【文章內容簡介】 。． （ 2）如圖，連接 BC． ∵ AB 是直徑， ∠ ACB=90176。， ∴ 在 Rt△ ACB 中， AB=6， ∠ BAC=30176。， 可得 AC=ABcos∠ BAC=6 cos30176。=3 ． 又 ∵△ PAC 是等邊三角形， ∴ PA=AC=3 ． 23．已知： △ ABC． （ 1）求作： △ ABC 的外接圓，請保留作圖痕跡； （ 2）至少寫出兩條作圖的依據(jù)． 【考點】 作圖 —復雜作圖；三角形的外接圓與外心． 【分析】 （ 1）分別作出線段 AB、 BC 的垂直平分線，畫出外接圓即可； （ 2）根據(jù)線段垂直平分線的性質即可得出結論． 【解答】 解：（ 1）如圖 ⊙ O 即為所求； 第 23 頁（共 60 頁） （ 2）作圖依據(jù)： ① 到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上； ② 垂直平分線上一點到線段的兩個端點距離相等． 四、解答題（本題共 22 分，第 24 至 25 題，每小題 5 分，第 26 至 27 題，每小題 5 分） 24．青青書店購進了一批單價為 20 元的中華傳統(tǒng)文化叢書．在銷售的過程中發(fā)現(xiàn)，這種圖書每天的銷售數(shù)量 y（本）與銷售單價 x（元）滿足一次函數(shù)關系：y=﹣ 3x+108（ 20＜ x＜ 36）．如果銷售這種圖書每天的利潤為 p（元），那么銷售單價定為多少元時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 【考點】 二次函數(shù)的應用． 【分析】 根據(jù) “總利潤 =單件利潤 銷售量 ”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點式可得最值情況． 【解答】 解： p=（ x﹣ 20）（﹣ 3x+108） =﹣ 3x2+168x﹣ 2160=﹣ 3（ x﹣ 28） 2+192， ∵ 20＜ x＜ 36，且 a=﹣ 3＜ 0， ∴ 當 x=28 時， y 最大 =192． 答：銷售單價定為 28 元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是 192 元． 25．如圖，將一個 Rt△ BPE 與正方形 ABCD 疊放在一起，并使其直角頂點 P 落在線段 CD 上（不與 C， D 兩點重合），斜邊的一部分與線段 AB 重合． （ 1）圖中與 Rt△ BCP 相似的三角形共有 3 個，分別是 Rt△ EPB， Rt△ PDF，Rt△ EAF ； （ 2）請選擇第（ 1）問答案中的任意一個三角形，完成該三角形與 △ BCP 相似的第 24 頁（共 60 頁） 證明． 【考點】 相似三角形的判定；正方形的性質． 【分析】 （ 1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到 Rt△ EPB， Rt△ PDF， Rt△ EAF 均與Rt△ BCP 相似； （ 2） Rt△ BCP∽ Rt△ EPB．利用 “兩角法 ”證得結論即可． 【解答】 解：（ 1）圖中與 Rt△ BCP 相似的三角形共有 3 個，分別是 Rt△ EPB，Rt△ PDF， Rt△ EAF； 故答案是： 3； Rt△ EPB， Rt△ PDF， Rt△ EAF； （ 2）答案不唯一，如： ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴∠ ABP+∠ PBC=∠ C=90176。． ∵∠ PBC+∠ BPC=90176。， ∴∠ ABP=∠ BPC． 又 ∵∠ BPE=∠ C=90176。， ∴ Rt△ BCP∽ Rt△ EPB． 26．有這樣一個問題：探究函數(shù) y= 的圖象與性質．小美根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù) y= 的圖象與性質進行了探究．下面是小美的探究過程，請補充完整： （ 1）函數(shù) y= 的自變量 x 的取值范圍是 x≥ ﹣ 2 且 x≠ 0 ； （ 2）下表是 y 與 x 的幾組對應值． 第 25 頁（共 60 頁） x ﹣ 2 ﹣ ﹣ 1 ﹣ 1 2 3 4 … y 0 ﹣ ﹣ 1 ﹣ m … 求 m 的值； （ 3）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點．根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象； （ 4）結合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質： 當﹣ 2≤ x＜ 0 或 x＞ 0 時， y隨 x 增大而減小 ． 【考點】 反比例函數(shù)的圖象；函數(shù)自變量的取值范圍． 【分析】 （ 1）根據(jù)被開方數(shù)非負以及分母不為 0 即可得出關于 x 的一元一次不等式組，解之即可得出結論； （ 2）將 x=2 代入函數(shù)解析式中求出 m 值即可； （ 3）連點成線即可畫出函數(shù)圖象； 第 26 頁（共 60 頁） （ 4）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可尋找到函數(shù)具有單調性． 【解答】 解：（ 1）由題意得： ， 解得： x≥ ﹣ 2 且 x≠ 0． 故答案為： x≥ ﹣ 2 且 x≠ 0． （ 2）當 x=2 時， m= =1． （ 3）圖象如圖所示． （ 4）觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：當﹣ 2≤ x＜ 0 或 x＞ 0 時， y 隨 x 增大而減小． 故答案為：當﹣ 2≤ x＜ 0 或 x＞ 0 時， y 隨 x 增大而減小． 27．如圖，以 △ ABC 的邊 AB 為直徑作 ⊙ O，與 BC 交于點 D，點 E 是弧 BD 的中點，連接 AE 交 BC 于點 F， ∠ ACB=2∠ BAE． （ 1）求證： AC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 sinB= ， BD=5，求 BF 的長． 【考點】 切線的判定． 第 27 頁（共 60 頁） 【分析】 （ 1）連接 AD，由圓周角定理得出 ∠ 1=∠ 2．證出 ∠ C=∠ BAD．由圓周角定理證出 ∠ DAC+∠ BAD=90176。，得出 ∠ BAC=90176。，即可得出結論． （ 2）過點 F作 FG⊥ AB于點 G．由三角函數(shù)得出 ，設 AD=2m，則 AB=3m，由勾股定理求出 BD= m．求出 m= ．得出 AD= ， AB= ．證出 FG=FD．設BF=x，則 FG=FD=5﹣ x．由三角函數(shù)得出方程，解方程即可． 【解答】 （ 1）證明：連接 AD，如圖 1 所示． ∵ E 是 弧 BD 的中點， ∴ ， ∴∠ 1=∠ 2． ∴∠ BAD=2∠ 1． ∵∠ ACB=2∠ 1， ∴∠ C=∠ BAD． ∵ AB 為 ⊙ O 直徑， ∴∠ ADB=∠ ADC=90176。． ∴∠ DAC+∠ C=90176。． ∵∠ C=∠ BAD， ∴∠ DAC+∠ BAD=90176。． ∴∠ BAC=90176。． 即 AB⊥ AC． 又 ∵ AC 過半徑外端， ∴ AC 是 ⊙ O 的切線． （ 2）解：過點 F 作 FG⊥ AB 于點 G．如圖 2 所示： 在 Rt△ ABD 中， ∠ ADB=90176。， ， 設 AD=2m，則 AB=3m， 由勾股定理得： BD= = m． ∵ BD=5， ∴ m= ． ∴ AD= ， AB= ． 第 28 頁（共 60 頁） ∵∠ 1=∠ 2， ∠ ADB=90176。， ∴ FG=FD． 設 BF=x，則 FG=FD=5﹣ x． 在 Rt△ BGF 中， ∠ BGF=90176。， ， ∴ ． 解得： =3． ∴ BF=3． 五、解答題（本題共 15 分，第 28 題 7 分，第 29 題 8 分） 28．已知拋物線 G1： y=a（ x﹣ h） 2+2 的對稱軸為 x=﹣ 1，且經(jīng)過原點． （ 1）求拋物線 G1 的表達式； （ 2）將拋物線 G1 先沿 x 軸翻折，再向左平移 1 個單位后，與 x 軸分別交于 A，B 兩點（點 A 在點 B 的左側），與 y 軸交于 C 點，求 A 點的坐標； （ 3）記拋物線在點 A， C 之間的部分為圖象 G2（包含 A， C 兩點），如果直線 m：y=kx﹣ 2 與圖象 G2 只有一個公共點，請結合函數(shù)圖象，求直線 m 與拋物線 G2 的對稱軸交點的縱坐標 t 的值或范圍． 第 29 頁（共 60 頁） 【考點】 拋物線與 x 軸的交點；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】 （ 1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可； （ 2）根據(jù)關于 x 軸對稱的點的坐標特征即可求得； （ 3）求出直線 y=kx﹣ 2 的解析式，再結合圖象和點的坐標即可得出答案． 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物線 G1： y=a（ x﹣ h） 2+2 的對稱軸為 x=﹣ 1， ∴ y=a（ x+1） 2+2， ∵ 拋物線 y=a（ x+1） 2+2 經(jīng)過原點， ∴ a（ 0+1） 2+2=0． 解得 a=﹣ 2， ∴ 拋物線 G1 的表達式為 y=﹣ 2（ x+1） 2+2=﹣ 2x2﹣ 4x； （ 2）由題意得，拋物線 G2 的表達式為 y=2（ x+1+1） 2﹣ 2=2x2+8x+6． ∴ 當 y=0 時， x=﹣ 1 或﹣ 3． ∴ A（﹣ 3， 0）； （ 3）由題意得，直線 m： y=kx﹣ 2 交 y 軸于點 D（ 0，﹣ 2）， 由拋物線 G2 的解析式 y=2x2+8x+6，得到頂點 E（﹣ 2，﹣ 2）， 當直線 y=kx﹣ 2 過 E（﹣ 2，﹣ 2）時與圖象 G2 只有一個公共點，此時 t=﹣ 2， 當直線 y=kx﹣ 2 過 A（﹣ 3， 0）時 把 x=﹣ 3 代入 y=kx﹣ 2， k= ， 第 30 頁（共 60 頁） ∴ ， 把 x=﹣ 2 代入 ， ∴ y= ，即 t= ， ∴ 結合圖象可知 t=﹣ 2 或 ． 29．如圖，對于平面直角坐標系 xOy 中的點 P 和線段 AB，給出如下定義：如果線段 AB 上存在兩個點 M， N，使得 ∠ MPN=30176。，那么稱點 P 為線段 AB 的伴隨點． （ 1）已知點 A（﹣ 1， 0）， B（ 1， 0）及 D（ 1，﹣ 1）， E（ ，﹣ ）， F（ 0， 2+）， ① 在點 D， E， F 中，線段 AB 的伴隨點是 D、 F ； ② 作直線 AF，若直線 AF 上的點 P（ m， n）是線段 AB 的伴隨點，求 m 的取值范圍； （ 2）平面內有一個腰長為 1 的等腰直角三角形，若該三角形邊上的任意一點都第 31 頁（共 60 頁） 是某條線段 a 的伴隨點，請直接寫出這條線段 a 的長度的范圍． 【考點】 三角形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)伴隨點的定義，觀察圖象即可判定． （ 2）以 AB 為一邊，在 x 軸上方、下方分別構造等邊 △ ABO1 和等邊 △ ABO2，分別以點 O1，點 O2 為圓心，線段 AB 的長為半徑畫圓，求出兩圓與直線 AF 的交點的位置，即可解決問題． （ 3）如圖， △ DEF 的腰長為 1 的等腰直角三角形， ⊙ O 是 △ DEF 的外接圓， △OAB 是等邊三角形，根據(jù)伴隨點的定義可知， △ DEF 的邊上任意一點都是線段AB 的伴隨點，求出 AB 的長即可解決問題． 【解答】 解：（ 1） ① 根據(jù)伴隨點的定義卡 D、 F 是線段 AB 的伴隨點； 故答案為 D、 F． ② 以 AB 為一邊，在 x 軸上方、下方分別構造等邊 △ ABO1 和等邊 △ ABO2， 分別以點 O1，點 O2 為圓心，線段 AB 的長為半徑畫圓， ∵ 線段 AB 關于 y 軸對稱， ∴ 點 O1，點 O2 都在 y 軸上． ∵ AB=AO1=2， AO=1， ∴ OO1= ， ∴ O1（ 0， ）， 同理 O2（ 0， ）． ∵ F（ 2+ ， 0）， ∴ O1F=2+ ﹣ =2， ∴ 點 F 在 ⊙ O1 上． 第 32 頁（共 60 頁） 設直線 AF 交 ⊙ O2 于點 C， ∴ 線段 FC 上除點 A 以外的點都是線段 AB 的 “伴隨點 ”， ∴ 點 P（ m， n）是線段 FC 上除點 A 以外的任意一點， 連接 O2C，作 CG⊥ y 軸于點 G， ∵ 等邊 △ O1AB 和等邊 △ O2AB，且 y 軸垂直 AB， ∴∠ AO1B=∠ AO2B=∠ O1AB=∠ O2AB=60176。， ∠ AO1O=∠ AO2O=30176。， ∵ O1A=O1F， ∴∠ AFO1=∠ FAO1=15176。， ∴∠ CAO2=∠ AFO2+∠ AO2F=15176。+30176。=45176。， ∵ O2A=O2C， ∴∠ CAO2=∠ ACO2=45176。， ∴∠ O2CG=180176。﹣ ∠ CFG﹣ ∠ FGC﹣ ∠ ACO2=30176。， ∴ CG=O2C?cos30176。=2 = ， ∴ ﹣ ≤ m≤ 0，且 m≠ ﹣ 1． （ 2）如圖 △ DEF 的腰長為 1 的等腰直角三角形， ⊙ O 是 △ DEF 的外接圓， △ OAB是等邊三角形， ∵∠ G= ∠ AOB=30176。， ∴ 根據(jù)伴隨點的定義可知， △ DEF 的邊上任意一點都是線段 AB 的伴隨點， ∵ EF= = ， ∴ AB=OA=OE= ， ∴ a 時， △ DEF 的邊上任意一點都是線段 AB 的伴隨點． 第 33 頁（共 60 頁） 九