[理學(xué)]高數(shù)下總復(fù)習(xí)題解(編輯修改稿)
2025-02-05 01:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )( 1 0 10: ???? ?? ? dxxydsyx xOA 2211)( 1 0 10: ?????? ?? ? dxxydsyx xAB 210)( 1 0 10: ??? ?? ? y dyxdsyx yBO 21 ??? I 24. 計(jì)算 I=??? ? ,)(22 dsyx其中 ? 為立體 122 ??? zyx 的邊界曲面。 解 ? 如圖示 21 ????? , 1:229。 :z=1 ( ) 122 ?? yx , 2? : 22 yxz ?? )0( 1: 22 ??? zyxD xy 1? 上 22xyd s 1 z z d x d yⅱ= + + dxdy? 2)()( 2 0 1 0 322221 ??? ?????? ? ?????? drrddx dyyxdsyx xyD 222Σ : ( Z x y ) d s 2 d x d y= + = ?????2 22)( 22 ?dxyx )21(2)( 22 ???? ??? ?dsyx 25. 計(jì)算 I= ? ?dszxzyyx??? ???? 1222244， ? 是由 z= 22 yx ? 被x2+y2=2x 所截部分。 解 ? 在 xoy 平面的投影區(qū)域 1)1( 22 ??? yxD xy dxdyds 2? 11)()()),(,( 22222244 ???????? yxxyxyyxyxzyxf ?212),( ???? ????? xyD dx dydszyxfI 26. 求球面 2222 azyx ??? 在柱面 022 ??? axyx 內(nèi)部的表面積。 解 球面 2221 : yxaz ???? 2222 : yxaz ????? 在 xoy 面的投影均為 axyxD xy ?? 22: 且 1? 或 2? 上，222 yxaadx dyds ??? 由對(duì)稱性 ? ??????? ?????? 2 2c o s0 22222 2212 1???? aD raar drdyxa ad x dydsSxy )2(2 2 ?? ?a 27 用幾種不同的方法計(jì)算 I=? ?C xdyydx，其中 C 是 起點(diǎn) O（ 0， 0），終點(diǎn)為 A（ 2， 0） 的上半圓周 : 22( x 1) y 1, y 0 + = ? 直接計(jì)算法 公式：設(shè) C 的參數(shù)方程??? ?? )()(tyy txx且起點(diǎn)、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為 ??, ，則： ??? ???? ???? )())(),(())(),((),(),( dttytytxQtytxPdyyxQdxyxPC 解 法 1 利用 C 的坐標(biāo)方程： ?cos2?r ，可寫出 C 的參數(shù)方程。 02: 2s i ns i nc os2 2c os1c osc os2: ???? ??? ???? ????? ???yxC ? ? ?????? dI ? ??????? 0 2 2c os2)2c os1()2s i n2(2s i n ???? d? ?? 02 )2c os24c os2( 0? 法 2： 0: s i n c os1: ???? ? ?? ??? ?yxC 計(jì)算略 法 3： 20: 2 )(: 2 ???? xxxyxxC 計(jì)算略 間接計(jì)算法 格林公式： dx dyyPx dyP dx DC ??? ???????? ???????? 注 1：當(dāng)沿著 C 的正向行進(jìn)時(shí)，區(qū)域 D 在 “行者 ”的左手，取 “+”。 注 2：當(dāng) C 不是 閉 曲線時(shí)，需 增加 輔助路徑；通常選平行于坐標(biāo)軸的 直線 段 為 輔助路徑。 法 4： ?? ?AOC ? 0)11( ??? ??D dx dyG 公式 x d yy d xOAAOC ????? ??? ( : 0 , : 0 2)0OA xxy d x x d y C y xy ??? ? ?? ??? OxdxO ???? ? 2 0 0? 0 ??? ? xd yyd xC 注 3 本題中由于yPx ??????因而還可選擇以下的間接計(jì)算法 ． 準(zhǔn)備知識(shí)： 單連通區(qū)域 D 上 ),(),( yxQyxP 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，以下四個(gè)結(jié)論等價(jià)： （１）yPxQ ????? （ ２ ） 0 , ???? ? Q dyP dxDCC （ ３ ） QdyPdxL ??的值與路徑無關(guān)（只與起、終點(diǎn)有關(guān)）。 （ ４ ）存在 ),( yxu ，使 dtyxQdxyxPdu ),(),( ?? 且 ??? ???? yyxxyx yx dyyxQdxyxPQ dyP dxyxu 0),( ),( 0000 ),(),(),( 法 5 yPxQ ?????? 可設(shè) ),( yxu? ，使 Qd yPdxdu ?? 且 x d yy d xx d yy d xyxuABOA ???? ??),( 0000 0 ??? ?? xdxy xOA xyx dyxx yAB ?? ?? 0 則 002)0,2( ???? uI 28. 計(jì)算 I= ? ???C xx dymxyedxmyye )c o s()s i n(，其中 C 是擺線??? ???? ?? )0()c os1( )s i n( ?ttay ttax且參數(shù)增加的方向?yàn)榉e分路徑的方向。 解 如圖 增加輔助路徑： AO 。 則： ?? ?AOC ? ?dx dymyemyeGDxx?? ??? )c os)(c os(公式 0? 00)00(0 2 0 ?????????? ???? a xOAAOC dxmey 29 計(jì)算 I=???C yx ydxxdy 224，其中 C 是以（ 1， 0）為中心， R 為半徑的圓周（ R? 1），方向取逆時(shí)針方向。 解 注 R = 1 圓周經(jīng)過原點(diǎn)，積分無意義。 情形 1 1?R ???????? ???????? yPxQdx dyGI D 00公式 情形 2 1?R （原點(diǎn)在圓盤內(nèi)） 設(shè)輔助積分路徑 ??? ( 4: 222 ?? yxC 的大小滿足 ?C 包含在圓盤之內(nèi)）正方 向取 為順時(shí)針方向。 則： 00 ?? ????DCC d x d yG 公式? 注： C 包含的區(qū)域內(nèi)包含原點(diǎn) ),(),( yxQyxP 不滿足 Green 公式條件 ?? ???CC ???????? ???????????? ??????? ????221s i n2s i nc o s2c o s2/ 2 0 22s i ndtttttxtyC ???C 30. 設(shè) ??xf 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且滿足 ? ???Cdyxfdxxyxfx 0)())((l n 39。39。 其中 C 為 xoy 平面第一 象 限內(nèi)的閉曲線，已知 ? ? ,0)1(1 39。 ?? ff 求 ??xf 。 解 由已知， x xfyxyxfx????? ?????? ??? )())(( ln 令 ))(( )( xfPPxf ??? xxPxP ln1 ??? （一 階非齊次 線性方程 ） 解得： 1ln)( ??? xxCxP 由 0)1()1( ??? fP ，得 1?C 1ln1)( ????? xxxf 1)1( l nln)( Cxxxxxf ?????? 由 0)1?f 得 21?C 2)1( l nln)( ?????? xxxxxf 31. 已知 ? ? ,2/10 ??f 求 ??xf 使 ? ?? ? ? ?? ?dyxfy dxxfeABx? ???? 與路徑無關(guān)，并求 A 為（ 0， 0）、 B 為（ 1， 1）時(shí)的積分值。 解 由積分值與路徑無關(guān)，得 ( ) ( )( ) ( )xxe f x f xf x f x e???? ? ? ?? ? ? ? 解得： xx Cexexf ?? ???)( 由 21 21)0( ???? Cf xexxf ??????? ???? 21)( ( 1 ,1 )( 0 , 0 ) (
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