學案與測評數(shù)學蘇教版文科第4單元導數(shù)及其應用(編輯修改稿)
2025-02-09 21:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2＜ 3,∴ 只需 a≥3. 當 a≥3時， f′(x)=3x2a在 x∈ (1,1)上恒有 f′(x)＜ 0, 即 f(x)在（ 1,1）上為減函數(shù) . 故存在實數(shù) a≥3,使 f(x)在 (1,1)上單調(diào)遞減 . 學后反思 關于不等式的恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來研究，如a≥f(x)(x∈ D)得 a≥f(x)max(x∈ D)。a≤f(x)(x∈ D)得 a≤f(x)min(x∈ D).這種轉(zhuǎn)化思想很重要，要注意掌握 . 舉一反三 2. 已知 a＞ 0,函數(shù) f(x)=x3+ax在［ 1,+∞)上是減函數(shù)，則 a的最大值為 . 解析 ： f′(x)=3x2+a, ∵ f(x)在 [1,+∞)上是減函數(shù)， ∴ 3x2+a≤0在 [1,+∞)上恒成立，即 a≤3x2, 而函數(shù) y=3x2在 [1,+∞)上的最小值是 3,∴ a≤3. 答案 ： 3 題型三 利用導數(shù)求函數(shù)的極值 【 例 3】 求函數(shù) 的極值 . 分析 按照求極值的基本方法，首先從方程 f′(x)=0求出在函數(shù) f(x)定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值 . 21x 2xf (x ) 2 ??解 f(x)的定義域為 R. 令 f′(x)=0,解得 x=1或 x=1. 當 x變化時， f′(x)、 f(x)的變化情況為： x (∞,1) 1 (1,1) 1 (1,+∞) f′(x) 0 + 0 f(x) 極小值 3 極大值 1 ∴ 當 x=1時， f(x)有極小值 3。 當 x=1時， f(x)有極大值 1. .1)(x )x2(11)(x 2x2x1)2(x(x)f 222222???????學后反思 求函數(shù)極值的一般步驟： ( 1)確定函數(shù)的定義域； ( 2)求導數(shù) f′(x)。 (3)求方程 f′(x)=0的全部實根； （ 4）檢查方程 f′(x)=0的根左右兩側(cè) f′(x)的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值 。如果左負右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值 .為判斷方程 f′(x)=0的根左右兩側(cè) f′(x)的符號，可用列表的方法：用方程 f′(x)=0的根及無意義的點，順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格 .根據(jù)極值定義找到相應的極值 . 舉一反三 3. (2022天津 )設函數(shù) ,其中 m＞ 0. (1)當 m=1時，曲線 y=f(x)在點 (1,f(1))處的切線斜率 。 (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值 . 1)x (mx x31f(x) 223 ???解析 ： (1)當 m=1時， ,f′(x)=x2+2x, 故 f′(1)=1,即曲線 y=f(x)在點 (1,f(1))處的切線斜率為 1. (2)f′(x)=x2+2x+m21,令 f′(x)=0,得 x1=1m,x2=1+m,因為 m＞ 0,所以 1+m＞ 1m. 當 x變化時， f′(x),f(x)的變化情況如下表： x (∞,m) 1m (1m,1+m) 1+m (1+m,+∞) f′(x) 0 + 0 f(x) 極小值 3 極大值 1 x x31f( x) 23 ??f(x)在 (∞,1m)和 (1+m,+∞)上為減函數(shù)，在 (1m,1+m)上為增函數(shù) . 函數(shù) f(x)在 x=1+m處取得極大值 f(1+m)，且 函數(shù) f(x)在 x=1m處取得極小值 f(1m),且 31mm32m)f(1 23 ??? 31mm 32m)f(1 23 ??題型四 已知函數(shù)的極值求參數(shù)的值 【 例 4】 (14分 ) 已知函數(shù) f(x)=ax3+bx23x在 x=177。 1處取得極值，試討論 f(1)和 f(1)是函數(shù)的極大值還是極小值 . 分析 本題考查函數(shù)極值的概念，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，首先借助極值點求出函數(shù)的解析式 ,再利用導數(shù)求出函數(shù)的極值 . 解 f′(x)=3ax2+2bx3,依題意得 f′(1)=f′(1)=0,…………………………2′ 所以 f(x)=x33x,f′(x)=3x23=3(x+1)(x1). 令 f′(x)=0,得 x=1或 x=1……………………………………………….6′ 若 x∈ (∞,1］ ∪ [1,+∞),則 f′(x)≥0. 故 f(x)在 (∞,1］和 [1,+∞)上是增函數(shù) ……………………………...10′ 若 x∈ [1,1 ],則 f′(x)≤0,故 f(x)在 [1,1 ]上是減函數(shù) ……………….12′ 所以 f(1)=2是極大值， f(1)=2是極小值 .14′ 學后反思 注意多項式可導函數(shù)的極值點與導數(shù)為零的根之間關系的應用 . 即 ,解得 a=1,b=0………………………………………4′ ??????032b3a0,32b3a4. 已知函數(shù) (其中 a≠0)且 f′(2)=0. (1)若 f(x)在 x=2處取得極小值 2,求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)令 F（ x） =f′(x),若 F′(x)＞ 0的解集是 A，且 A∪ （ 0， 1） =(∞,1)，求 的最大值 . 舉一反三 c x bxax31f(x) 23 ???ca解析： (1)∵ f′(x)=ax2+2bx+c, 由 f′(x)= x2 ≥0,得 x≥2或 x≤2, 23c0,b,83a66c12b8a0,c4b4a0,c4b4a????????????????? 解得2383同理 ,由 f′(x)= ≤0,得 2≤x≤2. 即函數(shù) f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 [2,2 ],增區(qū)間是 (∞,2 ]和 [2,+∞). 23 x83 2 (2)∵ f′(x)=ax2+2bx+c=F(x),F(2)=4a4b+c=0, ∴ 4b=4a+c. ∵ F′(x)= ＞ 0, ∴ 2ax＞ 當 a＞ 0時 ,F′(x)＞ 0的解集是 ,顯然不滿足 A∪ (0,1)=（ ∞,1） 。 當 a＜ 0時， F′(x)＞ 0的解集是 若滿足 A∪ (0,1)=(∞,1)，則 , 解得 ,∴ ac的最大值為 2c4a2a x2b2a x ????2c4a??????? ??? ,4a c4a)4a c4a,( ???14a c4a0 ????81ca41 ??81【 例 】 已知函數(shù) f(x)=ax3+3x2x+1在 R上是減函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍 . 錯解 f′(x)=3ax2+6x1. 當 f′(x)＜ 0時， f(x)是減函數(shù)，則 f′(x)=3ax2+6x1＜ 0(x∈ R), 故 解得 a＜ 3. 錯解分析 f′(x)＜ 0［ x∈ (a,b)］是 f(x)在 (a,b)內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如 f(x)=x3在 R上遞減，但 f′(x)=3x2≤0. 易錯警示 ??????0,0,a正解 f′(x)=3ax2+6x1. (1)當 f′(x)＜ 0時， f(x)是減函數(shù)，則 f′(x)=3ax2+6x1＜ 0(x∈ R),故 ,解得 a＜ 3. ??????0,0,a(2)當 a=3時， f(x)=3x3+3x2x+1 ,易知此時函數(shù)也在 R上是減函數(shù) . 98)313(x 3 ??考點演練 10. 已知函數(shù) f(x)= f(x)在區(qū)間 [1,+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍 . 解析 ： f′(x)=3x22ax3, ∵ f(x)在 [1,+∞)上是增函數(shù) ,∴ f′(x)在 [1,+∞）上恒有 f′(x)≥0，即 3x22ax3≥0在 [1,+∞)上恒成立，則必有 ,又 ∵ g(x)為增函數(shù)， ∴ 當 x=1時， g(x)取最小值 0,∴ a3≤0,即 a≤0. 2x1x)(g2x1x3a
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