【正文】 因?yàn)榕鲎彩菑椥缘?，且平板是光滑的，由能量守恒可? 2 2 2 2 21 0 1 1 01 1 1 1 12 2 2 2 2mV??? ? ?m v m u = m v m u （ 7） 解（ 6）、（ 7）兩式，得 1 0??v （ 8） 112V gh? ?=v （ 9） 碰撞后，平板從其平衡位置以 1V? 為初速度開(kāi)始作簡(jiǎn)諧振動(dòng)．取 固定 坐標(biāo) ，其 原點(diǎn) O 與 平板 處于 平衡 位置 時(shí)板的上表 面中 點(diǎn) 重合 ， x 軸 的方向豎直向下，若以小球和平板發(fā)生碰撞的時(shí)刻作為 0t? ，則平板在 t 時(shí)刻離開(kāi)平h P Q B u0 第 24 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷 和參考答案 第 7 頁(yè) 共 27 頁(yè) 衡位置的位移 ? ?PQ cosx A t???? （ 10） 式中 2πT?? （ 11） A 和 ? 是兩個(gè)待定的常量，利用參考圓方法，在 t 時(shí)刻平板振動(dòng)的速度 ? ?PQ si nAt? ? ?? ? ?v （ 12） 因 0t? 時(shí)， PQ 0x ? ． PQ V??v ，由（ 9）、（ 11）、（ 12）式可求得 22ghAT?? （ 13） π2??? （ 14） 把（ 13）、（ 14）式代入（ 10）式，得 PQ 2 2 ππc o s2 π2ghx T tT???????? （ 15） 碰撞后，小球開(kāi)始作平拋運(yùn)動(dòng)．如果第一次碰撞后，小球再經(jīng)過(guò)時(shí)間 2t 與平板發(fā)生第二次碰撞且發(fā)生在 Q 處，則在發(fā)生第二次碰撞時(shí)，小球 的 x 座標(biāo) 為 ? ? 2B 2 212x t gt? （ 16） 平板 的 x 座標(biāo)為 ? ?P Q 2 22 2 ππc o s2 π2ghx t T tT???????? （ 17） 在碰撞時(shí)，有 ? ? ? ?B 2 PQ 2x t x t? （ 18） 由（ 16）、（ 17）、（ 18）式，代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 222 π4 .9 0 4 .4 1 c o s π 2tt???????? （ 19） 這便是 2t 滿足的方程式 ， 通過(guò) 數(shù)值 計(jì)算 法 求解方程 可得 （參見(jiàn)數(shù)值列表） 2 ? （ 20） 如果第二次碰撞正好發(fā)生在平板的邊緣 Q 處，則有 ? ?0 1 2L u t t?? （ 21） 由（ 1）、（ 20）和（ 21）式得 第 24 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷 和參考答案 第 8 頁(yè) 共 27 頁(yè) 0 12 m /sLu tt??? （ 22） 而滿足題中要求的 0u 的最小值應(yīng)大于（ 22）式給出的值．綜合以上討論， 0u 的取值范圍是 00. 46 m /s 0. 71 m /su?? （ 23） 附：（ 19）式的數(shù)值求解 用數(shù)值解法則要代入 2t 不同 數(shù)值 ，逐步逼近所求值，列表如下： 2t 2 π4 .4 1 co s π 2PQxt???????? ? PQ Bxx? 0 0 二、參考解答： 解法一 因?yàn)?B 點(diǎn)繞 A 軸作圓周運(yùn)動(dòng)，其速度的大小為 B l??v （ 1） B 點(diǎn) 的向心加速度的大小為 2Bal?? （ 2） 因?yàn)槭莿?角 速轉(zhuǎn)動(dòng)， B 點(diǎn) 的切向加速度為 0，故 Ba 也是 B 點(diǎn) 的加速度，其方向沿 BA 方向．因?yàn)?C 點(diǎn)繞 D 軸作圓周運(yùn)動(dòng)，其速度的大小用 Cv 表示，方向垂直于桿 CD，在考察的時(shí)刻，由圖可知，其方向沿桿 BC 方向．因BC 是剛性桿，所以 B 點(diǎn)和 C 點(diǎn)沿 BC 方向的速度必相等，故有 C π2c o s 42 l???Bvv （ 3） 此時(shí)桿 CD 繞 D 軸按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)， C 點(diǎn)的法向加速度 2CCna CD?v （ 4） 由圖可知 22CD l? ，由（ 3）、（ 4）式得 228Cnal?? （ 5） 其方向沿 CD 方向． 下面來(lái)分析 C 點(diǎn)沿 垂直于桿 CD 方向的加速度，即切向加速度 Cta ．因?yàn)?BC 是剛性桿，所以 C 點(diǎn)相對(duì) B 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只能 是繞 B 的轉(zhuǎn)動(dòng)， C 點(diǎn)相對(duì)B 點(diǎn)的速度方向必垂直于桿 BC．令 CBv 表示其速度的大小，根據(jù)速度合成公式有 CB C B??v v v CBv A C D B Bv? Cv aCn aC t aC ? 第 24 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷 和參考答案 第 9 頁(yè) 共 27 頁(yè) 由幾何關(guān)系得 22 22C B B C B l?? ? ? ?v v v v （ 6） 由于 C 點(diǎn)繞 B 作圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì) B 的向心加速度 2CBCBa CB?v （ 7） 因?yàn)?2CB l? ，故有 224CBal?? （ 8） 其方向垂直桿 CD. 由（ 2）式及圖可知， B 點(diǎn)的加速度沿 BC 桿的分量為 ? ? πcos4BBBCaa? （ 9） 所以 C 點(diǎn)相對(duì) A 點(diǎn)（或 D 點(diǎn)）的加速度沿垂直于桿 CD 方向的分量 ? ? 2324Ct CB B BCa a a l?? ? ? （ 10） C 點(diǎn)的總加 速度為 C 點(diǎn)繞 D 點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度 Cna 與切向加速度 Cta 的合加速度，即 2 2 2748C C n C ta a a l?? ? ? （ 11） Ca 的方向與桿 CD 間的夾角 a r c ta n a r c ta n 6 8 0 . 5 4CtCnaa? ? ? ? ? （ 12） 解法二：通過(guò)微商求 C 點(diǎn)加速度 以固定點(diǎn) A 為原點(diǎn)作一直角坐標(biāo)系 Axy， Ax 軸與 AD重合， Ay 與 AD 垂直．任意時(shí)刻 t，連桿的位形如圖所示， A B C D ? ? ? x y 第 24 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷 和參考答案 第 10 頁(yè) 共 27 頁(yè) 此時(shí)各桿的 位置分別用 ? ， ? 和 ? 表示，且已知 AB l? ， 2BC l? ， 22CD l? ， 3AD l? ， ddt? ???， C點(diǎn)坐標(biāo)表示為 c os 2 c osCx l l???? （ 1） si n 2 si nCy l l???? （ 2） 將（ 1）、（ 2）式對(duì)時(shí)間 t 求一階微商，得 d dds in 2 s ind d dCx lt t t??????? ? ????? （ 3） d ddc o s 2 c o sd d dCy lt t t???????????? （ 4） 把（ 3）、（ 4）式對(duì)時(shí)間 t 求一階微商，得 222 222 2 2d d d d dc o s s in 2 c o s 2 s ind d d d dCx lt t t t t? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? （ 5） 2222 2 2d d d d ds in c o s 2 s in 2 c o sd d d d dCy lt t t t t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 6） 根據(jù)幾何關(guān)系，有 si n si n si nC D AB BC? ? ??? c os c os c os 3C D AB BC l? ? ?? ? ? 即 2 2 sin sin 2 sin? ? ??? （ 7） 2 2 c os 3 c os 2c os? ? ?? ? ? （ 8） 將（ 7）、（ 8）式平方后相加且化簡(jiǎn)，得 2 sin sin 2 c os c os 3 c os 3 2 c os 2 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 9） 對(duì)（ 9）式對(duì)時(shí)間 t 求一階微商，代入 π2?? ， π4?? ， ddt? ??? ，得 d1d2t? ?? （ 10） 對(duì)（ 9）式對(duì)時(shí)間 t 求二階微商，并代入上述數(shù)據(jù)，得 2 22d3d8t? ?? （ 11） 將（ 10）、（ 11）式以及 ? ， ? ， ddt? 的數(shù)值代入（ 5）、（ 6）式，得 2 22d 5d8Cx lt ??? 2 22d 7d8Cy lt ??? 所以 第 24 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷 和參考答案 第 11 頁(yè) 共 27 頁(yè) 2222 222dd 74d d 8CCC xyaltt ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 12） 由圖知， Ca 與 x 軸的夾角為 ? 22ddta n 1 .4CCyxtt? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? （ 13） 所以求得 arctan 54 .46? ?? 這個(gè)夾角在第三象限，為 ， 故 Ca 與 CD 的夾角 =? （ 14） 三 、參考解答： 1．設(shè) a 室中原有氣體為 mol? ，打開(kāi) K1 后，有一部分空氣進(jìn)入 a 室，直到 K1 關(guān)閉時(shí)， a 室中氣體增加到mol?? ，設(shè) a 室中增加的 ? ?mol???? 氣體在進(jìn)入容器前的體積為 V? ，氣體進(jìn)入 a 室的過(guò)程中，大氣對(duì)這部分氣體所作的功為 0A p V?? （ 1） 用 T 表示 K1 關(guān)閉后 a 室中氣體達(dá)到平衡時(shí)的溫 度，則 a 室中氣體內(nèi)能增加量為 ? ?0VU C T T?? ??? （ 2） 由熱力學(xué)第一定律可知 UA?? （ 3） 由理想氣體狀態(tài)方程，有 0 0 045 p V RT?? （ 4） ? ?00p V RT???? ? ? （ 5） 00pV RT??? （ 6） 由以上各式解出 ? ?0554VVCRTT?? ? （ 7） 2． K2 打開(kāi)后， a 室中的氣體向 b 室自 由膨脹，因系統(tǒng)絕熱又無(wú)外界做功，氣體內(nèi)能不變，所以溫度不變（仍為 T ），而體積增大為原來(lái)的 2 倍．由狀態(tài)方程知，氣體壓強(qiáng)變?yōu)? 012pp? （ 8） 關(guān)閉 K2，兩