【文章內(nèi)容簡介】 w = 3gsinqL . (17) 以在桿上距 O 點為 處的橫截面外側(cè)長為 ? ?Lr? 的那一段為研究對象，該段質(zhì)量為 ? ?Lr? ? ，其質(zhì)心速度為 22c L r L rr??????? ? ? ?????v. (18) 設(shè)另一段對該段的切向力為 T (以 ? 增大 的方向為正方向 )， 法向 (即與截面相垂直的方向 )力為N (以指向 O 點方向為正向 )，由質(zhì)心運動定理得 ? ? ? ?c o s tT L r g L r a? ? ?? ? ? ? (19) ? ? ? ?si n nN L r g L r a? ? ?? ? ? ? (20) 式中， ta 為質(zhì)心的切向加速度的大小 ? ?3 co sd d d dd 2 d 2 d d t 4ct L r gL r L ra t t L ?? ? ?? ?? ??? ? ? ?v (21) 而 na 為質(zhì)心的法向加速度的大小 ? ?2 3 s in22n L r gLra L ?? ???? . (22) 由 (19)、 (20)、 (21)、 (22)式解得 ? ?? ?23 c o s4L r r LT m gL ???? (23) ? ?? ?253 s in2L r L rN m gL ???? (24) 評分標準 ：本題 25 分 . 第 1 問 5 分， (2) 式 1 分， (6) 式 2 分， (7) 式 1 分， (8) 式 1 分； 第 2 問 7 分， (10) 式 1 分， (11) 式 2 分， (12) 式 2 分， (14) 式 2 分；不依賴第 1 問的結(jié)果，用其他方法正確得出此問結(jié)果的，同 樣給分 ； 第 3 問 13 分， (16) 式 1 分， (17) 式 1 分， (18) 式 1 分， (19) 式 2 分， (20) 式 2 分， (21) 式2 分， (22) 式 2 分， (23) 式 1 分， (24) 式 1 分；不依賴第 2 問的結(jié)果，用其他方法正確得出此問結(jié)果的，同樣給分 . 四、 （ 20 分） 圖中所示的靜電機由一個半徑為 R 、與環(huán)境絕緣的開口 （朝上）金屬球殼形 的 容器和一個帶電液滴產(chǎn)生器 G 組成 . 質(zhì)量為 m 、 帶電量為的球形液滴從 G 緩慢地自由掉下（所謂緩慢，意指在 G 和容器口之間總是只有一滴液滴） . 液滴開始下落時相對于地面的高度為 . 設(shè)液滴很小 ，容器足夠大， 容器在達到最高電勢之前進入容器的液體 尚未充滿容器 . 忽略 G 的電荷對正在下落的液滴的影響 .重力加速度大小為 . 若容器初始電勢為零， 求容器可達到的最高電勢 maxV . 參考解答： 設(shè)在某一時刻球殼形容器的電量為 Q . 以液滴和容器為體系，考慮從一滴液滴從帶電液滴產(chǎn)生器 G出口 自由下落到容器口的過程 . 根據(jù)能量守恒有 21 22Q q Q qm g h k m m g R kh R R? ? ? ?? v. (1) 式中，為液滴在容器口的速率， 是靜電力常量 . 由此得液滴的動能為 21 ( 2 )( 2 )2 ( )Q q h Rm m g h R k h R R?? ? ? ?v. (2) 從上式可以看出，隨著容器電量 Q 的增加，落下的液滴在容器口的速率不斷變??；當液滴在容器口的速率為零時，不能進入容器，容器的電量停止增加，容器達到最高電勢 . 設(shè)容器的最大電量為 maxQ ，則有 m a x ( 2 )( 2 ) 0()Q q h Rm g h R k h R R?? ? ??. (3) 由此得 max ()mg h R RQ kq??. (4) 容器的最高電勢為 maxmax QVkR? (5) 由 (4) 和 (5)式得 max ()mg h RV q?? (6) 評分標準 ：本題 20 分 . (1)式 6 分， (2) 式 2 分， (3) 式 4 分， (4) 式 2 分， (5) 式 3 分，(6) 式 3 分 . 五 、 （ 25 分） 平行板電容器兩極板分別位于2dz??的平面 內(nèi) ，電容器起初未被充電 . 整個裝置處于均勻磁場中，磁感應(yīng)強度大小為 B ，方向沿 軸 負方向，如圖所示 . 1. 在電容器參考系中只存在磁場 ；而 在以沿 y軸正方向的恒定速度 (0, ,0)v （這里 (0, ,0)v 表示為沿 x、 y、 z軸正方向的速度分量 分別 為 0、 、 0，以下類似 ） 相對于電容器運動的參考系 S? 中， 可能既有電場 ( , , )x y zE E E? ? ?又有磁場 ( , , )x y zB B B? ? ?. 試在非相對論情形下，從伽利略速度變換，求出在參考系 S? 中 電場 ( , , )x y zE E E? ? ?和磁場 ( , , )x y zB B B? ? ?的 表達式 . 已知電荷量和作用在物體上 的合力在伽利略變換下不變 . 2. 現(xiàn)在讓介電常數(shù)為 的 電中性液體（絕緣體）在平行板電容器兩極板之間勻速流動， 流速大小為，方向 沿 軸 正方向 . 在相對液體靜止的參考系 （即 相對于電容器運動的參考系 ） S? 中，由于液體處在第 1問所述的電場 ( , , )x y zE E E? ? ?中，其 正負電荷會因電場力作用而發(fā)生相對移動（即所謂極化效應(yīng)），使得液體中出現(xiàn)附加的靜電感應(yīng)電場，因而液體中總電場強度不再是( , , )x y zE E E? ? ? ，而是 0 ( , , )x y zE E E?? ? ? ? ，這里 0? 是 真空的介電常數(shù) . 這將導致在電容器參考系中電場不再為零 . 試求電容器參考系中電場的強度以及電容器 上、下 極板之間的電勢差 . （結(jié)果用0? 、 B 或（和）表出 . ） 參考解答： 1. 一個帶電量為的點電荷在電容器參考系中的速度為 ( , , )x y zu u u，在運動的參考系 S? 中的速度為 ( , , )x y zu u u? ? ?. 在參考系中只存在磁場 ( , , ) ( , 0, 0)x y zB B B B??，因此這個點電荷在參考系中所受磁場的作用力為 0,xyzzyFF quBF quB???? (1) 在參考系 S? 中可能既有電場 ( , , )x y zE E E? ? ?又有磁場 ( , , )x y zB B B? ? ?，因此點電荷在 S? 參考系中所受電場和磁場的作用力的合力為 ( ),( ),()x x y z z yy y x z z xz z x y y xF q E u B u BF q E u B u BF q E u B u B? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? (2) 兩參考系中電荷、合力和速度的變換關(guān)系為 ,( , , ) ( , , ) ,( , , ) ( , , ) ( 0 , , 0)x y z x y zx y z x y zqqF F F F F Fu u u u u u? ?? ? ? ?? ? ? ?? v (3) 由 (1)、 (2)、 (3)式可知電磁場在兩參考系中的電場強度和磁 感應(yīng)強度滿足 ( ) 0 ,()x y z z yy x z z x zz x y y x yE u B u BE u B u B u BE u B u B u B? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?vv (4) 它們對于任意的 ( , , )x y zu u u都成立，故 ( , , ) (0 , 0 , ),( ,