【正文】 全國中學生物理競賽課內(nèi)容一、理論基礎(chǔ)力學參照系 —描述機械運動時選定做參考的物體。實際上是假定不動的物體。要定量計算就要建立具體坐標系（由實物構(gòu)成的參考系的數(shù)學抽象），坐標系相對參考系是靜止的。質(zhì)點運動的位移：直角坐標，極坐標速度：，相對速度：物系相關(guān)速度桿或繩約束物系各點速度的相關(guān)特征是：在同一時刻必具有相同的沿桿、繩方向的分速度；接觸物系接觸點速度的相關(guān)特點是：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對滑動時相同；線狀相交物系交叉點的速度是相交雙方沿對方切向運動分速度的矢量和。 1 如圖示，物體A置于水平面上，物體A前固定有動滑輪B，D為定滑輪，一根輕繩繞過B、D后固定在C點，BC段水平，當以速度拉繩頭時，物體A沿水平面運動，若繩與水平面夾角為，物體A運動的速度多大？ 解：任何時刻繩BD段上各點有與繩D端相同的沿繩BD段方向的分速度設(shè)A右移速度為，則相對于A，繩上B點是以速度從動滑輪中抽出的，即根據(jù)運動的合成法則，在沿繩BD方向上，繩上B點速度是相對于參考系A(chǔ)的速度與參考系A(chǔ)相對于靜止參考系速度的合成，即得解法二 位移關(guān)系 兩邊對時間求導(dǎo) 得2 半徑為的半圓凸輪以等速沿水平面向右運動，帶動從動桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點。求當時，AB桿的速度。解：桿與凸輪在A點接觸，桿上A點的速度是豎直向上的，輪上A點速度是水平向右的，根據(jù)接觸系觸點速度相關(guān)特點，兩者沿接觸面法向的分速度相同（兩者在法向無相對運動機，即棒始終沒有離開凸輪，而沿切向有滑動），即 得桿相對于凸輪的速度的切向分量：加速度：， 問題 在離水平面高度為的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收繩的速率恒為，試求船在離岸邊距離處時的速度與加速度的大小各為多少？解：沿繩方向“收短”的分速度和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動分速度合成實際速度，由幾何關(guān)系易得 ，而在時間內(nèi)，船頭從A點移動到點，繩繞滑輪轉(zhuǎn)過一小角度，速度增量，加速度直接計算：算與的函數(shù)關(guān)系考慮初始條件，積分得標量：矢量矢量的合成和分解 *矢量的標積和矢積 勻速及勻變速直線運動及其圖像 （略） 運動的合成 當物體實際發(fā)生的運動較復(fù)雜時，可將其等效為同時參與幾個簡單的運動，前者稱為合運動，后者稱為物體實際運動的分運動。遵循如下原理：獨立性原理 構(gòu)成一個合運動的幾個分運動是彼此獨立、互不相干的，物體的任意一個分運動，都按其自身規(guī)律進行，不會因有其它分運動的存在而發(fā)生變化。等時性原理 合運動是同一物體在同一時間內(nèi)同時完成幾個分運動的結(jié)果，對同一物體同時參與幾個運動進行合成才有意義。矢量性原理 描述運動狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，對運動進行合成與分解時應(yīng)按矢量法則即平行四邊形法則作相應(yīng)物理量的運算。 拋體運動 平拋運動—質(zhì)點只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運動位移：水平方向 豎直方向 合位移 方向 （為位移與水平方向夾角）速度：水平方向 豎直方向 合速度 方向 （為位移與水平方向夾角）加速度：直角坐標系 ， 自然坐標系 ， 軌跡 斜拋運動—質(zhì)點只在重力作用下，且初速度與水平方向成一定夾角的運動位移：水平方向 豎直方向 速度：水平方向 豎直方向 加速度 直角坐標系 ， 軌跡 幾個特征量飛行時間 射高 射程 有空氣阻力情況下的拋體運動設(shè)空氣阻力與拋體運動速度的次方成正比，為正常量。其運動微分方程為，其數(shù)值解如下：問題 從傾角為的斜坡頂端以初速度水平拋出一小球，不及空氣阻力，若斜坡足夠長，則小球拋出后離開斜坡的最大距離是多少？解：以小球拋出點為原點，沿斜坡向下為軸，垂直斜坡向上為軸建立坐標系，則小球沿軸方向的分運動是初速度為，加速度為的勻變速直線運動，小球勻減速地沿軸遠離斜面，當速度減為零時，與斜面距離最大，而后又勻加速地返回斜面，小球與斜面的距離只需考察垂直于斜面方向的分運動。離開斜面上升過程的最大位移若小球初速度為，方向與水平成角（），則小球沿斜面方向的分運動是初速度為、加速度為的勻加速度運動；對于確定的速度，小球落回斜面的時間，取決于初速度；而在斜面上的落點與拋出點的距離即小球在時間內(nèi)的位移應(yīng)為，與的平方成正比?？偨Y(jié)：研究斜面上的拋體運動問題，合理分解運動，正確判斷運動性質(zhì)和列出方程；注意由斜面傾角制約著的分運動與合運動間的幾何關(guān)系。圓周運動 圓周運動—軌跡是圓的運動勻速圓周運動—在任何相等時間內(nèi)通過的圓弧長度都相等的圓周運動各量之間關(guān)系， ；， 非勻速圓周運動—線速度的大小在不斷改變的圓周運動，其角速度方向不變，大小在不斷改變。，問題 質(zhì)點從O點由靜止開始沿半徑為的圓周作速率均為增大的運動，到達A點時質(zhì)點的加速度與速度方向夾角為，質(zhì)點通過的弧所對的圓心角為，試確定與的關(guān)系。分析：質(zhì)點作變速圓周運動，加速度分為切向加速度和法向加速度，前者反映質(zhì)點速率變化快慢，后者反映質(zhì)點速度方向變化快慢。解：在A點時 ，而， 其中是質(zhì)點運動到A點的時間，聯(lián)立有，而 所以曲線運動的軌跡是曲線，在數(shù)學上，曲率描述曲線（連續(xù)曲線）彎曲程度，曲線上某點的曲率定義為，為弧長兩端切線方向變化角度。圓上各點曲率相同：，對曲線上各點，對應(yīng)地有半徑的圓，叫曲率圓，曲率圓圓心叫曲率中心。圓是曲率中心處處相同的曲線，一般曲線各點曲率不盡相同。剛體的平動和繞定軸的轉(zhuǎn)動 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動剛體—在外力作用下，大小、形狀等都保持不變的物體；或組成物體的所有質(zhì)點之間的距離始終保持不變。剛體的平動—剛體內(nèi)所作的任一直線始終保持和自身平行。特點是：任意兩點A和B其軌跡相似，且，剛體的平動可用剛體內(nèi)任一質(zhì)點的運動來代替。剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動—剛體繞某一固定軸的轉(zhuǎn)動。特點是：剛體上的各點都在與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)做圓周運動，但半徑可不相等，各點角速度都相同，因而某一時刻剛體上所有各點的角度，角速度，角加速度都相同 ，勻加速轉(zhuǎn)動，為常量，為初始角速度，為初始角度。繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體上某點有 ，是點到軸的距離。 力學中常見的幾種力力：物體間的相互作用。作用：碰撞、擠壓、拉伸、摩擦等直接作用；吸引、排斥等間接相互作用。等效力：合力、分力、向心力、力偶等。慣性力：選擇的參考系為非慣性時，要附加的力。有平動慣性力、慣性離心力、科里奧利力等`。重力：由于地球的吸引而使物體收到的力。大?。海环较颍贺Q直向下。彈力：彈簧彈力 彈簧的串聯(lián) 彈簧的并聯(lián) 靜摩擦力：接觸的兩物體有相對運動趨勢時產(chǎn)生的阻礙相對運動趨勢的力； 動摩擦力：接觸的兩物體有相對運動時產(chǎn)生的阻礙相對運動的力。動摩擦因素與靜摩擦因素 摩擦角 判斷物體不發(fā)生滑動的條件：全反力與的夾角靜摩擦力方向與相對運動趨勢方向相反，滑動摩擦力方向與相對運動方向相反。萬有引力定律：有質(zhì)量的相距足夠遠的兩個物體間的相互吸引力的大小與其質(zhì)量乘積成正比，與其距離的平方成反比，方向沿兩物體的連線。其中適用條件：適用于兩質(zhì)點之間的力；兩個質(zhì)量均勻分布的球體間的引力，可把各自質(zhì)量集中于各自球心。間距為兩球球心的距離；均勻球殼對殼內(nèi)和殼外質(zhì)點的引力公式，一個質(zhì)量為的均勻薄球殼和一質(zhì)量為，距離球心為的質(zhì)點之間的引力如下：（a） 如果質(zhì)點在球殼外，引力大小為；（b） 如果質(zhì)點在球殼外，引力大小零。若均勻?qū)嵭那蛸|(zhì)量為，半徑為，則在距離球心為的質(zhì)點所受到的引力為，勢能為均勻球殼對殼內(nèi)和殼外質(zhì)點的引力公式（不要求導(dǎo)出） 球內(nèi)：球外：開普勒定律第一定律（軌道定律）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動。太陽在這些橢圓的一個焦點上。第二定律（面積定律）：對每個行星來說，太陽和行星的聯(lián)線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積（面積速度=Costant）第三定律（周期定律）：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等（）。人造衛(wèi)生的運動也滿足上述三定律行星和人造衛(wèi)星運動 繞力心作橢圓軌道運動。三個宇宙速度第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：人造天體環(huán)繞地球運動的速度，設(shè)地球的半徑為，則第二宇宙速度（脫離速度）：人造天體發(fā)射到地球引力以外的最小速度。由機械能守恒當?shù)谌钪嫠俣龋ㄌ右菟俣龋喝嗽焯祗w發(fā)射到太陽引力范圍以外的最小發(fā)射速度。設(shè)太陽的質(zhì)量為，太陽中心到地球中心的距離為，則有由于地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度為，相對地球只要?？紤]地球引力的存在，必須克服地球引力做功，所以而 *慣性力的概念 慣性力：因參考系為非慣性系而附加的等效力（假想力）。 平動慣性力：在相對于慣性系加速平動的參考系里附加的力； 慣性離心力：轉(zhuǎn)動參考系中附加力2 視重跟緯度的關(guān)系 可以近似得到考慮地坪扁平在兩極處最大，在赤道最小。重力加速度近似公式其中是赤道處的值。牛頓第一、二、三運動定律 慣性參考系的概念第一定律：任何物體都保持靜止狀態(tài)或勻速直線運動狀態(tài)，直到其它物體的作用迫使改變這種狀態(tài)為止。第二定律：物體受外力作用時，物體所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，并與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。其數(shù)學表達式 第三定律：兩個物體間的相互作用力總是等值反向且沿同一直線。慣性系：牛頓運動定律成立的參考系。一切相對慣性系做勻速直線運動的參考系也是慣性系。實驗證明，以太陽中心為原點，指向任一恒星的直線為坐標軸所構(gòu)成的日星系也是至今最精確的慣性系。地球相對于日心系有公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，嚴格說不是慣性系，但由于這種加速度很小，在一定精度范圍內(nèi)，地球仍可視作慣性系。3．物體的平衡 共點力作用下物體的平衡 合外力為零，若是三力平衡問題，此三力不平行必共點且必共面。有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡—力矩的代數(shù)和為零。力矩 剛體體的平衡條件合外力為零，以過某點的軸為轉(zhuǎn)動軸的合力矩也為零。注意：所有外力對某一點的力矩的代數(shù)和為零時，則對任一點的力矩的代數(shù)和都等于零。重心：重力的作用中心。在地球表面近似與質(zhì)心重合。物體平衡的種類 不穩(wěn)定平衡—物體在平衡位置受到擾動偏離平衡位置后不再回到平衡位置穩(wěn)定平衡—物體在平衡位置受到擾動偏離平衡位置后會回到平衡位置隨遇平衡物體在平衡位置受到擾動偏離平衡位置后，如果和外力仍為零，而能繼續(xù)保持平衡狀態(tài)。穩(wěn)度—物體穩(wěn)定的程度。破壞一個平衡需要的能量越多，穩(wěn)度越高。一般與重心高度和支持面大小有關(guān)，重心越低，支持面越大越穩(wěn)定。保守體系平衡位置穩(wěn)定性的拉格朗日定理：如果在某一位置，保守體系的勢能有嚴格的極小值，則此位置是體系的穩(wěn)定平衡位置。自由度為1時，自由度為2時，如果勢能在平衡位置取極大值，則是不穩(wěn)定平衡；勢能是常數(shù)則是隨遇平衡飛檐問題：建造屋頂邊緣時，用長度為的長方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚長的，如果不用水泥粘緊，則最多可以堆幾層同樣的磚剛好不翻到？這樣的幾層磚最多可使屋緣“飛”出多長？解：一塊磚的重心在處，疊放一塊磚后，由于伸出，兩磚總長，共同重心在總長一半。設(shè)有塊相同的磚疊放，每塊均伸出，則總長為，而總重心在總長度的中間。平衡條件：塊磚所受總重力作用線不能超出最底下那塊磚與壁的支持面，即，得 最上面第1塊磚要平衡，其重力作用線不能超出其下第2塊磚的邊緣，故第1塊磚伸出的最大長度為；第2兩塊磚合起來總長度為，重心在中間，即第2塊磚伸出。設(shè)第3塊磚的伸出量為，由力矩平衡知，第塊磚伸出量的通項公式：“七級飛檐”最多能飛出的長度：例子 均勻桿AB長，重，A端與粗造的豎直墻接觸，B端用不可伸長的繩懸掛于豎直墻的C點，桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為試問：（1）為了使桿達到靜力平衡，桿A端與豎直墻之間的摩察系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？ （2）若在桿上懸掛另一重量為的重物，為了使桿仍維持平衡，所需摩察系數(shù)的最小值與懸點的位置有何關(guān)系？ 解：受力情況如圖示 （）豎直方向，水平方向?qū)點的合力矩為零由上述三式求得 ， 靜摩擦力必須滿足，故摩擦系數(shù)應(yīng)滿足（2）設(shè)在離A點處懸掛重物，則仍平衡時有豎直方向，水平方向?qū)點的合力矩為零解出，靜摩擦力必須滿足，即求之得摩擦系數(shù)的最小值與懸點的位置關(guān)系上式表明，懸點在A點時，；懸點在中點時，；懸點在B點時。例子 五根質(zhì)量分布均勻、質(zhì)量和長度完全相同的細桿，用光滑鉸鏈互相聯(lián)結(jié)并懸掛起來。試求平衡時由細桿組成的五邊形的五個頂點。解：因左右兩側(cè)對稱，只需求出和，五邊形的五個頂角就都知道了，即上頂角為，兩個側(cè)頂角為，兩個下頂角為設(shè)每根桿的質(zhì)量為，長度為。桿1和桿