【正文】 2受力情況如圖示。每根桿水平和豎直方向合力都為零，合力矩也應(yīng)為零，有對(duì)桿1，取上端為參考點(diǎn) 對(duì)桿2，取上端為參考點(diǎn) 桿1和桿2關(guān)聯(lián)的幾何條件 上述三式得 和聯(lián)立得令，上述方程變?yōu)?多項(xiàng)式的圖像為用數(shù)值解，的到四個(gè)解，, 在范圍內(nèi)的解為，上頂角為兩個(gè)側(cè)頂角為兩個(gè)下頂角為用虛功原理求解體系只有一個(gè)自由度。因?yàn)閮蓚€(gè)角度滿足： (1)棒的縱坐標(biāo)分別為：，主動(dòng)力虛功之和為零，即得 (2)聯(lián)立（1）和（2）得例子 半徑為的圓柱體在水平面上固定不動(dòng)，厚度為的均勻木板水平地放置在圓柱體上，其長(zhǎng)度方向與圓柱體的軸垂直，并處于平衡狀態(tài)。試問厚度取何值時(shí)屬于穩(wěn)定平衡。解：設(shè)木板偏離平衡位置后，與圓柱體的接觸點(diǎn)從P點(diǎn)移至M點(diǎn)，即木板偏轉(zhuǎn)一小角度。此時(shí)，木板受力：支持力（OM方向），重力（向下，過(guò)質(zhì)心C）摩擦力（過(guò)M點(diǎn)，沿切向），木板只滾不滑的條件是切向合外力為零，即因， 只要，木板作小角偏轉(zhuǎn)時(shí)就不會(huì)滑動(dòng)。取圓柱體O為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為Z軸。木板質(zhì)心C點(diǎn)的位置矢量為，其中 ，木板只滾不滑有C點(diǎn)坐標(biāo) 因?yàn)楹苄?，略去高次?xiàng)取O點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，木板的勢(shì)能為 對(duì)于穩(wěn)定平衡， 即木板厚度小于直徑。例子 在半徑為的光滑半球形凹面內(nèi)，有一剛性均勻細(xì)桿達(dá)到平衡。已知在半球面內(nèi)那部分的長(zhǎng)為。試求桿露出半球面外的那部分的長(zhǎng)度？解：桿受三個(gè)力：重力豎直向下，A點(diǎn)支持力沿球面半徑，B點(diǎn)支持力向上垂直桿，三力作用下，桿平衡。設(shè)兩個(gè)支持力作用線的交點(diǎn)E，則重力作用線也過(guò)E點(diǎn)。因?yàn)锳B垂直BE，則E點(diǎn)也在圓周上，且由幾何關(guān)系得，而， 例子 四根質(zhì)量、長(zhǎng)度均相同的木條用光滑的鉸鏈聯(lián)結(jié)城菱形，一均勻圓盤靜止地夾在兩木條之間，整個(gè)系統(tǒng)豎直懸掛于O點(diǎn)。設(shè)圓盤和木條之間的接觸是光滑得，木條長(zhǎng)度，質(zhì)量；圓盤半徑，質(zhì)量。求系統(tǒng)的平衡位置（用表示）。解：O點(diǎn)為原點(diǎn)，豎直向上的軸為Z軸建立坐標(biāo)系四根木條的質(zhì)心的坐標(biāo)圓盤質(zhì)心的坐標(biāo)系統(tǒng)的質(zhì)心的坐標(biāo)系統(tǒng)重力勢(shì)能平衡位置滿足，求得令，上述方程變?yōu)榘褦?shù)字代入得從上圖看到，零點(diǎn)在多一點(diǎn)。實(shí)際等于另外兩個(gè)虛根：，即平衡位置在。問題 桿長(zhǎng)，質(zhì)心在C點(diǎn)，桿的A、B兩端分別支于互相垂直的兩個(gè)光滑斜面上而處于平衡。試問在圖示位置此桿是什么平衡？試證明之。解： 桿AB受三個(gè)不共點(diǎn)力作用下平衡，三力的作用點(diǎn)相交與O點(diǎn)，O點(diǎn)與桿AB的質(zhì)心C的連線是豎直的。在中有 ，此偏心桿是不穩(wěn)定平衡。證明 質(zhì)心C的位置以表示，則即，顯見，當(dāng)時(shí)，桿質(zhì)心C的高度有最大值，桿的位置稍有偏離，質(zhì)心高度就降低，故屬于不穩(wěn)定平衡。4．動(dòng)量動(dòng)量：描述物體運(yùn)動(dòng)量大小的量。物體的質(zhì)量與速度的乘積。即，動(dòng)量是矢量，其方向與速度方向一致。沖量：力對(duì)時(shí)間的累積。即；如果力是變力，則沖量為質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理 物體所受合外力的沖量等于物體動(dòng)量的增量。即 質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和叫質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量。質(zhì)點(diǎn)組所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量的增量。動(dòng)量守恒定律 在合外力為零的條件下，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒，即總動(dòng)量是個(gè)常矢量，但各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量會(huì)變化?？梢詫懗? 恒量，恒量，恒量， 沖擊：在打擊、爆炸和碰撞等沖擊問題中，由于內(nèi)力一般很大，作用時(shí)間又很短，這時(shí)外力及其沖量可以忽略，此時(shí)可以用動(dòng)量守恒定律。*質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 1 質(zhì)心：質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)量中心。設(shè)總質(zhì)量為，則 在直角坐標(biāo)系中， ， 質(zhì)心速度質(zhì)心加速度質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒定律也可以表示為反沖運(yùn)動(dòng)及火箭 （略）5．*沖量矩 力矩對(duì)時(shí)間的累積。 *角動(dòng)量 （1）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定義為相對(duì)某一軸的角動(dòng)量，其中是某點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)速度到軸的垂直距離。一般規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。單位：。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)同一軸的角動(dòng)量（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體上某點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量*質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量定理（不引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量） 沖量矩等于角動(dòng)量的增量。*角動(dòng)量守恒定律 如果沖量矩為零，則角動(dòng)量守恒。恒量。例題：質(zhì)量分別為、和的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸長(zhǎng)的柔軟細(xì)繩AB和BC連接，角ABC為，為一銳角。今有一沖量為的沖擊力沿BC方向作用于C點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。解：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理有軟繩作用力的方向一定沿繩的方向，所以必沿AB方向，沿BC方向，設(shè)的方向與BC方向成角，則有BC方向：垂直BC方向：由于繩不可伸長(zhǎng)有 ，（沿繩方向上的速度相等）聯(lián)立解得：方向沿AB方向。6．機(jī)械能 功和功率 1 功：（1） 不同參考系中，功可以有不同的數(shù)值；但對(duì)同一對(duì)作用力與反作用力做功之和與參考系的選擇無(wú)關(guān)；（2） 但物體不能當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理時(shí)，物體的位移與作用點(diǎn)的位移可能不相等，這時(shí)應(yīng)理解為力的作用點(diǎn)的位移。2 功率 平均功率，瞬時(shí)功率、平均功率動(dòng)能和動(dòng)能定理 動(dòng)能：動(dòng)能定理：合外力做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量，即，反映了外力做功與動(dòng)能變化在數(shù)量上的關(guān)系。質(zhì)點(diǎn)組情形，內(nèi)力做功同樣改變質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能。作用在質(zhì)點(diǎn)組上所用外力和內(nèi)力做的功，等于質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的增量。重力勢(shì)能 引力勢(shì)能 式中，該式取無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零。若已知地球的半徑為，則地球表面附近質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能可以表示為同樣，平方反比作用力的勢(shì)能可表示為，為排斥力，是吸引力質(zhì)點(diǎn)及均勻球殼殼內(nèi)和殼外的引力勢(shì)能公式（不要求導(dǎo)出） 其中為球殼半徑。彈簧的彈性勢(shì)能 功能原理 系統(tǒng)內(nèi)外力所做的功和非保守內(nèi)力做的功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。機(jī)械能守恒定律 系統(tǒng)內(nèi)外力所做的功和非保守內(nèi)力做的功之和為零時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變，叫機(jī)械能守恒定律。碰撞 1 彈性碰撞碰撞前后沒有動(dòng)能損失。除了動(dòng)量守恒外動(dòng)能亦守恒。兩個(gè)球?qū)π呐鲎驳那樾钨|(zhì)量為和的兩小球，碰撞前的速度分別為和，碰撞后的速度分別為和（），則有得：相對(duì)速度大小相等方向相反。，若，則，即兩球碰撞后交換速度；若，且，則，即較輕的一球以原速度返回； 若，且，則，即重球速率基本不變，輕球向前的速率接近重球速率的兩倍。2 非彈性碰撞 動(dòng)量守恒但總動(dòng)能不守恒?；謴?fù)系數(shù)：碰撞后兩球分離的相對(duì)速度與碰撞前接近的相對(duì)速度之比，即。對(duì)于彈性碰撞，非彈性碰撞，完全非彈性碰撞。，碰撞前動(dòng)能碰撞后動(dòng)能損失的動(dòng)能當(dāng)時(shí)，可以證明，此項(xiàng)損失的能量正是碰撞前兩個(gè)小球相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能。碰撞前后兩球的質(zhì)心C的速度始終保持不變，即，而兩球碰撞后（粘貼）就以質(zhì)心C的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，自然原先相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能全部損失。問題 光滑的水平面上停著一只木球和載人小車，木球質(zhì)量為，人和車總質(zhì)量為，已知，人以速率沿水平面將木球推向正前方的固定擋板，木球被擋板彈回之后，人接住球后再以同樣的對(duì)地速率將球推向擋板。設(shè)木球與擋板相碰時(shí)無(wú)動(dòng)能損失。求人經(jīng)過(guò)幾次推木球后，再也不能接住木球？解：“人再也不能接住木球”的條件：載人小車速度取木球和載人小車為研究對(duì)象，初始總動(dòng)量為零，最后要求總動(dòng)量至少為，引起這個(gè)動(dòng)量變化的外力沖量是固定擋板施與系統(tǒng)中的木球部分。 對(duì)木球而言，每一次被擋板彈碰，均有，則人推次木球，擋板對(duì)人、車和木球質(zhì)點(diǎn)系的總沖量為，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)用動(dòng)量定理有 ，（次）幾個(gè)動(dòng)量守恒模型總動(dòng)量為零的反沖運(yùn)動(dòng)模型 特征是不受外力,總動(dòng)量為零,兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)量守恒關(guān)系可表為,在系統(tǒng)各部分相互作用過(guò)程的各瞬間,總有,則在總動(dòng)量各式中可用各質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間內(nèi)的位移來(lái)表示速度,即有.用來(lái)代替速度的位移是矢量,一維的情況用“+”、“—”來(lái)確定動(dòng)量的方向.問題 ,當(dāng)轉(zhuǎn)到桿與豎直成角時(shí),起重桿,水的阻力與桿重均不計(jì).解: 對(duì)于起重機(jī)和重物組成的系統(tǒng),水平方向合外力為零,動(dòng)量守恒,則有是重物相對(duì)于起重機(jī)的位移. “—”表示起重機(jī)位移方向向左.彈弓效應(yīng)質(zhì)量為的小球放在質(zhì)量為的大球頂上，從高處釋放，緊挨著落下，撞擊地面后彈起，所有的碰撞都是完全彈性碰撞，且都發(fā)生在豎直軸上。（1）小球彈起可能達(dá)到的最大高度？（2）如在碰撞后，物體處于平衡，則質(zhì)量之比應(yīng)為多少？在此情況下，物體升起的高度為多少？解：將兩球無(wú)初速釋放后，兩球均自由落下，大球剛觸地時(shí)兩球速度均為，大球與地發(fā)生完全彈性碰撞，速度立即變?yōu)橄蛏?，大小仍為，這時(shí)小球速度是向下的，大小為，則小球相對(duì)于大球以的速度接近，隨即與大球發(fā)生對(duì)心碰撞，并以的速度與大球分離，若小球質(zhì)量遠(yuǎn)小于大球，兩球碰后大球?qū)Φ厝允窍蛏系模芍∏蛳鄬?duì)于地面向上運(yùn)動(dòng)的速度已是，為小球直接觸地彈起速度的三倍，由機(jī)械能守恒關(guān)系：，小球向上彈起的高度，其效果就如同被大球這個(gè)“彈弓”彈射出去一樣。如大球在與小球迎面相碰后處于平衡（碰后速度為零），則由動(dòng)量守恒定律得兩球質(zhì)量之比為，這種質(zhì)量關(guān)系下，小球以速度向上彈出，由機(jī)械能守恒，小球跳起高度為下落高度的4倍。問題 長(zhǎng)為的木塊A右邊固定著一個(gè)擋板,包括擋板在內(nèi)的總質(zhì)量為,靜止在光滑水平面上,有一質(zhì)量為的木塊B,從木塊A的左端開始以初速度在木塊A上滑動(dòng),它們之間的動(dòng)摩擦因素為,小木塊B滑到木板A的右端與擋板發(fā)生時(shí)間極短的碰撞,: (1)若, 在B與擋板碰撞后的過(guò)程中,摩擦力對(duì)木塊A做正功還是做負(fù)功?做多少功?(2)討論木塊A與小木塊B在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否有段時(shí)間里相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)是向左的,如果不可能,說(shuō)明理由。如果可能,求出向左滑動(dòng),又能保證A與B剛好不脫離的條件.解：碰前，B追板A，即B的速度大于A的速度，碰后，則相反，板A的速度大于B的速度。碰前B經(jīng)歷時(shí)間，碰后到達(dá)A左端時(shí)間。碰后A減速，B加速。且， 最終，A、B的共同速度（在A左端時(shí)達(dá)到共同速度）V：，由，得A的速度（相對(duì)地面）由動(dòng)能定理，摩擦力在此過(guò)程中對(duì)木板A做的功，做負(fù)功。（公式相對(duì)非慣性系也成立，不過(guò)，加速度藥用相對(duì)加速度）相對(duì)地面方向向左的情況只可能發(fā)生在木塊B與擋板碰后若速度變?yōu)橄蜃?，就?huì)在一段時(shí)間內(nèi)先向左減速而后向右加速地運(yùn)動(dòng)，而木板A一直向右減速，直至兩者以共同速度向右運(yùn)動(dòng)。B能有向左運(yùn)動(dòng)的階段而又剛好不落下，A板應(yīng)滿足兩個(gè)條件：一是B與擋板碰后B速度為負(fù)，即，二是一對(duì)摩擦力在的相對(duì)位移上做的功不大于系統(tǒng)動(dòng)能的增量，即，綜上，滿足時(shí)，木塊B可在與擋板碰后的一段時(shí)間內(nèi)相對(duì)地面向左運(yùn)動(dòng)并剛好相對(duì)靜止在板A的左端。2011年高考物理壓軸題的分析：如圖示，以A、B和C、D為端點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑水平地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C。一物塊被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到A時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B滑上滑板?；暹\(yùn)動(dòng)到C時(shí)被牢固粘連。物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為，滑板質(zhì)量，兩半圓半徑均為，板長(zhǎng)，板右端到C的距離在范圍內(nèi)取值，E距A為，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩察因數(shù)均為，重力加速度取。（1） 求物塊滑到B點(diǎn)的速度大小；(2)討論物塊從滑上板到離開板右端的過(guò)程中，克服摩擦力做的功與的關(guān)系，并判斷物塊能夠滑到軌道的中點(diǎn)。先來(lái)看看命題組提供的標(biāo)準(zhǔn)解答：（本題考查考生對(duì)力學(xué)基本規(guī)律的認(rèn)識(shí)，考查動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律的理解和綜合應(yīng)用，考查理解能力、分析綜合能力、推理能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力。）（1）設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到A和B的速度分別是，由動(dòng)能定理 由機(jī)械能守恒定律 聯(lián)立 ，得 （2）設(shè)滑板與滑塊達(dá)到相同的速度時(shí)，位移分別為和，由動(dòng)量守恒定律 由動(dòng)能定理 聯(lián)立得， 物塊相對(duì)滑塊的位移，即物塊與滑板達(dá)到共同速度時(shí)，物塊沒有離開滑板 物塊滑到滑板右端時(shí)，若 即 若 即 ()設(shè)物塊滑到C點(diǎn)的動(dòng)能為，由動(dòng)能定理， （）最小時(shí)，克服摩擦力做功最小，因?yàn)?，由?確定小于，即物塊不能滑倒CD軌道的中點(diǎn)。 評(píng)分說(shuō)明： 式各1分， 式各2分。例題 質(zhì)量為的長(zhǎng)方形箱子，放在光滑水平面上。箱內(nèi)有一質(zhì)量也為的與箱底無(wú)摩擦的小滑塊。開始時(shí)箱子靜止不動(dòng)，滑塊以恒定的速度從箱子的A壁向B壁滑動(dòng)。假定滑塊與箱壁每碰撞一次，二者相對(duì)速度的大小變?yōu)樵摯闻鲎睬跋鄬?duì)速度的倍。（1） 要使滑塊與箱子這一系統(tǒng)損耗的總動(dòng)能不超過(guò)其初始動(dòng)能的，滑塊與箱壁最多可碰撞幾次？（2） 從滑塊開始運(yùn)動(dòng)到剛完成上述次數(shù)的碰撞時(shí)間，箱子的平均速度是多少？解：（1）設(shè)滑塊與箱壁完成第次碰撞后速