【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∵ ? ?0 , , 1 c os ( ) 1? ? ? ? ?? ? ? ? ?++， si n si n( ( ) ) si n( ) c os c os( ) si n si n( ) si n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ② 同理， s in s in ( ) s in? ? ? ?? ? ?， ③ 由 ① ， ② ， ③ 可得， 線段 MA、 NB、 PC 能構(gòu)成一個(gè)三角形 . （ III）第（Ⅱ）小 題中的三角形的外接圓面積是定值，且定值為4?. 不妨設(shè) ABC? ? ?? 的邊長(zhǎng)分別為 ? ?sin sin sin? ? ? ??、 、 ，其中角 A? 、 B? 、 C? 的對(duì)邊分別為? ?sin sin sin? ? ? ?? 、 、.則由余弦定理，得： 2 2 2s in s in s in ( )c o s2 s in s inA ? ? ? ???? ? ?? ? ? 2 2 2 2 2 2s in s in s in c o s c o s s in 2 s in c o s c o s s in2 s in s in? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? 2 2 2 2s in s in s in s in 2 s in c o s c o s s in2 s in s in? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? sin sin c os c os? ? ? ?? ? ? cos( )???? ? 因?yàn)?0 ??????????， ， 2，所以 (0, )? ? ??? ，所以 sin sin( )A ?????， 設(shè) ABC? ? ?? 的外接圓半徑為 R， 由正弦定理，得 s in ( )21s in s in ( )BCR A ?????? ?? ? ?? ?，∴ 12R ?， 所以 ABC? ? ?? 的外接圓的面積為4?. 7． 解： （Ⅰ） 設(shè)等差數(shù)列 }{na 的公差為 d． 由已知得 ? ? ? ?11143 6 1 5ada d a d????? ? ? ? ??? ，解得 1 31ad??? ??． 所以 an＝ a1＋ (n－ 1)d＝ n＋ 2． ． （Ⅱ） 由 （ Ⅰ ） 可得 bn＝ 2n＋ n， 所以 b1＋ b2＋ b3＋ … ＋ b10＝ (2＋ 1)＋ (22＋ 2)＋ (23＋ 3)＋ … ＋ (210＋ 10) ＝ (2＋ 22＋ 23＋ … ＋ 210)＋ (1＋ 2＋ 3＋ … ＋ 10) ＝ 2（ 1－ 210）1－ 2 ＋（ 1＋ 10） 102 ＝ (211－ 2)＋ 55 ＝ 211＋ 53＝ 2 101． 8． 解： （ Ⅰ ） 當(dāng) n＝ 1 時(shí)，由 (1－ q)S1＋ qa1＝ 1， 得 a1＝ 1． 當(dāng) n≥2時(shí)，由 (1－ q)Sn＋ qan＝ 1，得 (1－ q)Sn－ 1＋ qan－ 1＝ 1， 兩式相減得 an＝ qan－ 1， 即 qaann ??1， 又 q (q－ 1) ≠ 0， 所以 q ≠ 0， 且 q ≠ 1， 所以 {an}是以 1 為首項(xiàng)， q 為公比的等比數(shù)列，故 an＝ qn－ 1． （ Ⅱ ） 由（ Ⅰ ）可知 Sn＝ 1－ anq1－ q ，又 S3＋ S6＝ 2S9，得 1－ a3q1－ q ＋ 1－ a6q1－ q ＝ 2(1－ a9q)1－ q ， 化簡(jiǎn)得 a3＋ a6＝ 2a9，兩邊同除以 q 得 a2＋ a5＝ 2a8． 故 a2， a8， a5 成等 差數(shù)列． 9．解： （Ⅰ） 當(dāng) 1n? 時(shí)，由 212 1 1S ?? ， 得 1 0a? ． 當(dāng) 2n? 時(shí)， 2212 2 2 [ ( 1 ) ( 1 ) ] 2 2n n na S S n n n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1nan?? （ 2n? ）， ∵ 1 0 1 1a ? ? ? ， ∴ 1nan?? ． （ Ⅱ ） ∵22 2 1 1 ,(1 ) (1 ) ( 2 ) 2nna a n n n n? ? ? ?? ? ? ? ∴ 2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n nT b b b b b b?? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 2 2 1 1 1 1 1 1( 2 2 2 ) [ ( ) ( ) ( )2 4 4 6 2 2 2n nn??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?] 11 ( )1141 2 2 214nn?? ? ? ??1 1 4 1 1( ) .6 3 4 2 2n n? ? ? ? ? 10． 解： （Ⅰ） ∵ 21nna S n? ? ? ，令 1n? ，得 123a? ，1 32a?． ∵ 21nna S n? ? ? ，∴ 11 2( 1) 1nna S n??? ? ? ?， *( 2, )n n N?? 兩式相減，得 122nnaa???，整理11 12nnaa??? 112 ( 2)2nnaa?? ? ?， ( 2)n? ∴數(shù)列 { 2}na? 是首項(xiàng)為1 12 2a ? ??，公比為 12 的等比數(shù)列 ∴ 12 ( )2 nna ? ??，∴ 12 2n na ?? ． （Ⅱ） ∵ 112 1 2 1 2111 1 2 1 12 1 2 12 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1222nnnn n n n nnnnnnaa??? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??? 21 2 2 3 11 1 12 2 2nnna a a a a a ?? ? ? ? 2 3 3 4 1 21 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nn??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 21 1 13 2 1 3n?? ? ??． 11． 解： （Ⅰ） 設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q， 由題知 a1＝ 12， ∵ S1＋ a1， S2＋ a2， S3＋ a3成等差數(shù)列 ，∴ 2(S2＋ a2)＝ S1＋ a1＋ S3＋ a3， 變形得 S2－ S1＋ 2a2＝ a1＋ S3－ S2＋ a3， 即 3a2＝ a1＋ 2a3， ∴ 32q＝ 12＋ q2， 解得 q＝ 1 或 q＝ 12， 又 {an}為遞減數(shù)列 ， 于是 q＝ 12， ∴ an＝ a1qn－ 1＝ n)21( （Ⅱ） ∵ bn＝ an na2log ＝－ n n)21( ， ∴ Tn＝－ [1 21? +2 2)21(? + 1)21()1( ???? nn? nn )21(?? ] 12 Tn＝ － [1 2)21(? +2 3)21(? + nn )21()1( ???? 1)21( ??? nn ] 兩式相減得： 12Tn＝－ [21 + 2)21( + n)21(?? 1)21( ??? nn ] ＝－211])21(1[21?? n1)21( ??? nn ＝ 1)21()2( 1 ??? ?nn ∴ Tn＝ 2)21()2( ??? nn ∴ Tn＋ 2n＋ 2 ＝ n)21( ≥ 116， 解得 n≤4， ∴ n 的最大值為 4． 12． 解： （Ⅰ） 解法 1： 設(shè) ??nb 的公差為 d ， ???nb 為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 ? 0?d 且 56 bb? 由 385626168bbbb???? ??得 565626168bbbb???? ??解得??? ??141265bb ? 256 ??? bbd 22)5(212)5(5 ???????? nndnbb n ? 22 ?? nbn 解法 2：設(shè) ??nb 的公差為 d ， ???nb 為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 ? 0?d 由 385626168bbbb???? ??得 ? ?? ?1112 9 2 64 5 1 6 8bdb d b d????? ? ? ???解得??? ??241db ? 22)1(24)1(1 ???????? nndnbb n ? 22 ?? nbn （Ⅱ） 122 422 ?? ?? nnbn 由 2 3 11 2 3 12 2 2 2 2 2 nbnnnna a a a a? ?? ? ? ??? ? ? ? ???① 得 12 3 11 2 3 12 2 2 2 2 nbn na a a a ?? ?? ? ? ??? ? ? ?????????② ① ②得 nnnnn a 43442 1 ???? ? ， 2?n ? nna 23?? , 2?n 又 ? 8211 ??ba不符合上式 ???? ?? ?? 2 23 1 8 nnann 當(dāng) 2?n 時(shí) , ? ? ? ? 42321 2123822238 11232 ????????????????? ?? nnnnS ? 81?S 符合上式 ? 423 1??? ?nnS , *N?n 13．解： （Ⅰ） 當(dāng) 7x?時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù)是： 7， 8， 9， 12，所以平均數(shù)為 7 8 9 12 94x ? ? ???； 方差為 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 22 177 9 8 9 9 9 1 2 942s ??? ? ? ? ? ? ? ? ???． （Ⅱ） 記甲組 3名同學(xué)分別為 1?， 2， 3?，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為 ， 12， 11；乙組 4名同學(xué)分別為 1?， 2， 3?， 4，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為 9， 8， 9， 12 從學(xué)習(xí)次數(shù)大于 8的學(xué)生中選 名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有 15種，它們是： 12??， 13??，11??， 13??， 14??， 23??， 21??， 23??， 24??， 31??， 33??， 34??， 13??， 14??，34?? 用 C表示：“選出的 2名同學(xué)恰好分別在兩個(gè)圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于 20”這一事件，其中的結(jié)果有 5種，它們是： 14??， 24??， 23??， 21??， 34?? 故選出的 2名同學(xué)恰好分別在兩個(gè)圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)次數(shù)和大于 20的概率為? ? 51C 15 3? ? ? 14．解： （Ⅰ） 由直方圖知，成績(jī)?cè)?[50,80) 內(nèi)的頻率 0. 004 + 0. 018+ 0. 04 10 = 0. 62?（ ），所以中位數(shù)在 [70,80) 內(nèi)， 設(shè)中位數(shù)為 x ，則 0. 004 + 0. 018 10 + 0. 04 70) = ? ? ?（ ） （，解得77x? ，所以中位數(shù)是 77； 設(shè)平均數(shù)為 x ，則 = 5 5 0 .0 4 6 5 0 .1 8 7 5 0 .4 8 5 0 .3 2 9 5 0 .0 6 7 6 .8x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （Ⅱ） 由直方圖知，成績(jī)?cè)?? ?50,60內(nèi)的人數(shù)為： 50 10 0． 004=2，設(shè)成績(jī)?yōu)?x、 y 成績(jī)?cè)?[90， 100]的人數(shù)為 50 10 0． 006=3，設(shè)成績(jī)?yōu)?a、 b、 c， 若 ? ?, 5 0 , 6 0 ,m n x y? 時(shí) 只 有一種情況， 若 , [ 90 , 10 0]mn ? 時(shí) , 有 ab,bc,ac三種情況， 若 ? ?, 5 0 , 6 0 [ 9 0 , 1 0 0 ]mn 分 別 在 和內(nèi)時(shí)，有 xaxbxcyaybyc 共有 6 種情況，所以基本事件總數(shù)為 10 種， 事件“ | | 10mn??”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有 6 種 63(| | 1 0 ) .1 0 5P m n? ? ? ? ? 15．解：（Ⅰ）由題可知，第 2 組的頻數(shù)為 100 35??人，第 3 組的頻率為30 ?． 頻率分布直方圖如圖所示： （Ⅱ）因?yàn)榈? 5 組共有 60 名學(xué)生，所以利用分層抽樣在 60 名學(xué)生中抽取 6 名學(xué)生時(shí)，第 5 組抽取的人數(shù)分別為30 6360??、20 6260??、10 6160??，即第 5 組分別抽取 3 人、 2 人、 1 人． （Ⅲ）設(shè)第 3 組的 3 位同學(xué)為 1A， 2， 3A，第 4 組的 2 位同學(xué) 1B, 2,第 5 組的 1 位同學(xué)為 C,則從六位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)有 15 種可能 : ? ?12,AA,? ?13,AA,? ?11,AB,? ?12,AB,? ?1,AC,? ?23,AA,? ?21,AB,? ?22,AB,? ?2,AC,? ?31,AB,?