【正文】 “高中物理參考”收集 第十九屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題參考解答 第 1 頁(yè) 第 21 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽題參考解答 一、開始時(shí) U 形管右管中空氣的體積和壓強(qiáng)分別為 V2 = HA （ 1） p2= p1 經(jīng)過(guò) 2 小時(shí)， U 形管右管中空氣的體積和壓強(qiáng)分別為 AHHV )(2 ???? （ 2） 2222 VVpp ??? （ 3） 滲透室下部連同 U 形管左管水面以上部分氣體的總體積和壓強(qiáng)分別為 HAVV ???? 11 （ 4） Hgpp Δ221 ???? （ 5） 式中 ??為水的密度， g 為重力加速度． 由理想氣體狀態(tài)方程 nRTpV? 可知， 經(jīng)過(guò) 2 小時(shí)，薄膜下部增加的空氣的摩爾數(shù) RTVpRTVpn 1111 ????? （ 6） 在 2 個(gè)小時(shí)內(nèi)， 通過(guò) 薄膜滲透過(guò)去的分子數(shù) AnNN ?? （ 7） 式中 NA 為阿伏伽德羅常量． 滲透室上部空氣的摩爾數(shù)減少，壓強(qiáng)下降 ．下降了 ?p 0VΔnRTp?? （ 8） 經(jīng)過(guò) 2 小時(shí)滲透室上部分中空氣的壓強(qiáng)為 ppp ???? 00 （ 9） 測(cè)試過(guò)程的平均壓強(qiáng)差 ? ?)(21 1010 pp()ppp ??????? （ 10） 根據(jù)定義，由以上各式和有關(guān)數(shù)據(jù)，可求得該薄膜材料在 0℃時(shí)對(duì)空氣的透氣系數(shù) 11111 ??????? tSpNdk （ 11） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 20 分． (1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)式各 1 分， (6)式 3 分， (7)、 (8)、 (9)、 (10) 式各 2 分，(11) 式 4 分． “高中物理參考”收集 第十九屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題參考解答 第 2 頁(yè) 二、如圖，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道為一橢圓，地心位于軌道橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) O 處，設(shè)待測(cè)量星體位于 C 處．根據(jù)題意，當(dāng)一個(gè)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到軌道的近地點(diǎn) A 時(shí)，另一個(gè)衛(wèi)星恰好到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn) B 處，只要位于 A 點(diǎn)的衛(wèi)星用角度測(cè)量?jī)x測(cè)出 AO 和 AC 的夾角 ?1，位于 B 點(diǎn)的衛(wèi)星用角度測(cè)量?jī)x測(cè)出 BO 和 BC 的夾角 ?2，就可以計(jì)算出此時(shí)星體 C 與地心的距離 OC． 因衛(wèi)星橢圓軌道長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度 遠(yuǎn)近 ＋ rrAB? (1) 式中 r 近 、與 r 遠(yuǎn) 分別表示軌道近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離．由角動(dòng)量守恒 遠(yuǎn)遠(yuǎn)近近 ＝ rmr vmv (2) 式中 m 為衛(wèi)星的質(zhì)量．由機(jī)械能守恒 遠(yuǎn)遠(yuǎn)近近 －－ rG M mmrG M mm 22 2121 vv ? (3) 已知 Rr 2＝近 ， RGM43＝近v 得 Rr 6?遠(yuǎn) (4) 所以 RRRAB 862 ??? (5) 在△ ABC 中用正弦定理 ? ?ABBC 211 πs ins in ??? ??? (6) 所以 ? ? ABBC211s in s in ?? ??? (7) 地心與星體之間的距離為 OC ，在△ BOC 中用余弦定理 2222 c o s2 ?BCrBCrOC ???? 遠(yuǎn)遠(yuǎn) (8) 由式 (4)、 (5)、 (7)得 ? ? ? ?212121212 s i n c o ss i n24s i n s i n1692 ?? ???? ? ????? ROC (9) 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 20 分． (1)式 2 分， (2)、 (3)式各 3 分， (6) 、 (8)式各 3 分， (9) 式 6 分． 三、 因 ?子在相對(duì)自身靜止的慣性系中的平均壽命 60 ???? 根據(jù)時(shí)間膨脹效應(yīng)，在地球上觀測(cè)到的 ?子平均壽命為 ?， C A B O ?1 “高中物理參考”收集 第十九屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題參考解答 第 3 頁(yè) ? ?201 cv?? ?? (1) 代入數(shù)據(jù)得 ? = 179。 10－ 5s (2) 相對(duì)地面，若 ?子到達(dá)地面所需時(shí)間為 t，則在 t 時(shí)刻剩余的 ?子數(shù)為 ? ? ? ? ?tNtN ?? e0 (3) 根據(jù)題意 有 ? ?? ? %5e0 ?? ? ?tN tN (4) 對(duì)上式等號(hào)兩邊取 e 為底的對(duì)數(shù)得 1005ln???t (5) 代入數(shù)據(jù)得 5???t (6) 根據(jù)題意，可以把 ?子的運(yùn)動(dòng)看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，有 th v? (7) 代入數(shù)據(jù)得 4??h (8) 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 15 分． (1)式或 (2)式 6 分， (4)式或 (5)式 4 分， (7) 式 2 分， (8) 式 3 分． 四、 1．考慮到使 3 個(gè)點(diǎn)光源的 3 束光分別通過(guò) 3 個(gè)透鏡都成實(shí)像于 P 點(diǎn)的要求，組合透鏡所在的平面應(yīng)垂直于 z 軸，三個(gè)光心 O O O3 的連線平行于 3 個(gè)光源的連線， O2 位于 z 軸上，如圖 1 所示．圖中 MM? 表示組合透鏡的平面， 1S? 、 2S? 、 3S? 為三個(gè)光束中心光線與該平面的交點(diǎn)． 22OS ＝ u 就是物距．根據(jù)透鏡成像公式 fuLu 111 ??? (1) 可解得 ]4[21 2 fLLLu ??? 因?yàn)橐ＷC經(jīng)透鏡折射后的光線都能全部會(huì)聚于 P 點(diǎn)，來(lái)自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有 2utan? ≤ h 即 u≤ 2h．在上式中取“－”號(hào)，代入 f 和 L 的值，算得 hu )236( ?? ≈ (2) 此解滿足上面的條件． z ??L S1 P ??S2 ??h h 1S? S3’ O1 O2(S2’) O3 圖 1 M’ M u “高中物理參考”收集 第十九屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題參考解答 第 4 頁(yè) 分別作 3 個(gè)點(diǎn)光源與 P 點(diǎn)的連線．為使 3 個(gè)點(diǎn)光源都能同時(shí)成像于 P 點(diǎn)， 3 個(gè)透鏡的光心 O O O3 應(yīng)分別位于這 3 條連線上（如圖 1）．由幾何關(guān)系知，有 hhhL uLOOOO )24121(3221 ?????? (3) 即光心 O1 的位置應(yīng)在 1S? 之下與 1S? 的距離為 hOOhOS ???? (4) 同理， O3 的位置應(yīng)在 3S? 之上與 3S? 的距離為 處．由 (3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等于 ，才能使 S S S3 都能成像于 P 點(diǎn)． 2．現(xiàn)在討論如何把三個(gè)透鏡 L L L3 加工組裝成組合透鏡． 因?yàn)槿齻€(gè)透鏡的半徑 r = ，將它們的光心分別放置到 O O O3處時(shí)，由于 21OO ＝32OO ＝ 2r，透鏡必然發(fā)生相互重疊，必須對(duì)透鏡進(jìn)行加工，各切去一部分，然后再將它們粘起來(lái)，才能滿足 (3)式的要求．由于對(duì)稱關(guān)系，我們只需討論上半部分的情況． 圖 2 畫出了 L L2 放在 MM? 平面內(nèi)時(shí)相互交疊的情況（紙面為 MM? 平面）．圖中 CC2 表示 L L2 的邊緣， 1S? 、 2S? 為光束中心光線與透鏡的交點(diǎn)， W W2 分別為 C C2 與 O1O2的交點(diǎn)． 1S? 為圓心的圓 1 和以 2S? （與 O2 重合）為圓心的圓 2 分別是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 時(shí)產(chǎn)生的光斑的邊緣，其半徑均為 hu n ?? ?? (5) 根據(jù)題意，圓 1和圓 2內(nèi)的光線必須能全部進(jìn)入透鏡．首先，圓 1 的 K 點(diǎn)（見(jiàn)圖 2）是否落在 L1 上？由幾何關(guān)系可知 ? ? hrhhSOKO ???????? ? (6) 故從 S1 發(fā)出的光束能全部進(jìn)入 L1．為了保證全部光束能進(jìn)入透鏡組合，對(duì) L1 和 L2 進(jìn)行加工時(shí)必須保留圓 1 和圓 2 內(nèi)的透鏡部分． 下面舉出一種對(duì)透鏡進(jìn)行加工、組裝的方法．在 O1 和O2 之間作垂直于 O1O2 且分別與圓 1 和圓 2 相切的切線 Q?和 N? ．若沿位于 Q? 和 N? 之間且與它們平行的任意直線 T? 對(duì)透鏡 L1 和 L2 進(jìn)行切割，去掉兩透鏡的弓形部分，然后把它們沿此線粘合就得到符合所需組合透鏡的上半部．同理，對(duì) L2 的下半部和 L3 進(jìn)行切割，然后將 L2 的下半部和 L3 粘合起來(lái)，就得到符合需要的整個(gè)組合透鏡．這個(gè)組合透鏡可以將 S S S3 發(fā)出的全部光線都會(huì)聚到 P 點(diǎn)． 現(xiàn)在計(jì)算 Q? 和 N? 的位置以及對(duì)各個(gè)透鏡切去部分的大小應(yīng)符合的條件．設(shè)透鏡 L1被切去部分沿 O1O2 方向的長(zhǎng)度為 x1，透鏡 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的長(zhǎng)度為 x2，如圖 2所示，則對(duì)任意一條切割線 T? ， x x2 之和為 hOOrxxd 2121 ????? （ 7） 由于 T? 必須在 Q? 和 N? 之間，從圖 2 可看出，沿 Q? 切割時(shí)， x1 達(dá)最大值 (x1M)， x2 達(dá)最小值 (x2m)， ????? 111 OSrx M 代入 r， ??和 11OS? 的值，得 hx M ? (8) 代入 (7)式，得 h S1’ O2 (S2’) O1 W1 W2 Q Q’ N N’ T T’ C1 C2’ 圓 1 圓 2 圖 2 x2 x1 K “高中物理參考”收集 第十九屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題參考解答 第 5 頁(yè) hxdx Mm 1 8 ??? (9) 由圖 2 可看出，沿 N? 切割時(shí)， x2 達(dá)最大值 (x2M)， x1 達(dá)最小值 (x1m)， ???rx M2 代入 r 和 ??的值，得 hx M ? (10) hxdx Mm 3 3 ??? （ 11） 由對(duì)稱性，對(duì) L3 的加工與對(duì) L1 相同，對(duì) L2 下半部的加工與對(duì)上半部的加工相同． 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 20 分．第 1 問(wèn) 10 分，其中（ 2）式 5 分，（ 3）式 5 分， 第 2 問(wèn) 10 分，其中 (5)式 3 分， (6)式 3 分， (7)式 2 分， (8)式、 (9)式共 1 分， (10)式、 (11)式共 1 分． 如果學(xué)生解答中沒(méi)有 (7)— (11)式，但說(shuō)了“將圖 2 中三個(gè)圓錐光束照射到透鏡部分全部保留，透鏡其它部分可根據(jù)需要磨去（或切割掉）”給 3 分，再說(shuō)明將加工后的透鏡組裝成透鏡組合時(shí)必須保證 O1O2=O1O2=，再給 1 分，即給 (7)— (11)式的全分（ 4 分）． 五、 1．解法Ⅰ： 如圖 1 所示， S 為原空腔內(nèi)表面所在位置， 1q? 的位置應(yīng)位 于 1OP 的延長(zhǎng)線上的某點(diǎn) B1處， 2q? 的位置應(yīng)位于 2OP 的延長(zhǎng)線上的某點(diǎn) B2處．設(shè) A1 為 S 面上的任意一點(diǎn)，根據(jù)題意有 0111111 ??? BAqkPAqk (1) 021 221 2 ??? BAqkPAqk (2) 怎樣才能使 (1) 式成立呢？下面分析圖 1 中 11AOP? 與 11BOA? 的關(guān)系． 若等效電荷 1q? 的位置 B1 使下式成立，即 211 ROBOP ＝? (3) 即 1111 OBOAOAOP? (4) 則 1111 BOAAOP ∽△△ 有 RaOAOPBA PA ?? 1111 11 (5) 由 (1)式和 (5)式便可求得 等效電荷 1q? 11 qaRq ??? (6) 由 (3) 式知，等效電荷 1q? 的位置 B1 到原球殼中心位置 O 的距離 B2 B1 P2 P1 O R1 a a ??圖 1 S1 A1 “高中物理參考”收集 第十九屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題參考解答 第 6 頁(yè) aROB 21? (7) 同理， B2 的位置應(yīng)使 2112 BOAAOP ∽△△ ，用類似的方法可求得 等效電荷 22 qaR