高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽練習(xí)題(編輯修改稿)
2025-02-11 09:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 區(qū)間的可加性,把中的絕對(duì)值符號(hào)去掉以便求導(dǎo)數(shù).解 (1)因?yàn)槿我? 有所以 因, 所以, 故單調(diào)增加.(2) 則因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), , 故是唯一駐點(diǎn), 由知, 是的最小值點(diǎn).(3) 由已知條件,即有為方便起見(jiàn),將改寫(xiě)為,即上式兩邊對(duì)求導(dǎo), 得因?yàn)?所以, 由此解得由得故13. 計(jì)算積分分析 注意被積函數(shù)在時(shí)不連續(xù), 是廣義積分的計(jì)算. 另外在去絕對(duì)值時(shí)注意要寫(xiě)出正確的表達(dá)式.解 因?yàn)? 所以,因此14. 設(shè)平面上有正方形及直線若表示正方形位于直線左下方部分的面積, 試求分析 本題考查求函數(shù)表達(dá)式及分段函數(shù)的定積分.解 由的定義可知: 所以, 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí), .因此15. 求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)分析 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(用兩個(gè)函數(shù)乘積的階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式或泰勒展開(kāi).解法1 由萊布尼茲公式得 [因?yàn)閉所以 因此 解法2 由麥克勞林公式所以 , 比較前的系數(shù)知: 因此16. 設(shè)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且,單調(diào)增加,試證:在內(nèi)也單調(diào)增加.分析 當(dāng)知道在內(nèi)可導(dǎo),又知(或)的命題,通常要利用拉格朗日中值定理, 將寫(xiě)成: (或) ,在與(或與)之間.證明 因?yàn)?當(dāng)時(shí)), 又由于單調(diào)增加,有(當(dāng)時(shí)), 所以 故在內(nèi)也單調(diào)增加., 證明分析 原命題證明 作輔助函數(shù)因?yàn)樗? 當(dāng)時(shí), 單調(diào)增加.故 當(dāng)時(shí), 即, 亦即18. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)大于零,并滿足(為常數(shù)), 又曲線與所圍成的圖形S的面積值為2 , 求函數(shù), 并問(wèn)為何值時(shí), 圖形S繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.分析 依據(jù)已知條件得到函數(shù)關(guān)系, 它在上連續(xù). 由, 若只有一個(gè)駐點(diǎn), 即是所求的最小值點(diǎn).解 當(dāng)時(shí), 解方程得 由圖形S的面積為 得, 因此, 于是旋轉(zhuǎn)體的體積分 由是唯一的駐點(diǎn) (或)故當(dāng)時(shí), 旋轉(zhuǎn)體的體積最小., 計(jì)算.分析 利用求出的表達(dá)式, 后面的不定積分計(jì)算較簡(jiǎn)單.本題也可直接作積分變換.解法1 設(shè), 則, 所以因此.
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