【正文】 L p α 判定定理： 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 符號表示： α∥β α∩γ = a a∥ b β∩γ = b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 、平面垂直的判定及其性質 直線與平面垂直的判定 定義 17 如果直線 L 與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L與平面α互相垂直，記作 L⊥α，直線 L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線 L的垂面。 符號表示： a∥α a β a∥ b α∩β = b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。 — 直線與平面、平面與平面平行的性質 定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 符號表示： a α b β = a∥α a∥ b 平面與平面平行的判定 兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。 α 共面直線 =a∥ c 2? 16 a α a∩α =A a∥α 、平面平行的判定及其性質 直線與平面平行的判定 直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 B — 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系 直線與平面有三種位置關系： （ 1）直線在平面內 —— 有無數(shù)個公共點 （ 2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點 （ 3）直線在平面平行 —— 沒有公共點 指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用 a α來表示 L A 與 b39。 公理 4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。 2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 （ 3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。 符號表示為： A、 B、 C三點不共線 = 有且只有一個平面α， 使 A∈α、 B∈α、 C∈α。 α L β 1 平面含義：平面是無限延展的 2 平面的畫法及表示 （ 1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成 450，且橫邊畫成鄰邊的 2 倍長（如圖） （ 2）平面通常用希 臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。即： 方程 0)( ?xf 有實數(shù)根 ? 函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸有交點 ? 函數(shù) )(xfy? 有零點． 函 數(shù)零點的求法： 求函數(shù) )(xfy? 的零點： ○ 1 （代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實數(shù)根； ○ 2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點． 二次函數(shù)的零點： 二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy ． １）△＞０，方程 02 ??? cbxax 有兩不 等實根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點． ２）△＝０，方程 02 ??? cbxax 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點． ３）△＜０，方程 02 ??? cbxax 無實根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無交點，二次函數(shù)無零點． 高中數(shù)學 必修 2 知識點 第一章 空間幾何體 柱、錐、臺、球的結構特征 空間幾何體的三視圖和直觀圖 1 三視圖： 正視圖：從前往后 側視圖：從左往右 俯視圖：從上往下 2 畫三視圖的原則： 長對齊、高對齊、寬相等 3 直觀圖：斜二測畫法 4 斜二測畫法的步驟： （ 1） .平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸； （ 2） .平行于 y 軸的線長度變半，平行于 x， z 軸的線長度不變； （ 3） .畫法要寫好。( , )Pba 在反函數(shù) 1()y f x?? 的圖象上． ④一般地，函數(shù) ()y f x? 要有反函數(shù)則它必須為單調函數(shù) ． 〖 〗冪函數(shù) （ 1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù) yx?? 叫做 冪函數(shù)，其中 x 為自變量， ? 是常數(shù) ． 10 （ 2）冪函數(shù)的圖象 （ 3） 冪函數(shù)的性質 ① 圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象 ． 冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限 (圖象關于 y 軸對稱 )；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限 (圖象關于原點對稱 )；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 ． ②過定點：所有的 冪函數(shù)在 (0, )?? 都有定義，并且圖象都通過點 (1,1) ． ③ 單調性：如果 0?? ，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在 [0, )?? 上為增函數(shù)． 如果 0?? ，則冪函數(shù)的圖象在 (0, )??上為減函數(shù)，在第一象限內，圖象無限接近 x 軸與 y 軸． ④ 奇偶性：當 ? 為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當 ? 為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當 qp??（其中 ,pq互質， p 和qZ? ）， 若 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時，則 qpyx? 是奇函數(shù)，若 p 為奇數(shù) q 為偶數(shù)時，則 qpyx? 是偶函數(shù)， 若 p 為偶數(shù) q 為奇數(shù)時，則 qpyx? 是非奇非偶函數(shù)． ⑤圖象特征： 冪函數(shù) , (0 , )y x x?? ? ??，當 1?? 時，若 01x??，其圖象 在直線 yx? 下方，若 1x? ，其圖象在直線 yx? 上方，當 1?? 時，若 01x??，其圖象在直線 yx? 上方，若 1x? ，其圖象在直線 yx? 下方． 〖補充知識 〗二次函數(shù) （ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式： 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?②頂點式： 2( ) ( ) ( 0 )f x a x h k a? ? ? ?③兩根式： 11 12( ) ( ) ( ) ( 0 )f x a x x x x a? ? ? ?（ 2）求二次函數(shù)解析式的方法 ①已知三個點坐標時，宜用一般式 ． ②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式 ． ③若已知拋物線與 x 軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求 ()fx更方便 ． （ 3） 二次函數(shù)圖象的性質 ①二次函數(shù) 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為 ,2bx a??頂點坐標是24( , )24b ac baa?? ． ② 當 0a? 時，拋物線開口向上，函數(shù)在 ( , ]2ba???上遞減，在 [ , )2ba? ??上遞增，當2bx a??時，2m in 4() 4ac bfx a??； 當 0a? 時，拋物線開口向下，函數(shù)在 ( , ]2ba??? 上遞增，在 [ , )2ba? ?? 上遞減，當2bx a?? 時， 2m ax 4() 4ac bfx a?? ． ③二次函數(shù) 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?當 2 40b ac? ? ? ?時，圖 象與 x 軸有兩個交點1 1 2 2 1 2 1 2( , 0 ) , ( , 0 ) , | | | | ||M x M x M M x x a?? ? ?． （ 4）一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a? ? ? ?根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內容 ， 這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的運用 ， 下面結合二次函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布 ． 設一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a? ? ? ?的兩實根為 12,xx，且 12xx? ．令 2()f x ax bx c? ? ?，從以下四個方面來分析此類問題： ①開口方向： a ②對稱軸位置： 2bx a?? ③判別式： ? ④端點函數(shù)值符號 ． ① k＜ x1≤ x2 ? xy1x 2x0?aO?abx2??0)( ?kfk xy1x 2xO?abx2??k0?a0)( ?kf ② x1≤ x2＜ k ? 12 xy1x2x0?aO?abx2??k0)( ?kf xy1x 2xO?abx2??k0?a 0)( ?kf ③ x1＜ k＜ x2 ? af(k)＜ 0 0)( ?kfxy1x 2x0?aO?k xy1x 2xO?k0?a0)( ?kf ④ k1＜ x1≤ x2＜ k2 ? xy1x 2x0?aO??1k 2k0)( 1 ?kf 0)(2 ?kfabx2?? xy1x 2xO?0?a1k?2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kfabx2?? ⑤有且僅有一個根 x1（或 x2）滿足 k1＜ x1（或 x2）＜ k2 ? f(k1)f(k2)? 0， 并同時考慮 f(k1)=0 或 f(k2)=0這兩種情況是否也符合 xy1x2x0?aO??1k2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kf xy1x 2xO?0?a1k?2k0)( 1 ?kf0)( 2 ?kf ⑥ k1＜ x1＜ k2≤ p1＜ x2＜ p2 ? 此結論可直接由⑤推出 ． （ 5） 二次函數(shù) 2( ) ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?在閉區(qū)間 [ , ]pq 上的最值 設 ()fx在區(qū)間 [ , ]pq 上的 最大值為 M ，最小值為 m ，令0 1 ()2x p q??． （Ⅰ）當 0a? 時（開口向上） 13 ①若2b pa??，則 ()m f p? ②若2bpqa?? ?，則 ()2bmf a?? ③若2b qa??，則 ()m f q? ①若02b xa??，則 ()M f q? ②02b xa??，則 ()M f p? (Ⅱ )當 0a? 時 (開口向下 ) ①若 2b pa??，則 ()M f p? ②若 2bpqa?? ? ，則 ()2bMf a?? ③若 2b qa??，則 ()M f q? ①若02b xa??，則 ()m f q? ②02b xa??，則 ()m f p? ． 第三章 函數(shù)的應用 一、方程的根與函數(shù)的零點 1 、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù) ))(( Dxxfy ?? ，把使 0)( ?xf 成立的實數(shù) x 叫做函數(shù)))(( Dxxfy ?? 的零點。 2 ()UA A U?240。 1 高中數(shù)學 必修 1 知識點 第一章 集合與函數(shù)概念 〖 〗集合 【 】集合的含義與表示 （ 1）集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性 .