【文章內(nèi)容簡介】 0x ，這時 i = 0，故得 0xiBlLx ??? (8’) 或 ? ?0xxLBli ??? (9’) 0x 表示 t＝ ?時刻金屬桿 ab 相對于 cd 桿 的位置． x? 表示在任意時刻 t 時 ab 桿 相對于 cd桿 的位置，故 ? ?0xx?? 就是 桿 ab 在 t 時刻相對于 cd 桿的相對位置相對于它們在 t＝ ?時刻的相對位置的位移，即 從 t＝ ?到 t＝ t 時間內(nèi) ab 桿 相對于 cd 桿的位移 0xxX ??? (1039。) 于是有 XLBli? (11’) 任意時刻 t， ab 桿和 cd 桿因受安培力作用而分別有加速度 aab 和 acd，由牛頓定律有 abmaiBl ?? (12’) cdmaiBl? (13’) 兩式相減并注意到 (9? )式得 ? ? XL lBi B laam 22cdab 22 ????? (14’) 式中 ? ?cdab aa ? 為金屬桿 ab 相對于 cd 桿的加速度，而 X 是 ab 桿相對 cd 桿相對位置的位“高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 13 頁 移． LlB 222 是常數(shù)，表明這個相對運動是簡諧振動，它的振動的周期 ? ?LlB mT 222π2? (15’) 在任意時刻 t， ab 桿相對 cd 桿相對位置相對它們初始位置的位移 ?????? ?? ?tTAX π2cos (16’) A 為簡諧振動的振幅， ??為初相位，都是待定的常量．通過參考圓可求得 X 隨時間的變化率即速度 ?????? ???????? ?TTAV π2s inπ2 (17’) 現(xiàn)已知在 t＝ 0 時刻，桿位于初始位置，即 X = 0，速度 0v?V 故有 ?cos0 A? ?sinπ20 ???????? TAv 解這兩式，并注意到 (15’) 式得 2π3?? 2π2 00 mLBlTA vv ?? 由此得 tmLBlmLBltTmLBlX ??????????????? ?? 2s i n22π3π2c os2 00 vv (18’) 因 t = 0 時刻， cd 桿位于 x = 0 處， ab 桿位于 x = x0 處，兩者的相對位置由 x0 表示；設 t 時刻， cd 桿位于 x = xcd 處， ab 桿位于 x = xab 處，兩者的相對位置由 xab－ xcd 表示，故兩桿的相對位置的位移又可表示為 X = xab－ xcd－ x0 (19’) 所以 tmLBlmLBlxxx ??????????? 2s i n200cdab v (20’) (12’)和 (13’)式相加 , ? ? 0cdab ????? iB liB laam 得 “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 14 頁 ? ? 0cdab ??aa 由此可知，兩桿速度之和為一常數(shù)即 v0，所以兩桿的位置 xab 和 xcd 之和應為 xab＋ xcd = x0＋ v0t (21’) 由 (20’)和 (21’)式相加和相減，注意到 (15’)式，得 tmLBlmLBltxx ??????????? 2s i n2221 000ab vv （ 22’） tmLBlmLBltx ?????????? 2s i n2221 00cd vv （ 23’） 由 (11’)、（ 19’） (22’)、 (23’)式得回路中電流 tmLBlLmi ????????? 2s in20v （ 24’） 評分標準： 本題 25 分． 解法Ⅰ 求得 (16)式 8 分， (17)、 (18)、 (19)三式各 2 分． (23)式 4 分， (24)、 (25)二式各 2 分， (26)、 (27)、 (28)三式各 1 分． 解法Ⅱ的評分可參照解法Ⅰ評分標準中的相應式子給分． 本卷共七題，滿分 140 分 . 一、 (20 分 )薄膜材料氣密性能的優(yōu)劣常用其透氣系數(shù)來加以評判．對于均勻薄膜材料，在一定溫度下，某種氣體通過薄膜滲透過的氣體分子數(shù)dPStkN ??，其中 t 為 滲透持續(xù)時間， S 為 薄膜的面積， d 為 薄膜的厚度， P? 為 薄膜兩側(cè)氣體的壓強差． k 稱為該薄膜材料在該溫度下對該氣體的 透氣系數(shù)．透氣系數(shù)愈小，材料的氣密性能愈好． 圖為測定薄膜材料對空氣的透氣系數(shù)的一種實驗裝置示意圖． EFGI 為滲透室， U 形管左管上端與滲透室相通，右管上端封閉； U 形管內(nèi)橫截面積 A＝ ．實驗中，首先測得薄膜的厚度 d =，再將薄膜固定于圖中 C? 處，從而把滲透室分為上下兩部分，上面部分的容積 30 ?V ，下面部分連同 U形管左管水面以上部分的總?cè)莘e為 V1，薄膜能夠透氣的面積 S =．打開開關 K K2 與大氣相通，大氣的壓強 P1＝ ，此時 U 形管右管中氣柱長度 ?H ， 31 ?V ．關閉 K K2 后，打開開關 K3，對滲透室上部分迅速充氣至氣體壓強 ?P ，關閉 K3 并開始計時．兩小時后， U 形管左管中的水面高度下降了 ??H ．實驗過程中，始終保持溫度為 C0? ．求該薄膜材料在 C0? 時對空氣的透氣系數(shù)．（本實驗中由于薄膜兩側(cè)的壓強差在實驗過程中不能保持第 21 屆全國中學生物理競賽復賽題試卷 題號 一 二 三 四 五 六 七 總分 得分 閱卷人 K3 K2 P1 V1 C C? P0 V0 E F G I H K1 “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 15 頁 恒定，在壓強差變化不太大的情況下，可用計時開始時的壓強差和計時結(jié)束時的壓強差的平均值 P? 來代替公式中的 P? ．普適氣體常量 R = ， = 179。 105Pa）． 二、 (20 分 ) 兩顆人造衛(wèi)星繞地球沿同一橢圓軌道同向運動，它們通過軌道上同一點的時間相差半個周期．已知軌道近地點離地心的距離是地球半徑 R 的 2 倍，衛(wèi)星通過近地點時的速度 RGM 43?v ，式中 M 為地球質(zhì)量， G 為引力常量．衛(wèi)星上裝有同樣的角度測量儀，可測出衛(wèi)星與任意兩點的兩條連線之間的夾角．試設計一種測量方案，利用這兩個測量儀測定太空中某星體與地心在某時刻的距離．（最后結(jié)果要求用測得量和地球半徑 R 表示） 三、 (15 分 )?子在相對自身靜止的慣性參考系中的平均壽命 60 ???? ．宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應產(chǎn)生一批 ?子，以 v = 的速度（ c 為真空中的光速）向下運動并衰變．根據(jù)放射性衰變定律，相對給定慣性參考系，若 t = 0 時刻的粒子數(shù)為 N(0), t 時刻剩余的粒子數(shù)為 N(t)，則有 ? ? ? ? ?tNtN ?? e0 ，式中 ?為相對該慣性系粒子的平均壽命．若能到達地面的 ?子數(shù)為原來的 5％ ，試估算 ?子產(chǎn)生處相對于地面的高度h．不考慮 重力和地磁場對 ?子運動的影響． 四、 (20 分 )目前，大功率半導體激光器的主要結(jié)構(gòu)形式是由許多發(fā)光區(qū)等距離地排列在一條直線上的長條狀，通常稱為激光二極管條．但這樣的半導體激光器發(fā)出的是很多束發(fā)散光束，光能分布很不集中，不利于傳輸和應用．為了解決這個問題，需要根據(jù)具體應用的要求，對光束進行必需的變換（或稱整形）．如果能把一個半導體激光二極管條發(fā) 出的光變換成一束很細的平行光束，對半導體激光的傳輸和應用將是非常有意義的．為此，有人提出了先把多束發(fā)散光會聚到一點，再變換為平行光的方案，其基本原理可通過如下所述的簡化了的情況來說明． 如圖， S S S3 是等距離（ h）地排列在一直線上的三個點光源，各自向垂直于它們的連線的同一方向發(fā)出半頂角為 ? =arctan? ?41 的圓錐形光束．請使用三個完全相同的、焦距為 f = 、半徑為 r = h 的圓形薄凸透鏡，經(jīng)加工、組裝成一個三者在同一平面內(nèi)的組合透鏡，使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上，且經(jīng)透鏡折射后的光線能全部會聚于 z 軸（以 S2 為起點，垂直于三個點光源連線，與光束中心線方向相同的射線）上距離 S2 為 L = h 處的 P 點．（加工時可對透鏡進行外形的改變，但不能改變 透鏡焦距．） 1．求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置． 2．說明對三個透鏡應如何加工和組裝，并求出有關數(shù)據(jù)． 五、 (20 分 )如圖所示，接地的空心導體球殼內(nèi)半徑為 R，在空腔內(nèi)一直徑上的 P1 和 P2處，放置電量分別為 q1 和 q2 的點電荷， q1＝ q2＝ q，兩點電荷到球心的距離均為 a．由靜電感應與靜電屏蔽可知：導體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應電荷分布，感應電荷電量等于－2q．空腔內(nèi)部的電場是由 q q2 和兩者在空腔內(nèi)表面上的感應電荷共同產(chǎn)生的．由于我們尚不知道這些感應電荷是怎樣分布的，所以很難用場強疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢或場強．但理論上可以證明，感應電荷對腔內(nèi)電場的貢獻，可用假想的位于腔外的（等效）點電荷來代替（在本題中假想 (等效 )L S1 S3 P ????S2 ??h h z r P2 P1 ??R A O a a “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 16 頁 點電荷應為兩個），只要假想的（等效）點電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設想將整個導體殼去掉，由 q1 在原空腔內(nèi)表面的感應電荷的假想（等效）點電荷 1q? 與 q1 共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為 0；由 q2 在原空腔內(nèi)表面的感應電荷的假想（等效）點電荷 2q? 與 q2共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為 0．這樣確定的假想電荷叫做感應電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的．等效電荷取代感應電荷后，可用等效電荷 1q? 、 2q? 和 q q2 來計算原來導體存在時空腔內(nèi)部任意點的電勢或場強． 1．試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷 1q? 、 2q? 的位置及電量． 2．求空腔內(nèi)部任意點 A 的電勢 UA．已知 A 點到球心 O 的距離為 r， OA 與 1OP 的夾角為 ??． 六、 (20 分 )如圖所示，三個質(zhì)量都是 m 的剛性小球 A、 B、 C 位于光滑的水平桌面上（圖中紙面）， A、 B 之間， B、 C 之間分別用剛性輕桿相連，桿與 A、 B、 C 的各連接處皆為“鉸鏈式”的（不能對小球產(chǎn)生垂直于桿方向的作用力）．已知桿 AB 與 BC 的夾角為??? ， ?? ?/2． DE 為固定在桌面上一塊擋板，它與 AB 連線方向垂直．現(xiàn)令 A、 B、 C 一起以共同的速度 v 沿平行于 AB 連線方向向 DE 運動，已知在 C 與擋板碰撞過程中 C 與擋板之間無摩擦力作用，求碰撞時當 C 沿垂直于 DE 方向的速度由 v 變?yōu)?0 這一極短時間內(nèi)擋板對 C 的沖量的大?。? 七、（ 25 分）如圖所示，有二平行金屬導軌，相距 l，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在磁感應強度為 B 的勻強磁場中，磁場方向豎直向下（垂直紙面向里）．質(zhì)量均為 m 的兩金屬桿 ab 和 cd 放在導軌上，與導軌垂直．初始時刻， 金屬桿 ab 和 cd 分別位于 x = x0和 x = 0 處． 假設導軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)為 L． 今對金屬桿 ab 施以沿導軌向右的瞬時沖量，使它獲得初速 0v ．設導軌足夠長， 0x 也足夠大，在運動過程中，兩金屬桿之間距離的變化遠小于兩金屬桿的初始間距 0x ，因而可以認為在桿運動過程中由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù) L 是恒定不變的．桿與導軌之間摩擦可不計．求任意時刻兩桿的位置 xab 和 xcd 以及 由兩桿和導軌構(gòu)成的回路中的電流 i 三者各自隨時間 t 的變化關系． 第 21屆全國中學生物理競賽預賽參考解答 一、 1. a. 10－ 10 b. 10－ 15 c. 179。 10－ 27 d. 10－ 19 e. 179。 1019 2. a正確， b不正確。理由：反射時光頻率 ? 不變，這表明每個光子能量 h? 不變。 評分標準：本題 15分，第 1問 10分，每一空 2分。第二問 5分，其中結(jié)論占 2分，理由占 3分。 二、 第一次，小物塊受力情況如圖所示，設 T1為繩中張力， a1為兩物塊加速度的大小， l為斜A B A A C A A ????D E x O y v0 c a b y d “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 17 頁 面長，則有 1 1 1 1m g T m a?? （ 1） 1 2 2 1si nT m g m a??? （ 2） 2112l at? （ 3） 第二次， m1與 m2交換位置．設繩中張力為 T