【正文】 “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 1 頁 第 21 屆全國中學生物理競賽復賽題參考解答 一、開始時 U 形管右管中空氣的體積和壓強分別為 V2 = HA （ 1） p2= p1 經(jīng)過 2 小時， U 形管右管中空氣的體積和壓強分別為 AHHV )(2 ???? （ 2） 2222 VVpp ??? （ 3） 滲透室下部連同 U 形管左管水面以上部分氣體的總體積和壓強分別為 HAVV ???? 11 （ 4） Hgpp Δ221 ???? （ 5） 式中 ??為水的密度， g 為重力加速度． 由理想氣體狀態(tài)方程 nRTpV? 可知， 經(jīng)過 2 小時，薄膜下部增加的空氣的摩爾數(shù) RTVpRTVpn 1111 ????? （ 6） 在 2 個小時內(nèi)， 通過 薄膜滲透過去的分子數(shù) AnNN ?? （ 7） 式中 NA 為阿伏伽德羅常量． 滲透室上部空氣的摩爾數(shù)減少，壓強下降 ．下降了 ?p 0VΔnRTp?? （ 8） 經(jīng)過 2 小時滲透室上部分中空氣的壓強為 ppp ???? 00 （ 9） 測試過程的平均壓強差 ? ?)(21 1010 pp()ppp ??????? （ 10） 根據(jù)定義，由以上各式和有關數(shù)據(jù)，可求得該薄膜材料在 0℃時對空氣的透氣系數(shù) 11111 ??????? tSpNdk （ 11） 評分標準： 本題 20 分． (1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)式各 1 分， (6)式 3 分， (7)、 (8)、 (9)、 (10) 式各 2 分，(11) 式 4 分． “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 2 頁 二、如圖，衛(wèi)星繞地球運動的軌道為一橢圓，地心位于軌道橢圓的一個焦點 O 處，設待測量星體位于 C 處．根據(jù)題意，當一個衛(wèi)星運動到軌道的近地點 A 時，另一個衛(wèi)星恰好到達遠地點 B 處，只要位于 A 點的衛(wèi)星用角度測量儀測出 AO 和 AC 的夾角 ?1，位于 B 點的衛(wèi)星用角度測量儀測出 BO 和 BC 的夾角 ?2，就可以計算出此時星體 C 與地心的距離 OC． 因衛(wèi)星橢圓軌道長軸的長度 遠近 ＋ rrAB? (1) 式中 r 近 、與 r 遠 分別表示軌道近地點和遠地點到地心的距離．由角動量守恒 遠遠近近 ＝ rmr vmv (2) 式中 m 為衛(wèi)星的質(zhì)量．由機械能守恒 遠遠近近 －－ rG M mmrG M mm 22 2121 vv ? (3) 已知 Rr 2＝近 ， RGM43＝近v 得 Rr 6?遠 (4) 所以 RRRAB 862 ??? (5) 在△ ABC 中用正弦定理 ? ?ABBC 211 πs ins in ??? ??? (6) 所以 ? ? ABBC211s in s in ?? ??? (7) 地心與星體之間的距離為 OC ，在△ BOC 中用余弦定理 2222 c o s2 ?BCrBCrOC ???? 遠遠 (8) 由式 (4)、 (5)、 (7)得 ? ? ? ?212121212 s i n c o ss i n24s i n s i n1692 ?? ???? ? ????? ROC (9) 評分標準： 本題 20 分． (1)式 2 分， (2)、 (3)式各 3 分， (6) 、 (8)式各 3 分， (9) 式 6 分． 三、 因 ?子在相對自身靜止的慣性系中的平均壽命 60 ???? 根據(jù)時間膨脹效應，在地球上觀測到的 ?子平均壽命為 ?， C A B O ?1 “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 3 頁 ? ?201 cv?? ?? (1) 代入數(shù)據(jù)得 ? = 179。 10－ 5s (2) 相對地面，若 ?子到達地面所需時間為 t，則在 t 時刻剩余的 ?子數(shù)為 ? ? ? ? ?tNtN ?? e0 (3) 根據(jù)題意 有 ? ?? ? %5e0 ?? ? ?tN tN (4) 對上式等號兩邊取 e 為底的對數(shù)得 1005ln???t (5) 代入數(shù)據(jù)得 5???t (6) 根據(jù)題意，可以把 ?子的運動看作勻速直線運動，有 th v? (7) 代入數(shù)據(jù)得 4??h (8) 評分標準： 本題 15 分． (1)式或 (2)式 6 分， (4)式或 (5)式 4 分， (7) 式 2 分， (8) 式 3 分． 四、 1．考慮到使 3 個點光源的 3 束光分別通過 3 個透鏡都成實像于 P 點的要求，組合透鏡所在的平面應垂直于 z 軸，三個光心 O O O3 的連線平行于 3 個光源的連線， O2 位于 z 軸上，如圖 1 所示．圖中 MM? 表示組合透鏡的平面， 1S? 、 2S? 、 3S? 為三個光束中心光線與該平面的交點． 22OS ＝ u 就是物距．根據(jù)透鏡成像公式 fuLu 111 ??? (1) 可解得 ]4[21 2 fLLLu ??? 因為要保證經(jīng)透鏡折射后的光線都能全部會聚于 P 點，來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有 2utan? ≤ h 即 u≤ 2h．在上式中取“－”號，代入 f 和 L 的值，算得 hu )236( ?? ≈ (2) 此解滿足上面的條件． z ??L S1 P ??S2 ??h h 1S? S3’ O1 O2(S2’) O3 圖 1 M’ M u “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 4 頁 分別作 3 個點光源與 P 點的連線．為使 3 個點光源都能同時成像于 P 點， 3 個透鏡的光心 O O O3 應分別位于這 3 條連線上（如圖 1）．由幾何關系知，有 hhhL uLOOOO )24121(3221 ?????? (3) 即光心 O1 的位置應在 1S? 之下與 1S? 的距離為 hOOhOS ???? (4) 同理， O3 的位置應在 3S? 之上與 3S? 的距離為 處．由 (3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等于 ，才能使 S S S3 都能成像于 P 點． 2．現(xiàn)在討論如何把三個透鏡 L L L3 加工組裝成組合透鏡． 因為三個透鏡的半徑 r = ，將它們的光心分別放置到 O O O3處時，由于 21OO ＝32OO ＝ 2r，透鏡必然發(fā)生相互重疊，必須對透鏡進行加工，各切去一部分，然后再將它們粘起來，才能滿足 (3)式的要求．由于對稱關系，我們只需討論上半部分的情況． 圖 2 畫出了 L L2 放在 MM? 平面內(nèi)時相互交疊的情況（紙面為 MM? 平面）．圖中 CC2 表示 L L2 的邊緣， 1S? 、 2S? 為光束中心光線與透鏡的交點， W W2 分別為 C C2 與 O1O2的交點． 1S? 為圓心的圓 1 和以 2S? （與 O2 重合）為圓心的圓 2 分別是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 時產(chǎn)生的光斑的邊緣，其半徑均為 hu n ?? ?? (5) 根據(jù)題意，圓 1和圓 2內(nèi)的光線必須能全部進入透鏡．首先，圓 1 的 K 點（見圖 2）是否落在 L1 上？由幾何關系可知 ? ? hrhhSOKO ???????? ? (6) 故從 S1 發(fā)出的光束能全部進入 L1．為了保證全部光束能進入透鏡組合，對 L1 和 L2 進行加工時必須保留圓 1 和圓 2 內(nèi)的透鏡部分． 下面舉出一種對透鏡進行加工、組裝的方法．在 O1 和O2 之間作垂直于 O1O2 且分別與圓 1 和圓 2 相切的切線 Q?和 N? ．若沿位于 Q? 和 N? 之間且與它們平行的任意直線 T? 對透鏡 L1 和 L2 進行切割，去掉兩透鏡的弓形部分，然后把它們沿此線粘合就得到符合所需組合透鏡的上半部．同理，對 L2 的下半部和 L3 進行切割，然后將 L2 的下半部和 L3 粘合起來，就得到符合需要的整個組合透鏡．這個組合透鏡可以將 S S S3 發(fā)出的全部光線都會聚到 P 點． 現(xiàn)在計算 Q? 和 N? 的位置以及對各個透鏡切去部分的大小應符合的條件．設透鏡 L1被切去部分沿 O1O2 方向的長度為 x1，透鏡 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的長度為 x2，如圖 2所示，則對任意一條切割線 T? ， x x2 之和為 hOOrxxd 2121 ????? （ 7） 由于 T? 必須在 Q? 和 N? 之間，從圖 2 可看出，沿 Q? 切割時， x1 達最大值 (x1M)， x2 達最小值 (x2m)， ????? 111 OSrx M 代入 r， ??和 11OS? 的值，得 hx M ? (8) 代入 (7)式，得 h S1’ O2 (S2’) O1 W1 W2 Q Q’ N N’ T T’ C1 C2’ 圓 1 圓 2 圖 2 x2 x1 K “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 5 頁 hxdx Mm 1 8 ??? (9) 由圖 2 可看出，沿 N? 切割時， x2 達最大值 (x2M)， x1 達最小值 (x1m)， ???rx M2 代入 r 和 ??的值，得 hx M ? (10) hxdx Mm 3 3 ??? （ 11） 由對稱性，對 L3 的加工與對 L1 相同，對 L2 下半部的加工與對上半部的加工相同． 評分標準： 本題 20 分．第 1 問 10 分，其中（ 2）式 5 分，（ 3）式 5 分， 第 2 問 10 分，其中 (5)式 3 分， (6)式 3 分， (7)式 2 分， (8)式、 (9)式共 1 分， (10)式、 (11)式共 1 分． 如果學生解答中沒有 (7)— (11)式，但說了“將圖 2 中三個圓錐光束照射到透鏡部分全部保留，透鏡其它部分可根據(jù)需要磨去（或切割掉）”給 3 分，再說明將加工后的透鏡組裝成透鏡組合時必須保證 O1O2=O1O2=，再給 1 分，即給 (7)— (11)式的全分（ 4 分）． 五、 1．解法Ⅰ： 如圖 1 所示， S 為原空腔內(nèi)表面所在位置， 1q? 的位置應位 于 1OP 的延長線上的某點 B1處， 2q? 的位置應位于 2OP 的延長線上的某點 B2處．設 A1 為 S 面上的任意一點，根據(jù)題意有 0111111 ??? BAqkPAqk (1) 021 221 2 ??? BAqkPAqk (2) 怎樣才能使 (1) 式成立呢？下面分析圖 1 中 11AOP? 與 11BOA? 的關系． 若等效電荷 1q? 的位置 B1 使下式成立，即 211 ROBOP ＝? (3) 即 1111 OBOAOAOP? (4) 則 1111 BOAAOP ∽△△ 有 RaOAOPBA PA ?? 1111 11 (5) 由 (1)式和 (5)式便可求得 等效電荷 1q? 11 qaRq ??? (6) 由 (3) 式知，等效電荷 1q? 的位置 B1 到原球殼中心位置 O 的距離 B2 B1 P2 P1 O R1 a a ??圖 1 S1 A1 “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學生物理競賽預賽題參考解答 第 6 頁 aROB 21? (7) 同理， B2 的位置應使 2112 BOAAOP ∽△△ ，用類似的方法可求得 等效電荷 22 qaR