【文章內(nèi)容簡介】 b = 0 b = 2bn =( 1, 1 , 2 ) , DP =( 2 , 2 ,2)DP n 1c os DP , n2| DP | | n |DP , n 60DP , n3 0 12?????????????????? ? ?? ? ???? ? ? ?? ?? ?? ????令 則 r= q因 為 面 面因 為 PD 與 平 面 PBC 所 成 的 角 和 互 余 ， 故PD 與 平 面 PBC 所 成 的 角 分 19. （本小題滿分 12 分 ）（注意： 在試題卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在 10 平前，一方連續(xù)發(fā)球 2 次后，對方再連續(xù)發(fā)球 2 次，依次輪換， 每次發(fā)球，勝方得 1 分，負(fù)方得 0 分。設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得 1 分的概率為 ，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié) 果相互獨立。甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球。 （Ⅰ）求開始第 4 次發(fā)球時，甲、乙的比分為 1 比 2 的概率； （Ⅱ） ? 表示開始第 4 次發(fā)球時乙的得分，求 ? 的期望。 【考法】獨立事件，互斥事件，對立事件的概率計算，數(shù)學(xué)期望的計算等。數(shù)學(xué)閱讀理解能力。概率模型的分析鑒別意識。 【解析】 （Ⅰ） 設(shè)事件 A=“開始第 4 次發(fā)球時（即前 3 次發(fā)球），甲、乙的比分為 1 比 2” ，將 A 的 各種情況列舉： 發(fā)球 甲 甲 乙 甲得分 1 0 0 概 率 0． 6 0． 4 0． 6 22 于是， 3( ) 0 .6 0 .4 0 .6 0 .4 0 .6 0 .6 0 .4 0 .3 5 2PA ? ? ? ? ? ? ? ? （Ⅱ） ? 的可能取值為 0， 1， 2， 3. 則 ( 0) ? ? ? ? ? ?； 3( 1 ) 08P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； ( 2) ( ) P A? ? ? ?； ( 3 ) ? ? ? ? ? ? 這里計算 ( 1)P?? 也可用間接法： ( 1 ) 1 ? ? ? ? ? ? ? 故 30 ( ) 1 .4 0 0 .kE kP k???? ? ?? 附錄：“標(biāo)答” 發(fā)球 甲 甲 乙 甲得分 0 1 0 概率 0． 4 0． 6 0． 6 發(fā)球 甲 甲 乙 甲得分 0 0 1 概率 0． 4 0． 4 0． 4 23 i01201010 1 0 1A =0, ,31B 4 1: 21=P ( A ) , P ( A ) ,P ( A ) 2 , 3P ( B ) P ( )P ( ) P ( ) P ( ) +????? ? ?? ? ? ??????記 表 示 事 件 ： 第 一 次 和 第 二 次 這 兩 次 發(fā) 球 ， 甲 共 得 i 分 ， i 1 2A 表 示 事 件 ： 第 次 發(fā) 球 ， 甲 得 分表 示 事 件 ： 開 始 第 次 發(fā) 球 時 ， 甲 、 乙 的 比 分 為（ ） B A A+A A分A A+A AA A)+P(A A A )P(A)+P(A A22220 ( 1 ) = 62 P ( A ) 0 2,3P ( 0) =P ( A A ) =P ( A ) P ( A ) = =P ( 2) =P ( B ) =P ( 3 ) =P ( A A ) = =P ( 1 ) =1 P ( 2) P ( 0) P ( 3 )=1 = 10?????? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?分（ ）的 可 能 取 值 為 ， 1,E 0 P ( 0) 1 P ( 1 ) + 2 P ( 2) +3 P ( 3 )=+ 2 +3 = 12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???分分 （ 20）（本小題滿分 12 分）（注意： 在試題卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 設(shè)函數(shù) ( ) c os , [ 0 , ]f x ax x x ?? ? ? （Ⅰ）討論 ()fx的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) ( ) 1 sinf x x?? ，求 a 的取值范圍。 【考法】利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間， “恒成立”問題求參數(shù)范圍。導(dǎo)數(shù)與三角整合，對導(dǎo)數(shù)和三角的要求都很高。 此處大綱卷與新課標(biāo)卷的重要區(qū)別！ （新課標(biāo)卷對反三角的要求很低：只要求會用反三角函數(shù)表示角） 【解析】 （Ⅰ） ( ) sinf x a x? ?? 討論標(biāo)準(zhǔn)的制定： [ 0 , ] si n [ 0 ,1]xx?? ? ?，于是分如下三種情況： 24 （ 1）當(dāng) 1a? 時 ( ) si n 0f x a x? ? ? ?，故 ()fx在 [0, ]? 上遞增； （ 2）當(dāng) 0a? 時 ( ) si n 0f x a x? ? ? ?，故 ()fx在 [0, ]? 上遞減； （ 3）當(dāng) 01a??時 ，如圖所示： ()fx在 (0,arcsin )a 上遞增，在 (a rc si n , a rc si n )aa? ? 上遞減， 在 ( arcsin , )a??? 上遞增 . （Ⅱ） 法 1 觀察所給不等式的右邊，其最小值為 1，此時 0x? 或 ? 。 對于 0x? ，有 (0) 0 1 1 0fa? ? ? ? ?恒成立； 對于 x ?? 有 2( ) 1 1f a a?? ?? ? ? ? ?（極端情況?。? 下面證明：當(dāng) 2a ?? 時，對任意 [0, ]x ?? 都有 ( ) 1 sinf x x?? ： 因為 2a ?? ， 0x? ，所以 2( ) c o s c o sf x a x x x x?? ? ? ?； 故只要證明： 2 c o s 1 s in ( [ 0 , ] )x x x x ?? ? ? ? ? ? 構(gòu)造輔助函數(shù) 2( ) 1 s in c o s ( [ 0 , ] )g x x x x x ??? ? ? ? ? 則 2( ) c o s si n 0g x x x ?? ? ? ? ? 2s in ( )4x ? ?? ? ? 如圖所示： ya?sinyx?sinarc aA Bsinarc a? ?2y ??0x4? 4???22 ABP 25 由 于 220 2???，故存在唯一的值 0 (0, )x ?? 使得 在 0(0, )x 上 ( ) 0gx? ? ，即 ()gx 遞增；在 0( , )x? 上 ( ) 0gx? ? ，即 ()gx 遞減； 故在 [0, ]? 上 m in( ) m in{ ( 0 ) , ( ) } 0g x g g ??? 于是 21 sin co sx x x?? ? ? 【評注】這是一種簡化處理問題的策略：先找出來確切范圍，然后給予嚴(yán)格證明。 設(shè)確切范圍為 M ，則 [ 0 , ]kkk MM??? ? 法 2 觀察不等式結(jié)構(gòu)： 21 sin co sx x x?? ? ? 有 1 cosx? ，若能 嘗試證明： 2sinxx?? 即可！ 構(gòu)造輔助函數(shù) 2( ) si n ( [ 0 , ] )2g x x x x ??? ? ? 22( ) c o s 0 a r c c o sg x x x??? ? ? ? ? ? 于是，在 2(0,arccos )? 上 ( ) 0gx? ? ，在 2(arccos , )2?? 上 ( ) 0gx? ? ， 有 ( ) m i n{ ( 0) , ( ) } 0g x g g ???即 2sinxx?? 幾何意義如圖所示： 于是， 當(dāng) 2a ?? 時 2( ) c o s c o sf x a x x x x?? ? ? ?； （ 1）當(dāng) [0, ]2x ?? 時 2 sinxx? ? ， cos 1x? ， P2yx??2?(0,1)A 26 故 2co s 1 sinx x x?? ? ?即 ( ) 1 sinf x x?? ； （ 2）當(dāng) [ , ]2x ? ?? 時 22( ) c o s 1 ( ) s in ( ) 1 1 s in22f x x x x x x????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ( ) 1 sinf x x?? 。 綜上有： a 的取值范圍為 2( , ].??? 【評注】本題解法的邏輯思路： ab a c b dcd? ? ? ? ? ??? ? 已知 ab? ，要得到 a c b d? ? ? ，只要 得到 cd? 即可！ （但是若 cd? 也可有 a c b d? ? ? ，因此，這種探索是有風(fēng)險的！ 正因為有風(fēng)險才有樂趣！無限風(fēng)光在險峰嘛 ） 法 3 問題的一種幾何意義： 做如下變形： c o s 1 s in 1 s in c o s 2 s in ( ) 14a x x x a x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作函數(shù) ( ) 2 si n ( ) 1 , [ 0 , ]4g x x x? ?? ? ? ? ()gx 的圖像是曲線從 (0,0)A 到 ( ,2)B? 的部分。直線 AB 的斜率為 2ABak ???，當(dāng)直線 l 繞原點 (0,0)A 順時針旋轉(zhuǎn)時，可保證曲線 ()gx 在直線 l 的上方。 曲線 ()gx 在原點處切線 l? 的斜率為 1。 l?l4??2y?(0,0)AB 27 法 4 （分離變量） c os 1 si n 1 si n c osax x x ax x x? ? ? ? ? ? ? 上式對 0x? 成立；當(dāng) 0 x ??? 時 1 s in c o sxxa x???? 考慮設(shè)輔助函數(shù) 1 s in c o s( ) , ( 0 , ]xxg x xx ????? 2( c o s si n ) ( 1 si n c o s )() x x x x xgx x? ? ? ?? ? 難以判斷符號！ 令 ( ) ( c os si n ) ( 1 si n c os )h x x x x x x? ? ? ? ? ( ) ( c o s si n ) 0 4h x x x x x ?? ? ? ? ? ? 于是，當(dāng) (0, )4x ?? 時 ( ) 0hx? ? ， ()hx 遞增； 當(dāng) ( , )4x ? ?? 時 ( ) 0hx? ? ， ()hx 遞減； 而 ( 0 ) 0 , ( ) 2 1 044hh ??? ? ? ? ?， ( ) 2 0h ??? ? ? ?， 因此，存在唯一的0 ( , )4x ? ??使得 0( ) 0hx? 即 0( ) 0gx? ? 。 于是，對于 0(0, )xx? 有 ( ) 0gx? ? ，此時 ()gx 遞增； 0( , )xx?? 有 ( ) 0gx? ? 此時 ()gx 遞減。 而0 0 01 s in c o s s in c o s( ) 11l im l im l imx x xx x x xgx x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?， 2( ) 1g ? ???； 故 2a ?? 為所求。 0x4?? 28 法 5 回歸思考：對于此類“恒成立 ”問題，其常規(guī)解法是什么？ 構(gòu)造差函數(shù) ( ) 1 si n c os , [ 0 , ]g x x x ax x ?? ? ? ? ? 求 min()gx ，解 min( ) 0gx ? 即可 . ( ) si n c o s 2 si n ( )4g x x x a x a?? ? ? ? ? ? ? 因為 [0, ]x ?? ， 54 4 4x? ? ?? ? ? ，故 1 2 s in ( ) 24x ?? ? ? ?；討論如下： （ 1）若 2a? ，則 ( ) 0gx? ? ，在 [0, ]? 上 ()gx 遞減； 有m i n 2( ) ( ) 2 0g x g a a?? ?? ? ? ? ? ?，矛盾！ （ 2）若 1a?? ，則 ( ) 0gx? ? ，在 [0, ]? 上 ()gx 遞增； 有 m in(