【正文】 置來(lái)確定，與 O 的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn) O 一般取在兩直線中的一條上； ② 兩條異面直線所成的角θ∈ (0， )； ③ 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作 a⊥ b； ④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直 兩種情形； ⑤ 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。 α C A 簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。 符號(hào)表示： a β b β a∩ b = P β∥α a∥α b∥α 判斷兩平面平行的方法有三種： （ 1）用定義； （ 2）判定定理； （ 3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。 簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。 定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。如圖，直線與平面垂直時(shí) ,它們唯一公共點(diǎn) P 叫做垂足。 注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視； b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 — 直線與平面 、 平面與平面垂直的性質(zhì) 定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。 本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖 第三章 直線與方程 直線的傾斜角和斜率 傾斜角和斜率 直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線 l 與 x 軸相交時(shí) , 取 x軸作為基準(zhǔn) , x 軸正向與直線 l向上方向之間所成的角α叫做直平面（公理 公理 公理 公理 4） 空間直線、平面的位置關(guān)系 平面與平面的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系 18 線 l 的傾斜角 .特別地 ,當(dāng)直線 l與 x軸平行或重合時(shí) , 規(guī)定α = 0176?！堞粒?180176。 . 直線的斜率 : 一條直線的傾斜角α (α≠ 90176。 , k = tan0176。 ?當(dāng)直線 l與 x軸垂直時(shí) , α = 90176。 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo) L1 ： 3x+4y2=0 L1： 2x+y +2=0 解：解方程組 3 4 2 02 2 2 0xyxy? ? ??? ? ? ?? 得 x=2， y=2 19 ? ? ? ?221 2 2 2 2 1P P x x y y? ? ? ?所以 L1 與 L2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 M（ 2， 2） 兩點(diǎn)間距離 兩點(diǎn)間的距離公式 點(diǎn)到直線的距離公式 1．點(diǎn)到直線距離公式： 點(diǎn) ),( 00 yxP 到直線 0: ??? CByAxl 的距離為：2200 BA CByAxd ? ??? 兩平行線間的距離公式： 行線直線 1l 和 2l 的一般式方程為 1l ： 01 ??? CByAx ， 已知兩條平 2l 02 ??? CByAx ，則 1l 與 2l 的距離為 22 21 BA CCd ??? 第四章 圓與方程 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ? 圓心為 A(a,b),半徑為 r 的圓的方程 點(diǎn) 00( , )M x y 與圓 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ?的關(guān)系的判斷方法： （ 1） 2200( ) ( )x a y b? ? ? 2r ，點(diǎn)在圓外 （ 2） 2200( ) ( )x a y b? ? ?= 2r ，點(diǎn)在圓上 （ 3） 2200( ) ( )x a y b? ? ? 2r ，點(diǎn)在圓內(nèi) 圓的一般方程 圓的一般方程： 022 ????? FEyDxyx 圓的一般方程的特點(diǎn)： (1)①x2 和 y2 的系數(shù)相同，不等于 0． ② 沒(méi)有 xy這樣的二次項(xiàng)． (2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù) D、 E、 F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了． (3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。 空間兩點(diǎn)間的距離公式 空間中任意一點(diǎn) ),( 1111 zyxP 到點(diǎn) ),( 2222 zyxP 之間的距離公式 22122122121 )()()( zzyyxxPP ?????? O yxMM39。 一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說(shuō)明。 輸入、輸出框 表示一個(gè)算法輸入和輸出的 信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。 判斷框 判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是”或“ Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“ N”。 框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。判斷框具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。 在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。 順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行 的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結(jié)構(gòu)。如在示意圖中， A 框和 B 框是依次執(zhí)行的 ，只有在執(zhí)行完 A 框指定的操作后，才能接著執(zhí) 行 B 框所指定的操作。 條件 P是否成立而選擇執(zhí)行 A 框或 B框。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。循環(huán)結(jié)構(gòu)又 稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類： （ 1）、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件 P 成立時(shí)，執(zhí)行 A 框， A 框執(zhí)行完畢后，再判斷條件 P 是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行 A 框，如此反復(fù)執(zhí)行 A 框，直到某一次條件 P 不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行 A框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) A B A 成立 不成立 P 不成立 P 成立 A 23 注意： 1 循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來(lái)判斷。 2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。 輸出語(yǔ)句 （ 1）輸出語(yǔ)句的一般格式 （ 2）輸出語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（ 3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（ 4）輸出語(yǔ)句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量；（ 4）賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；（ 5）對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。如： 2=X 是錯(cuò)誤的。如“ A=B”“ B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。（如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等）④賦值號(hào)“ =”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。 IF— THEN— ELSE語(yǔ)句 IF— THEN— ELSE 語(yǔ)句的一般格式為圖 1，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖 2。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì) IF 后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行 THEN 后面的語(yǔ)句 1；若條件不符合，則執(zhí)行 ELSE 后面的語(yǔ)句 2。 注意： “條件”表示判斷的條件；“語(yǔ)句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時(shí)，結(jié)束程序； END IF 表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。 1． 2． 3 循環(huán)語(yǔ)句 循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的。即 WHILE 語(yǔ)句和 UNTIL 語(yǔ)句。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到 WEND 語(yǔ)句后，接著執(zhí)行 WEND 之后的語(yǔ)句。 UNTIL語(yǔ)句 （ 1） UNTIL 語(yǔ)句的一般格式是 對(duì)應(yīng)的程序框圖是 IF 條件 THEN 語(yǔ)句 END IF （圖 3） 滿足條件？ 語(yǔ)句 是 否 （圖 4） WHILE 條件 循環(huán)體 WEND 滿足條件？ 循環(huán)體 否 是 滿足條件？ 循環(huán)體 是 否 DO 循環(huán)體 LOOP UNTIL 條件 25 （ 2） 直到型循環(huán)又稱為“后測(cè)試型”循環(huán)，從 UNTIL 型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語(yǔ)句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿 足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到 LOOP UNTIL 語(yǔ)句后執(zhí)行其他語(yǔ)句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語(yǔ)句。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下： （ 1）：用較大的數(shù) m 除以較小的數(shù) n得到一個(gè)商 0S 和一個(gè)余數(shù) 0R ；（ 2）：若 0R ＝ 0，則 n 為 m， n的最大公約數(shù)；若 0R≠ 0，則用除數(shù) n除以余數(shù) 0R 得到一個(gè)商 1S 和一個(gè)余數(shù) 1R ；（ 3）： 若 1R ＝ 0，則 1R 為 m， n的最大公約數(shù)；若 1R ≠ 0，則用除數(shù) 0R 除以余數(shù) 1R 得到一個(gè)商 2S 和一個(gè)余數(shù) 2R ； ?? 依次計(jì)算直至 nR ＝ 0，此時(shí)所得到的 1nR? 即為所求的最大公約數(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。若是，用 2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。繼續(xù)這個(gè)操作，直到 所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。 （ 2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為 0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到 秦九韶算法與排序 秦九韶算法概念： f(x)=anxn+an1xn1+….+ a1x+a0 求值問(wèn)題 f(x)=anxn+an1xn1+….+ a1x+a0=( anxn1+an1xn2+….+ a1)x+a0 =(( anxn2+an1xn3+….+ a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an1)x+an2)x+...+a1)x+a0 求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即 v1=anx+an1 然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即 v2=v1x+an2 v3=v2x+an3 ...... vn=vn1x+a0 26 這樣，把 n 次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求 n 個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問(wèn)題。將第１個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡(jiǎn)單，可以舉例說(shuō)明） 冒泡排序 基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù) ,把大的放前面 ,小的放后面 .即首先比較第 1 個(gè)數(shù)和第 2個(gè)數(shù) ,大數(shù)放前 ,小數(shù)放后 .然后比較第 2個(gè)數(shù)和第 3個(gè)數(shù) ......直到比較最后兩個(gè)數(shù) .第一趟結(jié)束 ,最小的一定沉到最后 .重復(fù)上過(guò)程 ,仍從第 1個(gè)數(shù)開(kāi)始 ,到最后第 2 個(gè)數(shù) ...... 由于在排序過(guò)程中總是大數(shù)往前 ,小數(shù)往后 ,相當(dāng)氣泡上升 ,所以叫冒泡排序 . 進(jìn)位制 概念：進(jìn)位制 是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用 10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字 09進(jìn)行記數(shù)。比如 ：十進(jìn)數(shù) 57，可以用二進(jìn)制表示為 111001，也可以用八進(jìn)制表示為 7用十六進(jìn)制表示為 39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨 機(jī)地抽取調(diào)查單位。簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。 3．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法： 27 （ 1）抽簽法；?隨機(jī)數(shù)表法；?計(jì)算機(jī)模擬法；?使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。 4．抽簽法 : （ 1）給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)； （ 2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽 （ 3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查 例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。 系統(tǒng)抽樣 1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）： 把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。 K（抽樣距離） =N（總體規(guī)模） /n（樣本規(guī)模） 前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來(lái)說(shuō)，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分