【文章內容簡介】 室中的氣體狀態(tài)相同，即 第 24 屆全國中學生物理競賽復賽試卷 和參考答案 第 12 頁 共 27 頁 abp p p??， abT T T??， a b 0V V V??，且ab12? ? ???? （ 9） 拔掉銷釘后， 緩慢推動活塞 B，壓縮氣體的過程為絕熱過程，達到最終狀態(tài)時，設兩室氣體的壓強、體積和溫度分別為 ap? 、 bp? 、 aV? 、 bV? 、 aT? 、 bT? ，則有 a a a aVVC R C RCCp V p V????? （ 10） b b b bVVC R C RCCp V p V????? （ 11） 由于隔板與容器內壁無摩擦，故有 abpp??? （ 12） 由理想氣體狀態(tài)方程，則有 a a a ap V RT?? ? ?? （ 13） b b b bp V RT?? ? ?? （ 14） 因 a b 0V V V???? （ 15） 由（ 8）～（ 15）式可得 a b 012V V V???? （ 16） ab2 VRCT T T???? （ 17） 在推動活塞壓縮氣體這一絕熱過程中，隔板對 a 室氣體作的功 W 等于 a 室中氣體內能的增加，即 ? ?12VaW C T T????? （ 18） 由（ 6）、（ 17）和（ 18）式得 00212 VRCVCW p VR???????? （ 19） 四、 參考解答： 設某一時刻線框在磁場區(qū)域的深度為 x? ?1xl? ，速度為 v ，因線框的一條邊切割 磁感應線 產生的感應電動勢為v2Bl?vE ，它在 線框中引起感應電流，感應電流的變化又引起自感電動勢．設線框的電動勢和電流的正方向均為順x 1l 2l 0v O y x 第 24 屆全國中學生物理競賽復賽試卷 和參考答案 第 13 頁 共 27 頁 時針方向，則切割 磁感應線 產生的電動勢 vE 與設定的正方向相反，自感電動勢L iL t????E與設定的正方向相同 .因線框處于超導狀態(tài)，電阻 0?R ，故有 L v 2 0iL B l iRt?? ? ? ? ? ?? vEE （ 1） 即 02 ?????? txBltiL （ 2） 或 iLxBl ????2 （ 3） 即 LBlxi 2???? （ 4） 可見 i 與 x 成線性關系，有 CxLBli ??? 2 （ 5） C 為一待定常數，注意到 0?x 時， 0?i ，可得 0?C ，故有 xLBli 2?? （ 6） 0?x 時 0?i ，電流為負值表示線框中電流的方向與設定的正方向相反，即在線框進入磁場區(qū)域時右側邊的電流實際流向是向上的．外磁場作用于線框的安培力 xLlBiBlf 2222 ??? （ 7） 其大 小與線框位移 x 成正比，方向與位移 x 相反，具有“彈性力”的性質．下面分兩種情形做進一步分析： （ i）線框的初速度 0v 較小，在安培力的作用下，當它的速度減為 0 時，整個線框未全部進入磁場區(qū)，這時在安培力的繼續(xù)作用下，線框將反向運動，最后退出磁場區(qū)．線框一進一出的運動是 一個簡諧振動的 半個周期 內 的 運動 ，振動的圓頻率 222BlLm?? （ 8） 周期 2222π LmT Bl? （ 9） 振動的振幅可由能量關系求得 ，令 mx 表示線框速度減為 0 時進入磁場區(qū)的深度，這時線框的初始動能全部轉換為“彈性力”的“彈性勢能”，由能量守恒可得 2222201122 mBlmxL??? ????v （ 10） 第 24 屆全國中學生物理競賽復賽試卷 和參考答案 第 14 頁 共 27 頁 得 20m 222Lmx Bl? v （ 11） 故其運動方程為 0 22 s inLm BlxtBl Lm??? ????v ， t 從 0 到2πLmBl （ 12） 半個周期后，線框退出磁場區(qū)，將以速度 0v 向左勻速運動．因為在這種情況下 mx 的最大值是 1l ，即 22222011122BlmlL?v （ 13） 由此可知，發(fā)生第（ i）種情況時， 0v 的值要滿足下式 22222011122BlmlL??? ????v 即 120 BllmL?v （ 14） (ii) 若線框的初速度 0v 比較大，整個線框能全部進入磁場區(qū)．當線框 剛進入磁場區(qū)時，其速度仍大于 0，這要求 0v 滿足下式 210 Bl lmL?v （ 15） 當線框的初速度滿足（ 15）式時，線框能全部進入磁場區(qū)，在全部進入磁場區(qū)域以前，線框的運動方程與（ 12）式相同，但位移區(qū)間是 0x? 到 1xl? ，所以時間間隔與（ 12）式不同，而是從 0 到 121 220a r c si n Bl lLmt Bl Lm????? ??v （ 16） 因為線框的總電動勢總是為 0，所以一旦線框全部進入磁場區(qū)域，線框的兩條邊都切割磁感應線，所產生的電動勢之和為 0，因而自感電動勢也為 0．此后線框中維持有最大的電流12 lLBlim ??，磁場對線框兩條邊的安培力的合力等于零，線框將在磁場區(qū)域勻速前進，運動的速度可由下式決定 222 2 22011 1 12 2 2 Blm m lL??vv 即 2222 120 B l lLm??vv （ 17） 第 24 屆全國中學生物理競賽復賽試卷 和參考答案 第 15 頁 共 27 頁 五、參考解答： 解法一： ，故在所考察的等離子 區(qū)域內的引力場和磁場都可視為勻強場 .在該區(qū)域內磁場的磁感應強度 3 5 700 3 . 0 1 0 T 2 . 4 1 0 T125RBBr????? ? ? ????? （ 1） 引力加速度 2 2200 9 . 8 m /s 0 . 3 9 m /s25Rggr??? ? ????? （ 2） 考察等離子層中的某一質量為 m、電荷量為 q、初速度為 u 的粒子，取粒子所在處為坐標原點 O，作一直角坐標系Oxyz， Ox 軸指向地球中心， Oz 沿磁場方向，如圖 1 所示 .該粒子的初速度在坐標系中的三個分量分別為 ux、 uy 和 uz.因作用于粒子的引力沿 x 軸正方 向，作用于粒子的 洛倫茲 力與 z 軸垂直，故粒子在 z 軸方向不受力作用，沿 z 軸的分速度保持不變 . 現設想在開始時刻，附加給粒子一沿 y 軸正方向大小為 v0 的速度 ， 同時附加給粒子一沿 y 軸負方向大小為 v0 的速度，要求與其中一個 v0 相聯(lián)系的洛倫茲力正好與粒子所受的地球引力相平衡，即 0q B mg?v 得 0 mgqB?v （ 3） 用 v 表示 ux 與沿 y 軸的速度0yu?v的合速度 （對質子取正號，對電子取 負 號） ，有 ? ?220xyuu? ? ?vv （ 4） 這樣，所考察的粒子的速度可分為三部分： 沿 z 軸的分速度 zu ．其大小和方向都保持不變，但對不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無規(guī)則運動 的速度分量 ． 沿 y 軸的速度 0v ．對帶正電的粒子，速度的方向沿 y 軸的負方向，對帶負電的粒子，速度的方向沿 y 軸的正方向．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消，故粒子將以速率 0v 沿 y 軸運動．由（ 3）式可知， 0v 的大小 是恒定的 ，與粒子的初速度無關，且對同種的粒子相同． 在 Oxy 平面內的速度 v ．與 這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒子在 Oxy 平面內作速率為 v 的勻速率圓周運動，若以 R 表示圓周的半徑，則有 2q B m R? vv x O y z ux uy uz v0 v0 v 圖 1 y0u?v 第 24 屆全國中學生物理競賽復賽試卷 和參考答案 第 16 頁 共 27 頁 得 mRqB? v （ 5） 由（ 4）、 （ 5）式可知，軌道半徑不僅與粒子的質量有關，而且與粒子的初速度的 x 分量 xu 和 y 分量yu有關 ．圓周運動的速度方向是隨時間變化的， 在圓周運動的一個周期內的平均速度等于 0． 由此可見，等離子層內電子和質子的運動雖然相當復雜，但每個粒子都具有由（ 3）式給出的速度 0v ，其方向垂直于粒子所在處的地球引力方向，對電子，方向向西，對質子，方向向東．電子、質子這種運動稱為漂移運動，對應的速度稱為漂移速度．漂移運動是粒子的定向運動，電子、質子的定向運動就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流． 由（ 3）式和 （ 1）、（ 2）兩式以及 有關數據可得電子和質子的漂移速度 分 別為 60e 10 m/s???v （ 6） 20p 10 m/s???v （ 7） 由于電子、質子漂移速度的方向相反，電荷異號，它 們產生的電流方向相同，均為沿緯度向東 .根據電流密度的定義有 ? ?0p 0ej nq??vv （ 8） 代入有關數據得 14 10 A/mj ??? （ 9） 電流密度的方向沿緯度向東 . 2．上一小題的討論表明，粒子在 Oxy 平面內作圓周運動，運動的速率由（ 4）式給出，它與粒子的初速度有關．對初速度方向指向地心的粒子，圓周運動的速率為 220xu??vv （ 10） 由（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 5）、（ 10）各式并代入題給的有關數 據可得電子、質子的軌道半徑分別為 e ? （ 11）