【正文】 。 L p α 判定定理： 一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。 符號(hào)表示： α∥β α∩γ = a a∥ b β∩γ = b 作用：可以由平面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行 、平面垂直的判定及其性質(zhì) 直線(xiàn)與平面垂直的判定 定義 17 如果直線(xiàn) L與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn) L 與平面α互相垂直，記作 L⊥α，直線(xiàn) L 叫做平面α的垂線(xiàn)，平面α叫做直線(xiàn) L 的垂面。 符號(hào)表示： a∥α a β a∥ b α∩β = b 作用：利用該定理可解決直線(xiàn)間的平行問(wèn)題。 — 直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì) 定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。 符號(hào)表示： a α b β = a∥α a∥ b 平面與平面平行的判定 兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。 α 共面直線(xiàn) =a∥ c 2? 16 a α a∩α =A a∥α 、平面平行的判定及其性質(zhì) 直線(xiàn)與平面平行的判定 直線(xiàn)與平面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。 B — 空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系： （ 1）直線(xiàn)在平面內(nèi) —— 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) （ 2）直線(xiàn)與平面相交 —— 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) （ 3）直線(xiàn)在平面平行 —— 沒(méi)有公共點(diǎn) 指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用 a α來(lái)表示 L A 與 b39。 公理 4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。 2 公理 4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。 （ 3）公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。 符號(hào)表示為： A、 B、 C三點(diǎn)不共線(xiàn) = 有且只有一個(gè)平面α， 使 A∈α、 B∈α、 C∈α。 α L β 1 平面含義：平面是無(wú)限延展的 2 平面的畫(huà)法及表示 （ 1）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成 450，且橫邊畫(huà)成鄰邊的 2 倍長(zhǎng)（如圖） （ 2）平面通常用希 臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。即： 方程 0)( ?xf 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) ? 函數(shù) )(xfy? 有零點(diǎn)． 函 數(shù)零點(diǎn)的求法： 求函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)： ○1 （代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實(shí)數(shù)根； ○2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． 二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy ． １）△＞０，方程 02 ??? cbxax 有兩不 等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． ２）△＝０，方程 02 ??? cbxax 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)． ３）△＜０，方程 02 ??? cbxax 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)． 高中數(shù)學(xué) 必修 2 知識(shí)點(diǎn) 第一章 空間幾何體 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 空間幾何體的三視圖和直觀圖 1 三視圖： 正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下 2 畫(huà)三視圖的原則： 長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等 3 直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法 4 斜二測(cè)畫(huà)法的步驟： （ 1） .平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)依然平行于坐標(biāo)軸； （ 2） .平行于 y 軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于 x， z 軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變； （ 3） .畫(huà)法要寫(xiě)好。( , )Pba 在反函數(shù) 1()y f x?? 的圖象上． ④一般地，函數(shù) ()y f x? 要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù) ． 〖 〗冪函數(shù) （ 1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù) yx?? 叫做 冪函數(shù)，其中 x 為自變量， ? 是常數(shù) ． 10 （ 2）冪函數(shù)的圖象 （ 3） 冪函數(shù)的性質(zhì) ① 圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象 ． 冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限 (圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng) )；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限 (圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) )；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限 ． ②過(guò)定點(diǎn)：所有的 冪函數(shù)在 (0, )?? 都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn) (1,1) ． ③ 單調(diào)性：如果 0?? ，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在 [0, )?? 上為增函數(shù)． 如果 0?? ，則冪函數(shù)的圖象在 (0, )??上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近 x 軸與 y 軸． ④ 奇偶性：當(dāng) ? 為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng) ? 為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng) qp??（其中 ,pq互質(zhì)， p 和qZ? ）， 若 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)，則 qpyx? 是奇函數(shù)，若 p 為奇數(shù) q 為偶數(shù)時(shí)，則 qpyx? 是偶函數(shù)， 若 p 為偶數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)，則 qpyx? 是非奇非偶函數(shù)． ⑤圖象特征： 冪函數(shù) , (0, )y x x?? ? ??，當(dāng) 1?? 時(shí)，若 01x??，其圖象 在直線(xiàn) yx? 下方，若 1x? ，其圖象在直線(xiàn) yx? 上方，當(dāng) 1?? 時(shí)，若 01x??，其圖象在直線(xiàn) yx? 上方，若 1x? ，其圖象在直線(xiàn) yx? 下方． 〖補(bǔ)充知識(shí) 〗二次函數(shù) （ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式： 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?②頂點(diǎn)式： 2( ) ( ) ( 0 )f x a x h k a? ? ? ?③兩根式： 11 12( ) ( ) ( ) ( 0 )f x a x x x x a? ? ? ?（ 2）求二次函數(shù)解析式的方法 ①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式 ． ②已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式 ． ③若已知拋物線(xiàn)與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線(xiàn)坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求 ()fx更方便 ． （ 3） 二次函數(shù)圖象的性質(zhì) ①二次函數(shù) 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?的圖象是一條拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程為 ,2bx a??頂點(diǎn)坐標(biāo)是24( , )24b ac baa?? ． ② 當(dāng) 0a? 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，函數(shù)在 ( , ]2ba???上遞減，在 [ , )2ba? ??上遞增，當(dāng)2bx a??時(shí)，2m in 4() 4ac bfx a??； 當(dāng) 0a? 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)在 ( , ]2ba??? 上遞增，在 [ , )2ba? ?? 上遞減，當(dāng)2bx a?? 時(shí)， 2m ax 4() 4ac bfx a?? ． ③二次函數(shù) 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?當(dāng) 2 40b ac? ? ? ?時(shí)，圖 象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)1 1 2 2 1 2 1 2( , 0 ) , ( , 0 ) , | | | | ||M x M x M M x x a?? ? ?． （ 4）一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a? ? ? ?根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容 ， 這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用 ， 下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布 ． 設(shè)一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a? ? ? ?的兩實(shí)根為 12,xx，且 12xx? ．令 2()f x ax bx c? ? ?，從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題： ①開(kāi)口方向： a ②對(duì)稱(chēng)軸位置： 2bx a?? ③判別式： ? ④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào) ． ① k＜ x1≤ x2 ? xy1x 2x0?aO?abx2??0)( ?kfk xy1x 2xO?abx2??k0?a0)( ?kf ② x1≤ x2＜ k ? 12 xy1x2x0?aO?abx2??k0)( ?kf xy1x 2xO?abx2??k0?a 0)( ?kf ③ x1＜ k＜ x2 ? af(k)＜ 0 0)( ?kfxy1x 2x0?aO?k xy1x 2xO?k0?a0)( ?kf ④ k1＜ x1≤ x2＜ k2 ? xy1x 2x0?aO??1k 2k0)( 1 ?kf 0)(2 ?kfabx2?? xy1x 2xO?0?a1k?2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kfabx2?? ⑤有且僅有一個(gè)根 x1（或 x2）滿(mǎn)足 k1＜ x1（或 x2）＜ k2 ? f(k1)f(k2)? 0， 并同時(shí)考慮 f(k1)=0 或 f(k2)=0這兩種情況是否也符合 xy1x2x0?aO??1k2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kf xy1x 2xO?0?a1k?2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kf ⑥ k1＜ x1＜ k2≤ p1＜ x2＜ p2 ? 此結(jié)論可直接由⑤推出 ． （ 5） 二次函數(shù) 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?在閉區(qū)間 [ , ]pq 上的最值 設(shè) ()fx在區(qū)間 [ , ]pq 上的 最大值為 M ，最小值為 m ，令0 1 ()2x p q??． （Ⅰ）當(dāng) 0a? 時(shí)（開(kāi)口向上） 13 ①若2b pa??，則 ()m f p? ②若2bpqa?? ?，則 ()2bmf a?? ③若2b qa??，則 ()m f q? ①若02b xa??，則 ()M f q? ②02b xa??，則 ()M f p? (Ⅱ )當(dāng) 0a? 時(shí) (開(kāi)口向下 ) ①若 2b pa??，則 ()M f p? ②若 2bpqa?? ? ，則 ()2bMf a?? ③若 2b qa??，則 ()M f q? ①若02b xa??，則 ()m f q? ②02b xa??，則 ()m f p? ． 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù) ))(( Dxxfy ?? ，把使 0)( ?xf 成立的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù)))(( Dxxfy ?? 的零點(diǎn)。 2 ()UA A U?240。 1 高中數(shù)學(xué) 必修 1 知識(shí)點(diǎn) 第一章 集合與函數(shù)概念 〖 〗集合 【 】集合的含義與表示 （ 1）集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性 .