學(xué)案與測評數(shù)學(xué)蘇教版文科第4單元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 f′(x0)= 知， 過此點的切線方程為 令 x=1,得 , ∴ 切線與直線 x=1的交點為（ 1, ） 令 y=x,得 x=2x01, ∴ 切線與直線 y=x的交點為 (2x01,2x01). 直線 x=1與 y=x的交點為 (1,1), 從而所圍三角形的面積為 所以所圍三角形的面積為定值 2. ,1x 1x,x000 ???????? ?20 1)(x11).x(x1)(x 111x 1xxy 0200020 ????????1x1xy00 ??1x1x00?2.|22x|12x 221|112x|11x 1x 21 00000 ?????第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（ Ⅰ ） 1. 函數(shù)的單調(diào)性 對于函數(shù) y=f(x)，如果在某區(qū)間上 f′(x)＞ 0,那么 f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù) 。 ? ? 0][ g ( x )g ( x )( x )gf ( x )( x ) g ( x ) fg ( x )f ( x )( 4 )2 ???????????典例分析 題型一 利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù) 【 例 1】 用導(dǎo)數(shù)定義求 y=x2在 x=1處的導(dǎo)數(shù)值 . 分析 利用導(dǎo)數(shù)的定義 ,按求導(dǎo)數(shù)的步驟求解 . 解 ∵ ∴ 當(dāng) Δx無限趨近于 0時， 趨近于 2,∴ y′|x=1=2. 學(xué)后反思 利用導(dǎo)數(shù)的定義求在一點 x0的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是對 ΔyΔx進(jìn)行靈活變形，若求 f(x)在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，只需將 x0看成是 (a,b)內(nèi)的任意點 x,即可求得 f′(x). 2x x x2x x 1x)(1 x f(1 )x)f(1xy 222 ???? ??????????????xy??舉一反三 1. 已知 ，利用定義求 y′,y′|x=1. 解析 ∴ 當(dāng) Δx趨近于 0時， 趨近于 x,∴ y′|x=1= xy ?? ?xxx1xxxxxxx xxxy,xxxy??????????????????????xy??2121題型二 利用求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù) 【 例 2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . .1e1e( 2 ) ys in x 。 g′(x)。 g(x)］ ′= f′(x)177。g(x)］ ′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)。福建改編 )若曲線 f(x)=ax2+ln x存在垂直于 y軸的切線，求實數(shù) a的取值范圍 . 解析 : ∵ f(x)存在垂直于 y軸的切線， ∴ f′(x)=0有解， 即 有解 ,∴ ,∴ a∈ (∞,0). 考點演練 x12 a x(x) f ???0 12a x ?? x 22x1a ?11. 已知函數(shù) f(x)=2x3+ax與 g(x)=bx2+c的圖象都過 P(2,0),且在點 P處有相同的切線 .求實數(shù) a,b,c的值 . 解析： ∵ f(x)過點（ 2,0） ,∴ f(2)=2 23+a 2=0,解得 a=8, 同理 g(2)=4b+c=0.∵ f′(x)=6x28, ∴ 在點 P處切線斜率 k=f′(2)=6 228=16. 又 g′(x)=2bx,∴ 2b 2=16,∴ b=4， ∴ c=4b= a=8,b=4,c=16. 12. (2022a≤f(x)(x∈ D)得 a≤f(x)min(x∈ D).這種轉(zhuǎn)化思想很重要，要注意掌握 . 舉一反三 2. 已知 a＞ 0,函數(shù) f(x)=x3+ax在［ 1,+∞)上是減函數(shù)，則 a的最大值為 . 解析 ： f′(x)=3x2+a, ∵ f(x)在 [1,+∞)上是減函數(shù)， ∴ 3x2+a≤0在 [1,+∞)上恒成立，即 a≤3x2, 而函數(shù) y=3x2在 [1,+∞)上的最小值是 3,∴ a≤3. 答案 ： 3 題型三 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 【 例 3】 求函數(shù) 的極值 . 分析 按照求極值的基本方法，首先從方程 f′(x)=0求出在函數(shù) f(x)定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值 . 21x 2xf (x ) 2 ??解 f(x)的定義域為 R. 令 f′(x)=0,解得 x=1或 x=1. 當(dāng) x變化時， f′(x)、 f(x)的變化情況為： x (∞,1) 1 (1,1) 1 (1,+∞) f′(x) 0 + 0 f(x) 極小值 3 極大值 1 ∴ 當(dāng) x=1時， f(x)有極小值 3。天津 )設(shè)函數(shù) ,其中 m＞ 0. (1)當(dāng) m=1時，曲線 y=f(x)在點 (1,f(1))處的切線斜率 。四川改編 ) 已知 x=3是函數(shù) f(x)=aln(1+x)+x210x的一個極值點 . （ 1）求 a。北京）設(shè)函數(shù) f(x)=x33ax+b(a≠0). (1)若曲線 y=f(x)在點 (2,f(2))處與直線 y=8相切，求 a,b的值； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點 . 解析 ： (1)f′(x)=3x23a=3(x2a). 因為曲線 y=f(x)在點 (2,f(2))處與直線 y=8相切， 所以 解得 a=4,b=24. ????????????8,b6a80,a)3(48f(2)0,(2)f 即(2)f′(x)=3(x2a)(a≠0). 當(dāng) a＜ 0時， f′(x)＞ 0,函數(shù) f(x)在 (∞,+∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù) f(x)沒有極值點 . 當(dāng) a＞ 0時 ,令 f′(x)=0得 x=177。鹽城模擬）已知函數(shù) ,求 f(x)的最大值 . 解析 : ∵ f(x)的定義域為 (0,+∞), ∴ 令 f′(x)=0,得 x=e. ∵ 當(dāng) x∈ (0,e)時 ,f′(x)＞ 0,f(x)在 (0,e)上為增函數(shù)； 當(dāng) x∈ (e,+∞)時， f′(x)＜ 0,f(x)在 (e,+∞)上為減函數(shù)， ∴ f(x)max=f(e)= xln xf( x) ?2xln x1(x)f ?? e1題型二 導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 【 例 2】 用長為 90 cm,寬為 48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn) 90176。 在 和 上， f′(x)＞ 0,f(x)是增函數(shù) . （ 2）當(dāng) Δ＜ 0,即 ＜ a＜ 時，則對所有 x∈ R都有 f′(x)＞ 0，此時 f(x)在 R上是增函數(shù) . （ 3）當(dāng) Δ=0,即 a=177。北京）已知 .求 f′(x),并確定 f(x)的單調(diào)區(qū)間 . 解析 ： 令 f′(x)=0,得 x=b1, 當(dāng) b1＜ 1,即 b＜ 2時， f′(x)的變化情況是 : 21)(xb2xf( x) ? 1)(x 22b2x1)(x 1)b)( x2(2 x1)2(x(x)f 342 ????x (∞,b1) b1 (b1,1) (1,+∞) f′(x) 0 + x (∞,1) (1,b1) b1 (b1,+∞) f′(x) + 0 ∴ 當(dāng) b＜ 2時， f(x)在（ ∞,b1）上遞減，在 (b1,1)上遞增，在 (1,+∞)上遞減 。 (2)容積 V取最大值時 x的值 . 解析 ： (1)根據(jù)題意，底面邊長為 2a2x,高為 x, 則 V=（ 2a2x） 2x=4x(ax)2(0＜ x＜ a). (2)由 V=4x38ax2+4a2x,得 V′=12x216ax+4a2, 由 V′=0,得 或 x=a（舍去） . 則函數(shù) V在 （ 0, ）上為增函數(shù)，在（ ,a）上為減函數(shù) . 所以當(dāng) x= 時，得到 V的最大值 . 3ax?3a3a3a2. (2022183
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