【文章內(nèi)容簡介】 系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用 ， 下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布 ． 設(shè)一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a? ? ? ?的兩實(shí)根為 12,xx，且 12xx? ．令 2()f x ax bx c? ? ?，從以下四個(gè)方面來分析此類問題： ①開口方向： a ②對(duì)稱軸位置： 2bx a?? ③判別式： ? ④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào) ． ① k＜ x1≤ x2 ? xy1x 2x0?aO?abx2??0)( ?kfk xy1x 2xO?abx2??k0?a0)( ?kf ② x1≤ x2＜ k ? 12 xy1x2x0?aO?abx2??k0)( ?kf xy1x 2xO?abx2??k0?a 0)( ?kf ③ x1＜ k＜ x2 ? af(k)＜ 0 0)( ?kfxy1x 2x0?aO?k xy1x 2xO?k0?a0)( ?kf ④ k1＜ x1≤ x2＜ k2 ? xy1x 2x0?aO??1k 2k0)( 1 ?kf 0)(2 ?kfabx2?? xy1x 2xO?0?a1k?2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kfabx2?? ⑤有且僅有一個(gè)根 x1（或 x2）滿足 k1＜ x1（或 x2）＜ k2 ? f(k1)f(k2)? 0， 并同時(shí)考慮 f(k1)=0 或 f(k2)=0這兩種情況是否也符合 xy1x2x0?aO??1k2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kf xy1x 2xO?0?a1k?2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kf ⑥ k1＜ x1＜ k2≤ p1＜ x2＜ p2 ? 此結(jié)論可直接由⑤推出 ． （ 5） 二次函數(shù) 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?在閉區(qū)間 [ , ]pq 上的最值 設(shè) ()fx在區(qū)間 [ , ]pq 上的 最大值為 M ，最小值為 m ，令0 1 ()2x p q??． （Ⅰ）當(dāng) 0a? 時(shí)（開口向上） 13 ①若2b pa??，則 ()m f p? ②若2bpqa?? ?，則 ()2bmf a?? ③若2b qa??，則 ()m f q? ①若02b xa??，則 ()M f q? ②02b xa??，則 ()M f p? (Ⅱ )當(dāng) 0a? 時(shí) (開口向下 ) ①若 2b pa??，則 ()M f p? ②若 2bpqa?? ? ，則 ()2bMf a?? ③若 2b qa??，則 ()M f q? ①若02b xa??，則 ()m f q? ②02b xa??，則 ()m f p? ． 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù) ))(( Dxxfy ?? ，把使 0)( ?xf 成立的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù)))(( Dxxfy ?? 的零點(diǎn)。 x y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?x y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?x y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?x y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?0xx y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?0xx y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?x y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?x y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?0xx y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?x y 0 ? a O a b x 2 ? ? p q f(p) f(q) ()2bf a?0x 14 D C B A α 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)就是方程 0)( ?xf 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即： 方程 0)( ?xf 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) ? 函數(shù) )(xfy? 有零點(diǎn)． 函 數(shù)零點(diǎn)的求法： 求函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)： ○1 （代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實(shí)數(shù)根； ○2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． 二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy ． １）△＞０，方程 02 ??? cbxax 有兩不 等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． ２）△＝０，方程 02 ??? cbxax 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)． ３）△＜０，方程 02 ??? cbxax 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)． 高中數(shù)學(xué) 必修 2 知識(shí)點(diǎn) 第一章 空間幾何體 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 空間幾何體的三視圖和直觀圖 1 三視圖： 正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下 2 畫三視圖的原則： 長對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等 3 直觀圖：斜二測(cè)畫法 4 斜二測(cè)畫法的步驟： （ 1） .平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸； （ 2） .平行于 y 軸的線長度變半，平行于 x， z 軸的線長度不變； （ 3） .畫法要寫好。 5 用斜二測(cè)畫法畫出長方體的步驟：（ 1）畫軸（ 2）畫底面（ 3）畫側(cè)棱（ 4）成圖 空間幾何體的表面積與體積 （一 ）空間幾何體的表面積 1 棱柱、棱錐的表面積： 各個(gè)面面積之和 2 圓柱的表面積 3 圓錐的表面積 2rrlS ?? ?? 4 圓臺(tái)的表面積 22 RRlrrlS ???? ???? 5 球的表面積 24 RS ?? （二）空間幾何體的體積 1 柱體的體積 hSV ?? 底 2 錐體的體積 hSV ??底31 3 臺(tái)體的體積 hSSSSV ???? )31下下上上（ 4 球體的體積 334 RV ?? 第二章 直線與平面的位置關(guān)系 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 222 rrlS ?? ?? 15 P α L β 1 平面含義：平面是無限延展的 2 平面的畫法及表示 （ 1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成 450，且橫邊畫成鄰邊的 2 倍長（如圖） （ 2）平面通常用希 臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三個(gè)公理： （ 1）公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) 符號(hào)表示為 A∈ L B∈ L = L α A∈α B∈α 公理 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi) （ 2）公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 符號(hào)表示為： A、 B、 C三點(diǎn)不共線 = 有且只有一個(gè)平面α， 使 A∈α、 B∈α、 C∈α。 公理 2作用： 確定一個(gè)平面的依據(jù)。 （ 3）公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。 符號(hào)表示為： P∈α∩β =α∩β =L，且 P∈ L 公理 3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù) 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)； 異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。 2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號(hào)表示為：設(shè) a、 b、 c 是三條直線 a∥ b c∥ b 強(qiáng)調(diào)：公理 4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。 公理 4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。 3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 4 注意點(diǎn)： ① a39。與 b39。所成的角的大小只由 a、 b的相互位置來確定，與 O 的選擇無關(guān)，為簡便，點(diǎn) O 一般取在兩直線中的一條上； ② 兩條異面直線所成的角θ∈ (0， )； ③ 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a⊥ b； ④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直 兩種情形； ⑤ 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。 — 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 直線與平面有三種位置關(guān)系： （ 1）直線在平面內(nèi) —— 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) （ 2）直線與平面相交 —— 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) （ 3）直線在平面平行 —— 沒有公共點(diǎn) 指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用 a α來表示 L A α C B A α 共面直線 =a∥ c 2? 16 a α a∩α =A a∥α 、平面平行的判定及其性質(zhì) 直線與平面平行的判定 直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。 符號(hào)表示： a α b β = a∥α a∥ b 平面與平面平行的判定 兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。 符號(hào)表示： a β b β a∩ b = P β∥α a∥α b∥α 判斷兩平面平行的方法有三種： （ 1）用定義； （ 2）判定定理； （ 3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。 — 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì) 定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡記為：線面平行則線線平行。 符號(hào)表示： a∥α a β a∥ b α∩β = b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。 定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 符號(hào)表示： α∥β α∩γ = a a∥ b β∩γ = b 作