【正文】 a∥α 、平面平行的判定及其性質(zhì) 直線與平面平行的判定 直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 — 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì) 定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 符號表示： α∥β α∩γ = a a∥ b β∩γ = b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 、平面垂直的判定及其性質(zhì) 直線與平面垂直的判定 定義 17 如果直線 L 與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L與平面α互相垂直，記作 L⊥α，直線 L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線 L的垂面。 平面與平面垂直的判定 二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形 A 梭 l β B α 二面角的記法：二面角α lβ或α ABβ 兩個平面互相垂直的判定定理： 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。 . 傾斜角α的取值范圍： 0176。 )的正切值叫做這條直線的斜率 ,斜率常用小寫字母 k表示 ,也就是 k = tanα ?當(dāng)直線 l與 x軸平行或重合時 , α =0176。 , k 不存在 . 由此可知 , 一條 直線 l的傾斜角α一定存在 ,但是斜率 k 不一定存在 . 直線的斜率公式 : 給定兩點 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2,用兩點的坐標(biāo)來表示直線 P1P2 的斜率： 斜率公式 : k=y2y1/x2x1 兩條直線的平行與垂直 兩條直線 都 有斜率 而 且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等， 那么 它們平行，即 注意 : 上面的等價是在兩 條 直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不 成 立．即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥ L2 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直， 那么 它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)， 那么 它們互相垂直，即 直線的點斜式方程 直線的 點斜式 方程：直線 l 經(jīng)過點 ),( 000 yxP ，且斜率為 k )( 00 xxkyy ??? 直線的 斜截式 方程：已知直線 l 的斜率為 k ，且與 y 軸的交點為 ),0( b bkxy ?? 直線的兩點式方程 直線的兩點式方程：已知兩點 ),(),( 222211 yxPxxP 其中 ),( 2121 yyxx ?? yy1/yy2=xx1/xx2 直線的截距式方程：已知直線 l 與 x 軸的交點為 A )0,(a ，與 y 軸的交點為 B ),0( b ，其中 0,0 ?? ba 直線的一般式方程 直線的一般式方程：關(guān)于 yx, 的二元一次方程 0??? CByAx （ A， B 不同時為 0） 各種直線方程之間的互化。RPQOyzxMP1P2NM1N2N1M2H 21 高中數(shù)學(xué) 必修 3 知識點 第一章 算法初步 算法的概念 算法概念： 在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的， 而且能夠在有限步之內(nèi)完成 . 2. 算法的特點 : (1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的 . (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可 . (3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題 . (4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法 . (5)普遍性 ：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決 . 程序框圖 程序框圖基本概念： （一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。 處理框 賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。 除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個 22 進入點和一個退出點。 （ 三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。 條件結(jié)構(gòu)： 條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷 根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。 循環(huán)結(jié)構(gòu)： 在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。 輸入、輸出語句和賦值語句 輸入語句 （ 1）輸入語句的一般格式 （ 2）輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；（ 3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息， 變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（ 4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；（ 5）提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。 注意： ①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。③不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。 圖形計算器格式 INPUT“提示內(nèi)容”；變量 INPUT “提示內(nèi)容”，變量 PRINT“提示內(nèi)容”；表達式 圖形計算器格式 Disp “提示內(nèi)容”，變量 變量＝表達式 圖形計算器格式 表達式 ?變量 IF 條件 THEN 語句 1 ELSE 語句 2 END IF 否 是 滿足條件？ 語句 1 語句 2 24 圖 1 圖 2 分析：在 IF— THEN— ELSE 語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句 1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句 2”表示不滿 足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容； END IF 表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時首 先對 IF 后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行 THEN 后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。 WHILE語句 （ 1） WHILE 語句的一般格式是 對應(yīng)的程序框圖是 （ 2） 當(dāng)計算機遇到 WHILE 語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就 執(zhí)行 WHILE 與 WEND 之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復(fù)進行，直到某一次條件不符合為止。 分析： 當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納） （ 1） 當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷； 在 WHILE 語句中，是當(dāng)條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在 UNTIL 語句中，是當(dāng)條件不滿足時執(zhí)行循環(huán) 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù) 輾轉(zhuǎn)相除法。 翻譯為：（ 1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。 例 2 用更相減損術(shù)求 98與 63的最大公約數(shù) . 分析：（略） 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別： （ 1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為 n，即可稱 n進位制，簡稱 n進制。 一般地，若 k是一個大于一的整數(shù)，那么以 k為基數(shù)的 k 進制可以表示為： 1 1 0 ( ) 1 1 0. . . ( 0 , 0 , . . . , , )n n k n na a a a a k a a a k??? ? ? ?， 而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示 ,如 111001(2)表示二進制數(shù) ,34(5)表示 5進制數(shù) 第二章 統(tǒng)計 簡單隨機抽樣 1． 總體和樣本 在統(tǒng)計學(xué)中 , 把研究對象的全體叫做總體． 把每個研究對象叫做個體． 把總體中個體的總數(shù)叫做總 體容量． 為了研究總體 的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分： ， ， ， 研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量． 2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。 5．隨機數(shù) 表法： 例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取 10 位同學(xué)參加某項活動。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。 在簡單隨機抽樣的樣本容量設(shè)計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。 兩種排序方法 ： 直接插入排序和冒泡排序 直接插入排序 基本思想： 插入排序的思想就是讀一個，排一個 。（ 2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。 更相減損術(shù) 我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。因此，當(dāng)型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計語言中也有當(dāng)型（ WHILE 型）和直到型（ UNTIL 型）兩種語句結(jié)構(gòu)。 IF— THEN 語句 IF— THEN 語句的一般格式為圖 3，對應(yīng)的程序框圖為圖 4。 1． 2． 2 條件語句 條件語句的一般格式有兩種：（ 1） IF— THEN— ELSE 語句；（ 2） IF— THEN 語句。②賦值號左右不能對換。 賦值語句 （ 1）賦值語句的一般格式 （ 2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量 ；（ 3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。 （ 2）、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行 A 框，直到某一次給定的條件 P 成立為止，此時不再執(zhí)行 A 框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。無論 P 條件是否成立，只能執(zhí)行 A框或 B 框之一，不可能同時執(zhí)行 A框和B 框，也不可能 A框、 B框都不執(zhí)行。 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而 下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。 判斷框分兩大類 ，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。 學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下： 使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。 （二）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用 程序框 名稱 功能 起止框 表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。 圓與圓的位置關(guān)系 用 點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系． 設(shè)直線 l ： 0??? cbyax ，圓 C ： 022 ????? FEyDxyx ，圓的半徑為 r ，圓心 )2,2( ED ??到直線的距離為 d ，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點： （ 1）當(dāng) rd? 時 ，直線 l 與圓 C 相離；（ 2）當(dāng) rd? 時，直線 l 與圓 C 相切； 20 （ 3）當(dāng) rd? 時，直線 l 與圓 C 相交； 圓與圓的位置關(guān)系 兩圓的位置關(guān)系． 設(shè)兩圓的連心線長為 l ，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點： （ 1）當(dāng) 21 rrl ?? 時，圓 1C 與圓 2C 相離；（ 2）當(dāng) 21 rrl ?? 時，圓 1C 與圓 2C 外切； （ 3）當(dāng) ?? || 21 rr 21 rrl ?? 時，圓 1C 與圓 2C 相交； （ 4）當(dāng) || 21 rrl ?? 時，圓 1C 與圓 2C 內(nèi)切；（ 5）當(dāng) || 21 rrl ?? 時，圓 1C 與圓 2C 內(nèi)含； 直線與圓的方程的應(yīng)用 利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置