【文章內容簡介】 質、相切兩圓的 性質以及圖形面積的計算方法，難度適中． 三、解答題（共 10 小題） 8．如圖， O 是 △ ABC 的內心， BO 的延長線和 △ ABC 的外接圓相交于點 D，連接 DC， DA， OA， OC，四邊形 OADC 為平行四邊形． （ 1）求證： △ BOC≌△ CDA； （ 2）若 AB=2，求陰影部分的面積． 【考點】三角形的內切圓與內心；全等三角形的判定與性質；扇形面積的計算． 【專題】計算題． 【分析】（ 1）根據內心性質得 ∠ 1=∠ 2， ∠ 3=∠ 4，則 AD=CD，于是可判斷四邊形 OADC 為菱形，則 BD垂直平分 AC， ∠ 4=∠ 5=∠ 6，易得 OA=OC， ∠ 2=∠ 3，所以 OB=OC，可判斷點 O 為 △ ABC 的外心，則可判斷 △ ABC 為等邊三角形，所以 ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120176。， BC=AC，再根據平行四邊形的性質得∠ ADC=∠ AOC=120176。， AD=OC， CD=OA=OB，則根據 “SAS”證明 △ BOC≌△ CDA； （ 2）作 OH⊥ AB 于 H，如圖，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到 ∠ BOH=30176。，根據垂徑定理得到 BH=AH= AB=1，再利用含 30度的直角三角形三邊的關系得到 BH=AH= AB=1， OH= BH= ，OB=2OH= ，然后根據 三角形面積公式和扇形面積公式，利用 S 陰影部分 =S 扇形 AOB﹣ S△ AOB 進行計算即可． 【解答】（ 1）證明： ∵ O 是 △ ABC 的內心， ∴∠ 1=∠ 2， ∠ 3=∠ 4， ∴ AD=CD， ∵ 四邊形 OADC 為平行四邊形， 第 14 頁（共 30 頁） ∴ 四邊形 OADC 為菱形， ∴ BD 垂直平分 AC， ∠ 4=∠ 5=∠ 6， 而 ∠ 1=∠ 5， ∴ OA=OC， ∠ 2=∠ 3， ∴ OB=OC， ∴ 點 O 為 △ ABC 的外心， ∴△ ABC 為等邊三角形， ∴∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120176。， BC=AC， ∵ 四邊形 OADC 為平行四邊形， ∴∠ ADC=∠ AOC=120176。， AD=OC， CD=OA， ∴ AD=OB， 在 △ BOC 和 △ CDA 中 ， ∴△ BOC≌△ CDA； （ 2）作 OH⊥ AB 于 H，如圖， ∵∠ AOB=120176。， OA=OB， ∴∠ BOH= （ 180176。﹣ 120176。） =30176。， ∵ OH⊥ AB， ∴ BH=AH= AB=1， OH= BH= ， OB=2OH= ， ∴ S 陰影部分 =S 扇形 AOB﹣ S△ AOB = ﹣ 2 = ． 第 15 頁（共 30 頁） 【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角 形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了等邊三角形的判定與性質和扇形面積的計算． 9．如圖， AD 是 ⊙ O 的切線，切點為 A， AB 是 ⊙ O 的弦．過點 B 作 BC∥ AD，交 ⊙ O 于點 C，連接 AC，過點 C 作 CD∥ AB，交 AD 于點 D．連接 AO 并延長交 BC 于點 M，交過點 C 的直線于點 P，且 ∠ BCP=∠ ACD． （ 1）判斷直線 PC 與 ⊙ O 的位置關系，并說明理由； （ 2）若 AB=9， BC=6．求 PC 的長． 【考點】切線的判定與性質． 【分析】（ 1）過 C 點作直徑 CE，連接 EB，由 CE 為直徑得 ∠ E+∠ BCE=90176。，由 AB∥ DC 得 ∠ ACD=∠BAC，而 ∠ BAC=∠ E， ∠ BCP=∠ ACD，所以 ∠ E=∠ BCP，于是 ∠ BCP+∠ BCE=90176。，然后根據切線的判斷得到結論； （ 2）根據切線的性質得到 OA⊥ AD，而 BC∥ AD，則 AM⊥ BC，根據垂徑定理有 BM=CM= BC=3，根據等腰三角形性質有 AC=AB=9，在 Rt△ AMC 中根據勾股定理計算出 AM=6 ； 設 ⊙ O 的半徑為 r，則 OC=r， OM=AM﹣ r=6 ﹣ r，在 Rt△ OCM 中，根據勾股定理計算出 r= ，則CE=2r= ， OM=6 ﹣ = ，利用中位線性質得 BE=2OM= ，然后判 斷 Rt△ PCM∽Rt△ CEB，根據相似比可計算出 PC． 【解答】解：（ 1） PC 與圓 O 相切，理由為： 過 C 點作直徑 CE，連接 EB，如圖， ∵ CE 為直徑， 第 16 頁（共 30 頁） ∴∠ EBC=90176。，即 ∠ E+∠ BCE=90176。， ∵ AB∥ DC， ∴∠ ACD=∠ BAC， ∵∠ BAC=∠ E， ∠ BCP=∠ ACD． ∴∠ E=∠ BCP， ∴∠ BCP+∠ BCE=90176。，即 ∠ PCE=90176。， ∴ CE⊥ PC， ∴ PC 與圓 O 相切； （ 2） ∵ AD 是 ⊙ O 的切線，切點為 A， ∴ OA⊥ AD， ∵ BC∥ AD， ∴ AM⊥ BC， ∴ BM=CM= BC=3， ∴ AC=AB=9， 在 Rt△ AMC 中， AM= =6 ， 設 ⊙ O 的半徑為 r，則 OC=r， OM=AM﹣ r=6 ﹣ r， 在 Rt△ OCM 中， OM2+CM2=OC2，即 32+（ 6 ﹣ r） 2=r2，解得 r= ， ∴ CE=2r= ， OM=6 ﹣ = ， ∴ BE=2OM= ， ∵∠ E=∠ MCP， ∴ Rt△ PCM∽ Rt△ CEB， ∴ = ， 即 = ， ∴ PC= ． 第 17 頁（共 30 頁） 【點評】本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質 ． 10．如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑， AM 和 BN 是 ⊙ O 的兩條切線， E 是 ⊙ O 上一點， D 是 AM 上一點，連接DE 并延長交 BN 于點 C，且 OD∥ BE， OF∥ BN． （ 1）求證： DE 與 ⊙ O 相切； （ 2）求證： OF= CD． 【考點】切線的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線． 【分析】（ 1）連接 OE，由 AM 與圓 O 相切，利用切線的性質得到 OA 與 AM 垂直，即 ∠ OAD=90176。，根據 OD 與 BE 平行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，一對同位角相等，再由 OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由 OA=OE， OD 為公共邊，利用 SAS 得出三角形 AOD與三角形 EOD 全等，利用全等三角形的對應角相等得到 ∠ OED=90176。，即 OE 垂直于 ED，即可得證； （ 2）連接 OC，由 CD 與 CB 為圓的切線，利用切線的性質得到一對直角相等，由 OB=OE， OC 為公共邊，利用 HL 得出兩直角三角形全等，進而得到 ∠ BOC=∠ EOC，利用等量代換及平角定義得到 ∠ COD=90176。，即三角形 COD 為直角三角形，由 OF 與 BN 平行， AM 與 BN 平行，得到三線平行，由 O 為 AB 的中的，利用平行線等分線段定理得到 F 為 CD 的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半即可得證． 【解答】證明：（ 1）連接 OE， ∵ AM 與圓 O 相切， ∴ AM⊥ OA，即 ∠ OAD=90176。， ∵ OD∥ BE， 第 18 頁（共 30 頁） ∴∠ AOD=∠ ABE， ∠ EOD=∠ OEB， ∵ OB=OE， ∴∠ ABE=∠ OEB， ∴∠ AOD=∠ EOD， 在 △ AOD 和 △ EOD 中， ， ∴△ AOD≌△ EOD（ SAS）， ∴∠ OED=∠ OAD=90176。， 則 DE 為圓 O 的切線； （ 2）如圖，連接 OC． 在 Rt△ BCO 和 Rt△ ECO 中，