【文章內(nèi)容簡介】 連續(xù)，所以 只能用一次洛比達(dá)法則 ，再用二階導(dǎo)數(shù)的分析定義 ） 習(xí)題 3— 3（ A） 1． 判斷下列敘述是否正確？并說明理由： （ 1）只要函數(shù)在點(diǎn) 0x 有 n 階導(dǎo)數(shù)，就一定能寫出該函數(shù)的泰勒多項(xiàng)式．一個函數(shù)的泰勒多項(xiàng)式永遠(yuǎn)都不會與這個函數(shù)恒等，二者相差一個不恒為零的余項(xiàng)； （ 2） 一個函數(shù)在某點(diǎn)附近展開 帶有拉格朗日余項(xiàng) 的 n 階 泰勒公式是它的 n 次 泰勒多項(xiàng)式加上 與該函數(shù)的 n 階 導(dǎo)數(shù)有關(guān)的所謂拉格朗日型 的余項(xiàng) ； （ 3）在應(yīng)用泰勒公式時，一般用帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式比較方便． 答： （ 1）前者正確 ，其根據(jù)是泰勒多項(xiàng)式的定義； 后者不正確 ． 當(dāng) )(xf 本身是一個 n 次多項(xiàng)式時，有 0)( ?xRn ，這時函數(shù)的泰勒多項(xiàng)式恒等于這個函數(shù) ． （ 2） 不正確 ． 拉格朗日型的余項(xiàng) 與函數(shù) )(xf 的 1?n 階導(dǎo)數(shù)有關(guān) ． （ 3）不正確 ． 利用泰勒公式求極限時就要用帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式 ，一般在對余項(xiàng)進(jìn)行定量分析時使用帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，在對余項(xiàng)進(jìn)行定性分析時使用帶皮亞諾 型余項(xiàng)的泰勒公式 ． 2． 寫出函數(shù) xxf arctan)( ? 的帶有佩 亞諾型余項(xiàng)的三階麥克勞林公式． 解： 因?yàn)?1 1)( xxf ???，)1( 2)( 2xxxf ?????，322)1( 62)( x xxf ???????，于是 2)0(0)0(1)0(0)0( ??????????? ffff ，， ， 代入到 )(!3 )0(!2 )0()0()0()( 332 xoxfxfxffxf ?????????? 中， 得 )(3a rc t a n 33 xoxxx ??? ． 3． 按 1?x 的乘冪形式改寫多項(xiàng)式 1)( 234 ????? xxxxxf ． 解： 因?yàn)?1234)( 23 ????? xxxxf ， 2612)( 2 ????? xxxf ， 624)( ????? xxf ，24)()4( ?xf ，更高階導(dǎo)數(shù)都為零，于是 ，， 20)1(10)1(5)1( ?????? fff 30)1( ????f ， 24)0()4( ?f ，將其帶入到 )()1(!4 )1()1(!3 )1()1(!2 )1()1)(1()1()( 44)4(32 xRxfxfxfxffxf ??????????????? 中， 得 432 )1()1(5)1(10)1(105)( ????????? xxxxxf （其中 5)5(4 )1(!5 )()( ?? xfxR ?恒為零） ． 4． 將函數(shù) 1)( ?? xxxf 在 1x? 點(diǎn)展開為帶有佩 亞諾型余項(xiàng)的三階泰勒公式． 解： 因?yàn)?111)( ??? xxf ，則2)1( 1)( ??? xxf，3)1( 2)( ????? xxf，4)1( 6)( ????? xxf， 于是 83)1(41)0(41)1(21)1( ??????????? ffff ，， ，將其帶入到 ))1(()1(!3 )1()1(!2 )1()1)(1()1()( 332 ?????????????? xoxfxfxffxf 中，得 ))1((16 )1(8 )1(4 1211 332 ?????????? xoxxxxx ． 5． 寫出函數(shù) xxxf e)( ? 的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的 n 階麥克勞林公式． 解： 因?yàn)?)(e)()( kxxf xk ?? （ 1321 ?? nn，，， ? ）（參見習(xí)題 （ B） 3）， 于是， kf k ?)0()( （ nk ，， ?210? ）， ??? ?? 1)1()!1( )()( nnn xn xfxR ? 1)!1( e)1( ???? nx xn xn?? ，將其帶入到 )(! )0(!2 )0()0()0()( )(2 xRxnfxfxffxfnnn ???????? ?，得 132 )!1( e)1()!1(!2e ??????????? nxnx xn xnn xxxxx ??? )10( ??? ． 6． 將函數(shù) xxf 1)( ? 按 ( 1)x? 的乘冪展開為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的 n 階泰勒公式． 解： 因?yàn)?)( !)1()( ??? kkk x kxf ，于是 !)1()( kf k ??? （ 13210 ?? nnk ，，， ? ） ， 12 11211)1( )1()1()1()!1( )!1()1()1()!1( )()( ?? ?????? ????? ?????? nn nnnnnnn xxn nxnfxR ???，將其代入到中)()1(! )1()1(!2 )1()1)(1()1()( )(2 xRxnfxfxffxf nnn ??????????????? ?，得 2112 )1()1()1()1()1(11??? ????????????nnnn xxxxx ??（ ? 介于 1? 與 x 之間） ． 習(xí)題 3— 3（ B） 1． 為了修建跨越沙漠的高速公路，測量員測量海拔高度差時，必須考慮地球是一個球體而表面不是水平，從而對測量的結(jié)果加以修正． （ 1）如果 R 表示地球的半徑， L 是高速公路的長度．證明修正量為 RRLRC ?? sec ． (2)利用泰勒公式證明 342 2452 RLRLC ?? ． （ 3）當(dāng)高速公路長 100 公里時，比較（ 1）和（ 2） 中兩個修正量（地球半徑取 6370 公里）． 證明 ： （ 1）由 ?RL? ，有 RL?? ，又在直角三角形 ODB 中， CRR???cos ，于是 RCRL ??? 1s e cs e c ? ，由此得 RRLRC ?? sec ． （ 2） 先將 xxf sec)( ? 展開為 4 階麥克勞林公式，為此求得 xxxf tansec)( ?? ， xxxxf 32 s e ct a ns e c)( ???? ， xxxxxf t a ns e c5t a ns e c)( 33 ????? ， xxxxxxf 5234)4( s e c5t a ns e c18t a ns e c)( ??? ， ，，， 5)0(0)0(1)0(0)0(1)0( )4( ??????????? fffff 于是 )(245211s e c442 xRxxx ????；當(dāng) 1??x 時， 42 245211s e c xxx ??? ， 取 RLx? ， 得4422 24521s e c RLRLRL ??? ，于是 ??? RRLRC sec 342 2452 RLRL ? ． （ 3） 按公式 RRLRC ?? sec 計(jì)算，得修正量為 )1( ?C ， 按公式342 2452 RLRLC ?? 計(jì)算，得修正量為 )2( ?C ， 它們相差大約為 0 0 0 0 0 0 1 7 )2()1( ?? CC ． 2． 寫出函數(shù) 21 2e)( xxf ?? 的帶佩 亞諾型余項(xiàng)的 n2 階麥克勞林公式． 解： 由 )(!!3!21e 32 nnt tontttt ??????? ?，令 22xt ?? ，得 )]2(!2)1(!62!42!221[eeee 223 62 42221 22 nnn nnxx xonxxxx ????????????? ?? ? )(]!)!2()1(!!6!!4!!21[e 22642 nnn xonxxxx ???????? ?， 按規(guī)律，由于 nx2 項(xiàng)的后一項(xiàng)為 22?nx ，所以余項(xiàng)也可以用 )( 12 ?nxo ． 3． 寫出函數(shù) xxf 2sin)( ? 的帶皮亞諾型余項(xiàng)的 m2 階麥克勞林公式． 解： xx 2c os2121sin 2 ?? )2()!2( )2()1(!6 )2(!4 )2(!2 )2(1[2121 222642 mmmn xom xxxx ????????? ? )()!2( 2)1(45231 22121642 mmmm xoxmxxx ??????? ???， 同上一題，余項(xiàng)也可以用 )( 12 ?mxo ． （注意：像 3 題用變量代換寫泰勒公式的方法只使用于帶有佩 亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，不適用帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，否則得到的余項(xiàng)不再是拉格朗日型余項(xiàng)） 4． 應(yīng)用三階泰勒公式計(jì)算下列各數(shù)的近似值，并估計(jì)誤差： （ 1） 330 ； （ 2） ?18sin ． 解： （ 1）取函數(shù) 3 1)( xxf ?? ，展開為三階麥克勞林 公式 ，有 3 1154323)1(3 108159311)( xxxxxxxf ??????????， 333 9/11332730 ????? ，現(xiàn)取 9/1?x ， )59049572912711(3303 ???? ， 誤差為 5443 10 ?????R， )(3)59049 5729 12711(3303 ????????? ； （ 2） 用 xsin 的麥克勞林公式，取 1018 ??? ?x ，得 53 )10(!5 )c os ()10(!311018s i n ???? x???? ，則 3)10(!311018sin ?? ??? ， 誤差為 553 )10(!51 ????? ?R 3 0 9 0 8 9 0 5 1 1 4 1 i n ????? ． 5． 利用泰勒公式求下列極限： （ 1）642/012/ec oslim 2x xx xx?? ??； （ 2） xx xxxxx sin)1(sinelim 20???． 解： （ 1） 原式6463 6426642012/)](!32821[)](!62421[l i mxxxoxxxxoxxxx????????????? 3607)(360/7lim6660 ???? xxoxx． （ 2） 原式3233220)](6/)][(2/1[l i m x xxxoxxxoxxx????????? 31)(3/lim3330 ???? xxoxx． 6． 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ][ ba， 上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：有 )( ba，?? 使得 )(4 )()2(2)()( 2 ?fabbafbfaf ??????? ． 證明： 將函數(shù) )(xfy? 在 20 bax ??點(diǎn) 展開為一階泰勒公式， 有 20000 )(!2 )())(()()( xxfxxxfxfxf ???????? ?.（ ? 介于 x 與 0x 之間） 分別用 bxax ?? 、 代入上式，得 201000 )(!2 )())(()()( xafxaxfxfaf ???????? ? 4 )(!2 )(2)2()2( 21 bafbabafbaf ?????????? ?（ 21 baa ????） ， 202022 )(!2 )())(()()( xbfxbxfxfbf ???????? ? 4 )(!2 )(2)2()2( 22 abfabbafbaf ?????????? ?（ bba ???22 ?） ， 上兩式相加，得 ]2 )()([4 )()2(2)()( 212 ?? ffabbafbfaf ?????????? ， 由 )(xf? 連續(xù)，根據(jù)習(xí)題 17（ B） 4，得 )(2 )()( 21 ??? fff ???????? （ )( ba，?? ）， 于是， )(4 )()2(2)()( 2 ?fabbafbfaf ??????? ， 所以， 有 )( ba，?? 使得 )(4 )()2(2)()( 2 ?fabbafbfaf ??????? ． 7． 若函數(shù) )(xf 有二階導(dǎo)數(shù)， 0)( ??? xf ，且 1)(lim0 ?? xxfx，用泰勒公式證明 xxf ?)( . 證明： 由函數(shù) )(xf 可導(dǎo)，及 1)(lim0 ?? xxfx， 得 1)0(0)0( ??? ff ， ， 將 )(xf 展開為一階麥克勞林公式，有 22 )()( xfxxf ????? （ ? 介于 0 與 x 之間） ， 由 0)( ??? xf ，得 xxfxxf ????? 22 )()( ?． 8． 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ]20[， 上二次可微， )2()0( ff ? ，且 Mxf ??? )( ，對任何 ]20[ ，?x ，證明 Mxf ?? )( ． 證明： 對任何 ?x ]20[， ，將函數(shù) )(tfy? 在 xt? 點(diǎn) 展開為一階泰勒公式， 有 2)(