【文章內(nèi)容簡介】 } [ ( ) ]TTTTg g g g????? ? ? ? ? ?P I G G G GI x x x x0 6 .0 9 8? ?由上式可求得： 11 1 1 1 13 3 3 3[]( ) { [ ( ) ] ( ) } [ ( ) ]TTTTg g g g????? ? ? ? ? ?P I G G G GI x x x x? ?11 0 1 1 0 0[ 1 0] 1 00 1 0 0 0 1???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???本次迭代方向 1110()1()PfPf????????? ??xdxD為沿約束邊界 g3(x)=0的方向 ， 求最佳步長 2 1 111602. 09 1 1??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?x x d1 2 .9 0 9? ?求得： 265???????x? （ 4）收斂判斷： 由于 122122 10 3()24 0xxfxx?? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ????xJk={3， 5} 223511( ) 。 ( )01gg? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?xx代入 K— T條件： **1*()()0 ( 1 , 2 , , )( ) 0 ( 1 , 2 , , )0 ( 1 , 2 , , )mjjjiijjjgfinxxg j mjm?????? ?? ? ???????????????? xxx123 1 100 0 1???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?123 , 0????**6, ( ) 115f????????xx* 可行下降方向 1 可行方向 定義 設(shè)點 ，若對于方向 d ，存在任意小正數(shù) δ 0 ，使得 則稱 d 為 X (k) 點的一個可行方向。 i. （ 1） X (k) 為可行域中的一個內(nèi)點， X (k) 的任何方向均為可行方向。 ii. （ 2） X (k) 為可行域中的一個邊界點，設(shè) X (k) 在約束面 gi (X ) = 0 上。 ? ? DX k ?? ? ? ? ? ?11 ,k k kX X d X D???? ? ? ?? ?? ? 0Tkig X d??????i. （ 3） X (k) 為可行域中的一個外點 ， X (k) 的不存在可行方向 。 2 可行下降方向 定義 設(shè) d是 的一個可行方向，即 若對于上式中的 X (k) 、 X (k+1) 存在 則稱 d為 X (k) 點的一個可行下降方向。 i. （ 1） X (k) 為可行域中的一個內(nèi)點 ? ? DX k ?? ? ? ? ? ?11 ,k k kX X d X D???? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? 01 ?? ?kk XfXf[ ( ) ] 0k T kf??xd（ 2） X (k) 點是可行域中若干約束面的交點 設(shè) X (k) 點在約束面 gj (X ) = 0 ， j=1,2,…, J 若 dK 是 X (k) 點的一個可行下降方向，則應(yīng)有 可行： 下降： ? ?? ? 0 1 , 2 , ,kjg X j J??[ ( ) ] 0 ( 1 , 2 , , )k T kj jJ? ? ?g x d[ ( ) ] 0k T kf??xdi. （ 3） X (k) 為可行域中的一個外點 ， X (k) 的不存在可行下降方向 。 線性規(guī)劃的圖解法 ? Min z=3x1+x2 ? . x1+ x2≤6 ? x1+2x2≤8 ? 2 x1x2 ≤0 ? x1 ≥0, x2≥0 可行域 目標(biāo)函數(shù)等值線 最優(yōu)解 6 4 8 6 0 x1 x2 最優(yōu)解若存在，很可能就是可行域的頂點； 必須尋找一種代數(shù)方法，來解決高維的情況。 可行方向法對線性規(guī)劃問題的啟示 —— 單純形法 基本思想：通過構(gòu)造罰函數(shù)把約束問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束最優(yōu)化問題，進而用無約束最優(yōu)化方法去求解，這類方法稱為序列無約束最小化方法。簡稱為 SUMT法。 167。 55 懲罰函數(shù)法 將有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題來求解 。前提：一是不能破壞約束問題的約束條件 ， 二是使它歸結(jié)到原約束問題的同一最優(yōu)解上去 。 m i n ( ) ,. . ( ) 0 1 , 2 , ,( ) 0 1 , 2 , ,njkfRs t g j mh k l??????? ???xxxx 構(gòu)成一個新的目標(biāo)函數(shù) ， 稱為懲罰函數(shù) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 211( , , ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]mlk k k kjkijr r f r G g r H h???? ? ???x x x x? 從而有 ()11l i m [ ( ) ] 0mkikir G g????? x()21l i m [ ( ) ] 0lkjkjr H h????? x( ) ( ) ( )12l i m ( , , ) ( ) 0k k kk r r f??? ??xx懲罰項必須具有以下極限性質(zhì)： 求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值 ， 以期得到原問題的約束最優(yōu)解 。 按一定的法則改變罰因子 r1 和 r2的值 ，求得一序列的無約束最優(yōu)解 ， 不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解 。 根據(jù)約束形式和定義的泛函及罰因子的遞推方法等不同 ， 罰函數(shù)法可分為內(nèi)點法 、 外點法和混合罰函數(shù)法三種 。 這種方法是 1968年由美國學(xué)者 A． V．Fiacco和 G． P． Mcormick提出的 ， 把不等式約束引入數(shù)學(xué)模型中 ， 為求多維有約束非線性規(guī)劃問題開創(chuàng)了一個新局面 。 1. 內(nèi)點法 這種方法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi) ， 序列迭代點在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點 。 內(nèi)點法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題 。 m in ( )s . t . ( ) 0 ( 1 , 2 , , )jfg j m?? ???xx對于只具有不等式約束的優(yōu)化問題： 轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為： ()11( , ) ( )()mki ir f r g???? ?xx x()1( , ) ( ) l n[ ( ) ]mkiir f r g??? ? ??x x x或： rk是懲罰因子 ， 它是一個由大到小且趨近于 0的正數(shù)列 ，即 : 0 1 2 1 0kkr r r r r ?? ? ? ? ? ? 由于內(nèi)點法的迭代過程在可行域內(nèi)進行 ， “ 障礙項” 的作用是阻止迭代點越出可行域 。 由 “ 障礙項 ” 的函數(shù)形式可知 ， 當(dāng)?shù)c靠近某一約束邊界時 ， 其值趨近于 0， 而 “ 障礙項 ” 的值陡然增加 ， 并趨近于無窮大 ， 好像在可行域的邊界上筑起了一道 “ 高墻 ” ，使迭代點始終不能越出可行域 。 顯然 ， 只有當(dāng)懲罰因子 時 ， 才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解 。 0kr ? 罰因子的作用 是：由于內(nèi)點法只能在可行域內(nèi)迭代 ， 而最優(yōu)解很可能在可行域內(nèi)靠近邊界處或就在邊界上 ， 此時盡管泛函的值很大 ， 但罰因子是不斷遞減的正值 ， 經(jīng)多次迭代 ， 接近最優(yōu)解時 ， 懲罰項已是很小的正值 。 例 52 用內(nèi)點法求 2212m in ( )f x x??x1s . t . ( ) 1 0gx? ? ?x的約束最優(yōu)解。 解 : 用內(nèi)點法求解該問題時，首先構(gòu)造內(nèi)點懲罰函數(shù) : 221 2 1( , ) l n ( 1 )kr x x r x? ? ? ? ?x用解析法求函數(shù)的極小值 ， 運用極值條件： 1112220120krxxxxx????? ? ??????????? ??聯(lián)立求解得： 121 1 2()2( ) 0kkkrxrxr? ??? ??? ??11 1 2()2rxr ??? 時不滿足約束條件 1( ) 1 0g x x? ? ?應(yīng)舍去 。 無約束極值點為 *1*21 1 2()2( ) 0kkkrxrxr? ??? ??? ??當(dāng) 0 4r ? *0( ) [ 2 0 ] Txr ? *0( ( ) ) 4f x r ?0 ? *0( ) [ 1 . 4 2 2 0 ] Txr ? *0( ( ) ) 2 . 0 2 2f x r ?0 0 .3 6r ? *0( ) [ 1 . 1 5 6 0 ] Txr ? *0( ( ) ) 1 . 3 3 6f x r ?0 0r ? *0( ) [1 0 ] Txr ? *0( ( ) ) 1f x r ?? 1） 初始點 x0的選取 使用內(nèi)點法時 ， 初始點應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點 。 如太靠近某一約束邊界 ， 構(gòu)造的懲罰函數(shù)可能由于障礙項的值很大而變得畸形 ， 使求解無約束優(yōu)化問題發(fā)生困難 . 2） 懲罰因子初值 r0的選取 懲罰因子的初值應(yīng)適當(dāng) ， 否則會影響迭代計算的正常進行 。 一般而言 ， 太大 ， 將增加迭代次數(shù)；太小 ， 會使懲罰函數(shù)的性態(tài)變壞 ， 甚至難以收斂到極值點 。 無一般性的有效方法 。 對于不同的問題 ， 都要經(jīng)過多次試算 ， 才能決定一個適當(dāng) r0 3) 懲罰因子的縮減系數(shù) c的選取 在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時 ， 懲罰因子 r是一個逐次遞減到 0的數(shù)列 ， 相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為 : 1 ( 1 , 2 , . . . )rkr c r k??? 式中的 c稱為懲罰因子的縮減系數(shù) ， c為小于 1的正數(shù) 。一般的看法是 ， c值的大小在迭代過程中不起決定性作用 ， 通常的取值范圍在 ~ 。 4) 收斂條件 * * 1 11* 1 1[ ( ) , ] [ ( ) , ][ ( ) , ]k k k kkkr r r rrr??????????xxx* * 12( ) ( )kkrr ????xx算法步驟： 1） 選擇可行域內(nèi)初始點 X(0)。 2） 選取初始罰因子 r(0)與罰因子降低系數(shù) c， 并置 K← 0； 3） 求 minφ(x(K),r(K))解出最優(yōu)點 xK*； 4） 當(dāng) K=0轉(zhuǎn)步驟 5） ， 否則轉(zhuǎn)步驟 6） ； 5） K←K+ 1， r(K+1)←r (K)， xK+10←x K* ， 并轉(zhuǎn)步驟 3） ； 6） 按終止準(zhǔn)則判別 ， 若滿足轉(zhuǎn)步驟 7） ，