【文章內(nèi)容簡介】 【分析】由垂直的定義得到兩個角為直角，再由已知角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形 BDC與三角形 AEC相似，利用相似三角形對應(yīng)角相等求出 ∠ BCD度數(shù)，再由 AC=BC，利用等邊對等角得到一對角相等，求出所求角度數(shù)即可． 【解答】解： ∵ BD⊥ AC， CE⊥ AE， ∴∠ BDC=∠ E=90176。 ， ∵∠ CAE=∠ CBD， ∴△ BDC∽△ AEC， ∴∠ BCD=∠ ACE， ∵∠ BCE=140176。 ， ∴∠ BCD=∠ ACE=70176。 ， ∵ AC=BC， ∴∠ ABC=∠ BAC=55176。 ． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 21．通州區(qū)運河兩岸的 “ 運河綠道 ” 和步行道是健身的主要場地之一．楊師傅分 別體驗了 60 公里的“ 運河綠道 ” 騎行和 16公里的健步走，已知騎行的平均速度是健步走平均速度的 4倍，結(jié)果健步走比騎行多用了 12 分鐘，求楊師傅健步走的平均速度是每小時多少公里？ 【考點】分式方程的應(yīng)用． 第 19 頁（共 56 頁） 【分析】設(shè)楊師傅健步走的平均速度是每小時 x公里，根據(jù) “ 健步走比騎行多用了 12分鐘 ” 列出方程，解方程即可． 【解答】解：設(shè)楊師傅健步走的平均速度是每小時 x公里． 根據(jù)題意得： ， 解得： x=5， 經(jīng)檢驗： x=5，是原方程的根且符合實際問題的意義， 答：楊師傅健步走的平均速度是每小時 5公里． 【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗． 22．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù) y=kx+b與反比例函數(shù) y= （ m≠ 0）的圖象交于點 A（ 3，1），且過點 B（ 0，﹣ 2）． （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式； （ 2）如果點 P是 x軸上一點，且 △ ABP的面積是 3，求點 P的坐標． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（ 1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； （ 2）首先求得 AB 與 x軸的交點，設(shè)交點是 C，然后根據(jù) S△ ABP=S△ ACP+S△ BCP即可列方程求得 P的橫坐標． 【解答】解：（ 1） ∵ 反比例函數(shù) y= （ m≠ 0）的圖象過點 A（ 3， 1）， ∴ 3= ∴ m=3． 第 20 頁（共 56 頁） ∴ 反比例函數(shù)的表達式為 y= ． ∵ 一次函數(shù) y=kx+b的圖象過點 A（ 3， 1）和 B（ 0，﹣ 2）． ∴ ， 解得： ， ∴ 一次函數(shù)的表達式為 y=x﹣ 2； （ 2）令 y=0， ∴ x﹣ 2=0， x=2， ∴ 一次函數(shù) y=x﹣ 2的圖象與 x軸的交點 C的坐標為（ 2， 0）． ∵ S△ ABP=3， PC 1+ PC 2=3． ∴ PC=2， ∴ 點 P的坐標為（ 0， 0）、（ 4， 0）． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角形的面積的計算，正確根據(jù) S△ ABP=S△ ACP+S△ BCP列方程是關(guān)鍵． 23．如圖，四邊形 ABCD中， AB∥ CD， AC平分 ∠ BAD， CE∥ AD交 AB于 E． （ 1）求證：四邊形 AECD是菱形； （ 2）如果點 E是 AB的中點， AC=4， EC=，求四邊形 ABCD的面積． 【考點】菱形的判定． 【分析】（ 1）由 “ 鄰邊相等的平行四邊形為菱形 ” 進行證明； （ 2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推知 △ ABC是直角三角形，所以結(jié)合直角三角形的面積求法和圖形得到：四邊形 ABCD 的面積 =S△ AEC+S△ EBC+S△ ACD． 【解答】（ 1）證明： ∵ AB∥ CD， CE∥ AD， ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形， … （ 1分）； ∵ AC平分 ∠ BAD， 第 21 頁（共 56 頁） ∴∠ EAC=∠ DAC， ∵ AB∥ CD， ∴∠ EAC=∠ ACD， ∴∠ DAC=∠ ACD， ∴ AD=CD， ∴ 四邊形 AECD是菱形． （ 2）解： ∵ 四邊形 AECD是菱形， ∴ AE=CE， ∴∠ EAC=∠ ACE， ∵ 點 E是 AB 的中點， ∴ AE=BE， ∴∠ B=∠ ECB， ∴∠ ACE+∠ ECB=90176。 ，即 ∠ ACB=90176。 ； ∵ 點 E是 AB 的中點， EC=， ∴ AB=2EC=5， ∴ BC=3． ∴ S△ ABC= BC?AC=6． ∵ 點 E是 AB 的中點，四邊形 AECD是菱形， ∴ S△ AEC=S△ EBC=S△ ACD=3． ∴ 四邊形 ABCD的面積 =S△ AEC+S△ EBC+S△ ACD=9． 【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)．解答（ 2）題時，利用了菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定等知識點，借用了 “ 分割法 ” 求得四邊形 ABCD的面積． 24．已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2﹣（ 2k+1） x+k2+k=0． （ 1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2）當方程有一個根為 5時，求 k的值． 【考點】根的判別式． 【分析】（ 1）套入數(shù)據(jù)求出 △ =b2﹣ 4ac 的值，再與 0 作比較，由于 △ =1＞ 0，從而證出方程有兩個 第 22 頁（共 56 頁） 不相等的實數(shù)根； （ 2）將 x=5代入原方程，得出關(guān)于 k的一元二次方程，解方程即可求出 k的值． 【解答】（ 1）證明： △ =b2﹣ 4ac， =[﹣（ 2k+1） ]2﹣ 4（ k2+k）， =4k2+4k+1﹣ 4k2﹣ 4k， =1＞ 0． ∴ 方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2） ∵ 方程有一個根為 5， ∴ 52﹣ 5（ 2k+1） +k2+k=0，即 k2﹣ 9k+20=0， 解得： k1=4， k2=5． 【點評】本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（ 1）求出 △ =b2﹣ 4ac 的值；（ 2）代入 x=5得出關(guān)于 k的一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，由根的判別式來判斷實數(shù)根的個數(shù)是關(guān)鍵． 25．北京市初中開放性實踐活動從 2022年 10月底進入正式實施階段．資源單位發(fā)布三種預約方式：自主選課、團體約課、送課到校，可供約 25 萬人次學生學習．截至 2022 年 3 月底，某區(qū)統(tǒng)計了初一學生參加自主選課人次的部分相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制 的統(tǒng)計圖如下： 根據(jù)以上信息解答下列問題： （ 1）直接寫出扇形統(tǒng)計圖中 m的值； （ 2）據(jù) 2022 年 3 月底預約數(shù)據(jù)顯示，該區(qū)初一學生有 12022 人次參加自主選課，而團體約課比自主選課多 8000人次，送課到校是團體約課的 ．請在下圖中用折線統(tǒng)計圖將該區(qū)初一學生自主 第 23 頁（共 56 頁） 選課、團體約課、送課到校人次表示出來； （ 3）根據(jù)上面扇形統(tǒng)計圖的信息，請你為資源單位提一條積極的建議． 【考點】折線統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖． 【分析】（ 1）直接利用扇形統(tǒng)計圖上數(shù)據(jù)得出 m的值； （ 2）直接利用三種預約方式的關(guān)系得出答案； （ 3）利用扇形統(tǒng)計圖中各種課程所占比例進而得出符合題意的答案． 【解答】解：（ 1）由題意可得： m=100﹣ 12﹣ 2﹣ 10﹣ 18﹣ 22﹣ 6=30； （ 2）由題意可得：團體約課的學生有 12022+8000=20220（人）， 送課到校的學生有： 20220 =50000（人）， 如圖所示： ； （ 3）由扇形統(tǒng)計圖可得：資源單位應(yīng)多開設(shè)電子與控制以及結(jié)構(gòu)與機械方面的課程，學生相對比較感興趣，積極的建議即可． 【點評】此題主要考查了折線統(tǒng)計圖以及扇形統(tǒng)計圖等知識，正確利用扇形統(tǒng)計圖獲取正確信息是解題關(guān)鍵． 26．如圖，已知 AB 是 ⊙ O 的直徑，點 P 在 BA 的延長線上， PD 切 ⊙ O 于點 D，過點 B 作 BE⊥ PD，交PD的延長線于點 C，連接 AD 并延長，交 BE 于點 E． （ 1）求證： AB=BE； （ 2）連結(jié) OC，如果 PD=2 ， ∠ ABC=60176。 ，求 OC 的長． 第 24 頁（共 56 頁） 【考點】切線的性質(zhì)． 【分析】（ 1）本題可連接 OD，由 PD 切 ⊙ O于點 D，得到 OD⊥ PD，由于 BE⊥ PC，得到 OD∥ BE，得出∠ ADO=∠ E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代 換可得結(jié)果； （ 2）由（ 1）知， OD∥ BE，得到 ∠ POD=∠ B，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得 DC， OD 的長，再由勾股定理可求出 OC 的長 【解答】（ 1）證明：連接 OD， ∵ PD切 ⊙ O于點 D， ∴ OD⊥ PD， ∵ BE⊥ PC， ∴ OD∥ BE， ∴ ADO=∠ E， ∵ OA=OD， ∴∠ OAD=∠ ADO， ∴∠ OAD=∠ E， ∴ AB=BE； （ 2）解： ∵ OD∥ BE， ∠ ABC=60176。 ， ∴∠ DOP=∠ ABC=60176。 ， ∵ PD⊥ OD， ∴ tan∠ DOP= ， ∴ ， ∴ OD=2， ∴ OP=4， ∴ PB=6， 第 25 頁（共 56 頁） ∴ sin∠ ABC= ， ∴ ， ∴ PC=3 ， ∴ DC= ， ∴ DC2+OD2=OC2， ∴ （ ） 2+22=OC2， ∴ OC= ． 【點評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題． 27．已知二次函數(shù) y=x2+mx+n 的圖象經(jīng)過點 A（ 1， 0）和 D（ 4， 3），與 x 軸的另一個交點為 B，與y 軸交于點 C． （ 1）求二次函數(shù)的表達式及頂點坐標； （ 2）將二次函數(shù) y=x2+mx+n 的圖象在點 B， C 之間的部分（包含點 B， C）記為 圖象 G．已知直線 l：y=kx+b經(jīng)過點 M（ 2， 3），且直線 l總位于圖象的上方，請直接寫出 b的取值范圍； （ 3）如果點 P（ x1， c）和點 Q（ x2， c）在函數(shù) y=x2+mx+n 的圖象上，且 x1＜ x2， PQ=2a．求 x12﹣ ax2+6a+1的值． 第 26 頁（共 56 頁） 【考點】拋物線與 x軸的交點；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】（ 1）利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，然后利用配方法求得頂點坐標； （ 2）求得直線經(jīng)過 C和 B兩種情況求得 b的值，據(jù)此判斷 b的范圍； （ 3）二次函數(shù) y=x2﹣ 4x+3 的對稱軸是直線 x=2，且 x1＜ x2， PQ=2a．則 x1=2﹣ a， x2=2+a，代入即可求解． 【解答】解：（ 1）根據(jù)題意得： ， 解得： ． 故二次函數(shù)的表達式為 y=x2﹣ 4x+3，頂點坐標為（ 2，﹣ 1）； （ 2） y=x2﹣ 4x+3中令 x=0，解得 y=3，則 C的坐標是（ 0， 3）． 當直線 y=kx+b經(jīng)過點 B時， 根據(jù)題意得： ， 解得： ， 則 3＜ b＜ 9； （ 3） ∵ P（ x1， c）和點 Q（ x2， c）在函數(shù) y=x2﹣ 4x+3 的圖象上， ∴ PQ∥ x 軸， ∵ 二次函數(shù) y=x2﹣ 4x+3的對稱軸是直線 x=2， 又 ∵ x1＜ x2， PQ=2a． ∴ x1=2﹣ a， x2=2+a； ∴ x12﹣ 2x2+6a+1=（ 2﹣ a） 2﹣ a（ 2+a） +6a+1=5． 第 27 頁（共 56 頁） 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，理解 P和 Q對稱是關(guān)鍵． 28． △ ABC中， ∠ ABC=45176。 ， AB≠ BC， BE⊥ AC 于點 E， AD⊥ BC于點 D． （ 1）如圖 1，作 ∠ ADB的角平分線 DF 交 BE于點 F，連接 AF．求證： ∠ FAB=∠ FBA； （ 2）如圖 2，連接 DE，點 G與點 D關(guān)于直線 AC對稱，連接 DG、 EG ① 依據(jù)題意補全圖形； ② 用等式表示線段 AE、 BE、 DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． 【考點】三角形綜合題． 【分析】（ 1）欲證明 ∠ FAB=∠ FBA，由 △ ADF≌△ BDF 推出 AF=BF即可解決問題． （ 2） ① 根據(jù)條件畫出圖形即可． ② 數(shù)量關(guān)系是： GD+AE=BE．過點 D作 DH⊥ DE 交 BE于點 H，先證明 △ ADE≌△ BDH，再證明四邊形 GEHD是平行四邊形即可解決問題． 【解答】證明：（ 1）如圖 1中， ∵ AD⊥ BC， ∠ ABC=45176。 ， ∴∠ BAD=45176。 ， ∴ AD=BD， ∵ DF平分 ∠ ADB， ∴∠ 1=∠ 2， 在 △ A