【文章內容簡介】 ?? xx xf ， 即 )(xf 在 0?x 處的左右極限存在，但不相等，因此 0?x 函數 )(xf 的第一類間斷點中的跳躍間斷點． 綜上，函數 )(xf 的連續(xù)區(qū)間是 ),0(),0,( ???? ， 0?x 函數 )(xf 的第一類間斷點中的跳躍間斷點． (5) 顯然 1??x 時，函數 )(xf 無定義 ． 又 13 xexnxnxf xxnnnxn ??? ???????? ?????? ????????? ?? ???? 1111111)(l i ml i m ， 因此 xexf x??1)( ，并且定義域為 ),1()1,( ?????? ? ． 顯然函數 )(xf 在區(qū)間 ),1(),1,( ?????? 內連續(xù)．對于 1??x ， ???? ???? xexf xxx 1)( limlim 11 ， 因此 1??x 函數 )(xf 的第二類間斷點中的無窮間斷點． 綜上，函數 )(xf 的連續(xù)區(qū) 間是 ),1(),1,( ?????? ， 1??x 函數 )(xf 的第二類間斷點中的無窮間斷點． 2 (1) 因為函數 )(xf 在區(qū)間 ),0(),0,( ???? 內是初等函數，因此函數 )(xf 在 ? ????? ,連續(xù)，只需 在 分段點 0?x 處 連續(xù)，即 )0()()( limlim00 fxfxf xx ?? ?? ??．又在 0?x 處，bf ?)0( ， bbaxxfxx ??? ?? ?? )()( limlim 00， 1)( limlim00 ?? ?? ??xxx exf，因此 1?b ．由于 2)1( ?f ，即 2??ba ，因此 1?a ． 綜上當 1,1 ?? ba 時，函數 )(xf 在 ? ????? , 上連續(xù)． (2) 因為函數 )(xf 在區(qū)間 ),1(),1,1(),1,( ?????? 內是初等函數，因此函數 )(xf 在? ????? , 連續(xù)，只需 在 分段點 1??x 處連續(xù)，即 )1()()( limlim 11 ??? ?? ???? fxfxf xx ， )1()()( limlim 11 fxfxf xx ?? ?? ?? ． 在 1??x 處， 1)1( ???f ， babxaxxfxx ???? ?? ???? )()(211 limlim， 11)( limlim11 ??? ?? ???? xxf xx， 因此 1???ba ．在 1?x 處， 1)1( ?f ， 11)( limlim11 ?? ?? ?? xxf xx， babxaxxfxx ???? ?? ?? )()(211 limlim， 因此 1??ba ．于是有??? ?? ??? 11ba ba，解得 1,0 ?? ba ． 14 綜上當 1,0 ?? ba 時，函數 )(xf 在 ? ????? , 上連續(xù)． 3 )(xf 在 1?x 處連續(xù)，則 )1()(lim1 fxfx ??，即 4313 )(lim1 ???? ??? xx bxbax．由于? ? 0313lim 1 ????? xxx ，則有 ? ? 0)(lim1 ???? bxbax ，即 02 ?? ba ，進而 ba 2?? ．從而 313313 )( limlim 11 ??? ?????? ?? ?? xx bbxxx bxba xx ? ?? ?? ?313313 313)1(l i m1 ????????????? xxxxxxxbx ? ?)1(2 313)1(lim1 ???????? xxxxbx ? ? bxxbx 22313lim1 ????????． 因此 42 ?? b ，即 2??b ，于是 4?a ． 綜上當 2,4 ??? ba 時， )(xf 在 1?x 處連續(xù)． 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 1 若 )0()( faf ? ，則 0?? 或 a?? ． 因此下面假設 )0()( faf ? ． 令 )()()( axfxfxF ??? ．顯然 )(xF 在 ],0[ a 上連續(xù)，并且 )2()()(),()0()0( afafaFaffF ???? ． 由于 )2()0( aff ? ，所以有 0)]0()()][()0([)()0( ????? fafaffaFF ，從而根據根的存在定理知， ),0( a??? ，使得 0)( ??F ，即 )()( aff ?? ?? ． 綜上 存在一點 ],0[ a?? ，使得 )()( aff ?? ?? ． 2 由于 bxfa ?? )( ，則 bbfafa ?? )(),( ．令 xxfxF ?? )()( ．顯然 )(xF 在 ],[ ba上連續(xù)，并且 0)()( ??? aafaF ， 0)()( ??? bbfbF ，從而根據根的存在定理知，],[),( baba ???? ，使得 0)( ??F ，即 ?? ?)(f ． 15 3 令bxbxaaxBxfAxF??????????,),(,)( ．顯然 )(xF 在 ],[ ba 上連續(xù)，并且 AaF ?)( ，BbF ?)( ．又 0?AB ，因此 0)()( ?bFaF 從而根據根的存在定理知， ),( ba?? ，使得0)( ??F ，即 0)( ??f ． 4 方程可以變?yōu)? ),(0))(())(())(( 321213312321 ????????? ?????????? xxxaxxaxxa ． 令 ))(())(())(()( 213312321 ?????? ????????? xxaxxaxxaxF ．顯然 )(xF 在],[],[ 3221 ???? 上連續(xù)，并且 ))(()( 322111 ????? ??? aF ， ))(()( 321222 ????? ??? aF ， ))(()( 131333 ????? ??? aF ． 由于 321 ??? ?? ， 0, 321 ?aaa ， 所以 0)( 1 ??F ， 0)( 2 ??F ， 0)( 3 ??F ． 進而根據根的存在定理知 ， ),( 211 ??? ?? ， ),( 322 ??? ?? ， 使得 0)( 1 ??F ， 0)( 2 ??F ，即),( 211 ??? ?? ， ),( 322 ??? ?? ， 使得 031 321 211 1 ?????? ?????? aaa ， 032 322 212 1 ?????? ?????? aaa ． 5 (反證法 )假設存在 ),( ????? ，使得 0)( ??f ． 若 ??? (或 ??? )， 則 函數 )(xf 在 ],[ ?? (或 ],[ ?? )內連續(xù)，并且 0)( ??f ， 0)( ??f ， 即 0)()( ??? ff ．因此存在 ),( ???? (或 ),( ???? )， 即 ),( ???? ，使得 0)( ??f ．這與 ??x 和 ??x 是0)( ?xf 相鄰的兩個根 相矛盾．故 ),( ????x 都有 0)( ?xf ． 6 若 1)sin( ??ba ，則顯然 方程 bxax ?? sin 有一個根是 bax ?? ． 下面假設1)sin( ??ba ． 令 bxaxxf ??? sin)( ．顯然 )(xf 在 ],0[ ba? 上連續(xù)，并且 0)0( ??? bf ， 16 0)]s i n (1[)s i n ()( ?????????? baabbaababaf (因為 0,0 ?? ba )， 進而0)()0( ??baff ．因此存在 ),0( ba??? ，使得 0)( ??f ，即 bxax ?? sin 在區(qū)間),0( ba? 上至少有一個根． 綜上 方程 bxax ?? sin 至少有一正根，并且它不超過 ba? ． 7 令 )}(,),(),(m i n { 21 nxfxfxfm ?? ， )}(,),(),(m a x { 21 nxfxfxfM ?? ，則nxxx , 21 ? 中至少有一個 ix 使得 mxf i ?)( ，至少有一個 jx 使得 Mxf j ?)( ，顯然有Mxfnxfxfm jnk ki ???? ?? )()()( 1．若這個不等式中有一等號成立，則對應的 ix 或 jx 即為所求的點 ? ．若不等式都是嚴格不等式時，又 )(xf 在 ],[ ji xx 或 ],[ ij xx 上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點 ? 介于 ix 與 jx 之間，使得 n xfxfxff n )()()()( 21 ???? ?? ． 綜上 存在 ],[ ba?? ，使得 n xfxfxff n )()()()( 21 ???? ?? ． 習 題 1 1 0??? ，要使 ?????? ?nnnn 11)1( 1 ，只要 ?1?n ，于是取正整數 ??????? ?1N，當Nn? 時， ????? ? 1)1( 1nn n ，因此 1)1( 1lim ??? ??? nn nn． 2 由于當 0?x 時， xex ~1? ，所以 xe x 3~13 ? ．進而 331 limlim030 ????? xxxexxx． 3 因為 nnnn 333213 ????? ，則有 nnnn 33)321(3 1 ???? ，并且 nn 33lim?? 3? ，因此 3)321( 1lim ?????nnnn． 17 4 令 xt arcsin? ，則 tx sin? ，并且 00 ??? tx ．因此 1s ina rc s in limlim 00 ?? ?? ttx x tx ． 5 30 s in2tan2lim x xxx ???? ? ?? ?? ?xxx xxxxx s i n2t a n2s i n2t a n2s i n2t a n230lim ??????????? ? ?xxx xxx s i n2t a n2 s i nt a n30lim ??? ?? ? ? ?xxx xxx s i n2t a n2 )c os1(t a n30lim ??? ?? ? ? ?xxx xxx s i n2t a n2 21320lim ?????? ? ?xxx s i n2tan221lim0 ???? ? 82241 ??． 6 任取 ),(0 bax ? ，對 0??? ，存在 0??k?? ，當 ???? 00 xx 時， ?? ?????? kxxkxfxf 00 )()( ． 因此 )()(0lim0 xfxfxx ??，即 )(xf 在 0xx? 處連續(xù)．由 0x 的任意性知， )(xf 在 ),( ba 上連續(xù)．當 ???? ax0 時 , ?? ?????? kaxkafxf )()( ． 因此 )()(lim afxfax ???， 即 )(xf 在 ax? 處右連續(xù)．當 0???? bx? 時， ?? ?????? kbxkbfxf )()( ． 因此 )()(lim bfxfbx ???，即 )(xf 在 bx? 處左連續(xù)． 綜上 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，又由于 0)()( ?bfaf ，所以根據根的存在定理知，存在),( ba?? 使得 0)( ??f ． 7 函數 )(xf 的定義域為 ),2()2,1()12,12(0, ????????? ???? ???kZk kk．顯然 )(xf 的間 斷點只可能是 )0,(12 ???? kZkkx ， 0?x 和 2?x ． 18 由于 )(xf 在區(qū)間 )0,)(12,12( ???? kZkkk ， )0,1(? ， )2,0( ， ,2( ?? 內 是初等函數，因此 )(xf 在這些區(qū)間上連續(xù)． 對于 2?x ， ???? 4222lim xx，則有42s in)( 222 limlim ?? ?? xxf xx不存在，但是在 1?到 1 之間來回振蕩， 因此 2?x 是 )(xf 的第二類間斷點中的 振蕩 間斷點． 對于 0?x ， 21s i n42s i n)( 200 l i ml i m ???? ?? ?? xxf xx， 02c o s)1()( limlim00????? ?? xxxxfxx ?， 即左右極限存在但不相等 , 因此 0?x 是 )(xf 的第一類間斷點中的跳躍間斷點． 對于 1??x , )1(2c o s)1(2c o s)1()( limlimlim0111 ??????????? ? tttxxxxftxtxx ?? ????2)1(22)1(2s i n)1( l i ml i ml i m000???????????tttttttttt ， 因此 1??x 是 )(xf 的第一類間斷點中的可去間斷點． 對于 )1,(12 ????? kZkkx ， ???????? xxxxfkxkx 2c o s)1()( li mli m