(diǎn)，等腰三角形中主要抓住“三線合一”這一條，注意數(shù)形結(jié)合的思想，一般等腰三角形的頂點(diǎn)作底邊上的高。)=30176。(∠B+∠C)=60176。(已知)，∴∠CBA=60176。DF，∴AB【解答】證明：在△ABC和△DCB中 AC=DB ∠1=∠2 BC=CB ∴ △ABC≌△DCB （SAS） ∴ ∠A=∠D B、雙基固化例已知：如圖，點(diǎn)在上，．求證：．ABCDEF【解答】證明：∵（已知），∴，即．　　在和中，　　∴．　　∴（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．C、能力提升例已知：如圖，D是的邊AB上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，．求證：．ABCDEF【解答】證明：∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．　　在和中，　　　　∴．　　∴ （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）考點(diǎn)二：已知兩邊對(duì)應(yīng)相等A、夯實(shí)基礎(chǔ)例已知：如圖，AC=FE,BC=DE,點(diǎn)A,D,B,F在一條直線上，AD=BF,求證：∠E=∠C.【解答】證明：∵ AD=FB∴ AD+DB=BF+DB，即AB=FD在△ABC和△FDE中AC=FEBC=DEAB=FD∴ △ABC≌△F