機(jī)械優(yōu)化設(shè)計講義(編輯修改稿)
2024-10-07 16:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ????? ???????? () 如果矩陣 A 既不是正 定的、負(fù)定的又不是半正定、半負(fù)定的，則稱 矩陣 A 是 不定 的 。 n元函數(shù)的梯度與方向?qū)?shù) n元函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x(k) 處沿 xi 坐標(biāo)軸方向的變化率是 f(x) 在該點(diǎn)對坐標(biāo) xi的偏導(dǎo)數(shù)，即 ),2,1(,)( )( nixfik ???? x 以這些偏導(dǎo)數(shù)為分量的 列向量 稱為 n 元函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x(k) 處 的 梯度 : Tnkkkkxfxfxff ?????????????? )(,)(,)()( )(2)(1)()( xxxx ? () n 元函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x(k)處沿任意方向（圖 ） ? ? ? ? TnTknnkkk xxxxxxxxx ?????????? ,, 21)()(22)(11)( ??xxS () 的變化率稱為 函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x(k)處沿方向 S 的 方向?qū)?shù) （標(biāo)量）。它被定義為 0 x2 x3 x1 S x(k) x Δ x3 Δ x1 Δ x2 圖 從點(diǎn) x(k)出發(fā)沿任意方向 S 到某點(diǎn) x SxSxSxSxSS)(l i m)()(l i m)( )(0)()(0)( kkkk ffff ????????? () 因為 S 的單位向量為 Tnxxx ???????? ?????SSSSSs , 21 ? () 根據(jù) f(x)的全增量公式 ? ?? ? SxSxxxxoxxfoxxfxxfxxffniiiknnkkkk?????????????????????? 1)()(22)(11)()()()()()()( ? () 所以 ? ?? ?SxxsxsxsxSSsxSSSxSxSxSSS),(c o s)(),(c o s)()()(lim)(lim)(lim)()()()()()()(01)(0)(0)(kkkkTkTkniiikkkfffffofoxxfff????????????????????????????????????????????? () 即函數(shù) f(x)在點(diǎn) x(k)處 沿方向 S 的變化率 等于 f(x)在該點(diǎn)處的 梯度與該方向的單位向量的內(nèi)積 ，并且等于該點(diǎn)梯度的長度在該方向上的投影。 因此，函數(shù) f(x)在點(diǎn) x(k)處沿方向 S 的變化率隨 S 與 該點(diǎn)梯度之間夾角的變化而變化。當(dāng) S 與梯度方向重合（夾角為零）時其值最大（ +），當(dāng) S 在負(fù)梯度方向（夾角為 180 o）時其值最小（ ）。當(dāng) S 與梯度方向垂直（夾角為 90o）時其值為零， 梯度方向是函數(shù)值上升最快的方向；負(fù)梯度方向是函數(shù)值下降最快的方向。 與梯度成銳角的方向是函數(shù)值上升的方向； 與梯度成鈍角 的方向是 函數(shù)值下降 的方向 （圖 ）。 如果 d∈ Rn 是 目標(biāo)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x(k)處的一個 下降方向 ， 必有 0)( )( ?? kT f xd () 如果 d∈ Rn 是點(diǎn) x(k)處的一個 可行方向 ， 必有 圖 梯度方向與等值面（線）的關(guān)系 變化率為 0 的方向 x1 x2 x(k) 0 上 升最快方向 下 降最快方向 )( )(kf x?1)( cf ?x12)( ccf ??x)( )(kf x??下 降方向 上 升方向 )( )(kf x?x(k) 1)( cf ?x Vvg kvT ??? 0)( )(xd () 在最優(yōu)點(diǎn) x*處，其可行方向不能同時下降方向，即 當(dāng) x(k) = x*時，式 ()與式 ()不能同時成立 。 n元 函數(shù)的泰勒展開式 記 ? ? ? ?TTkkk xxxxxx 21)(22)(11)( , ????????? xxx ， 二元函數(shù) f(x)在點(diǎn) x(k)處的 一階泰勒展開式 ： ? ?? ? xxxxxxxxx???????????????offoxxfxxfffTkkkkk)()()()()()()()(22)(11)()( () 二階泰勒展開式 ： x(k) g1(x)=0 g2(x)=0 g3(x)=0 D d )( )(kf x?f(x)=ci (a) x(k) g1(x)=0 g2(x)=0 g3(x)=0 D d )( )(1 kg x?)( )(2 kg x?(b) 圖 可行點(diǎn)的可行方向和在該點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)的下降方向 ? ?22222)(22121)(22121)(222)(11)()()()(2)(21)()()()(xxxxxxxx???????????????????????????????oxxfxxxxfxxfxxfxxfffkkkkkk () 把它寫成矩陣形式，為 ? ? ? ?? ?2)(2)()(22122)(212)(221)(221)(221212)(1)()()(21)()()()()()(21)(,)()()(xxxxxxxxxxxxxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????offfoxxxfxxfxxfxfxxxxxfxfffkTTkkkkkkkkk () 式中 ????????????????????????22)(212)(221)(221)(2)(2)()()()()(xfxxfxxfxff kkkkkxxxxx () 它被稱為二元函數(shù) f(x) 在 點(diǎn) x(k)處 的 海賽 (Hessian)矩陣 ，海賽矩陣是一個 對稱方陣 。 把二元函數(shù)的泰勒展開式推廣到 n 元函數(shù)，得 n 元函數(shù) f(x)在點(diǎn) x(k)處的 一階泰勒展開式 ： ? ?xxxxx ?????? offf Tkk )()()( )()( () 和 二階泰勒展開式 ： ? ?2)(2)()( )(21)()()( xxxxxxxx ?????????? offff kTTkk () 其中的 海賽矩陣 為 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )21 1 2 12 ( ) 2 ( ) 2 ( )2 ( ) 22 1 2 22 ( ) 2 ( ) 2 ( )212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )k k knk k kknk k kn n nf f fx x x x xf f ff x x x x xf f fx x x x x??? ? ???? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ???x x xx x xxx x x () 例 ： 已知二次函數(shù) cf TT ??? xbAxxx 21)( 其中 ? ? ? ?),2,1,(,,2122221112112121njiaaaaaaaaaaabbbxxxjiijnnnnnnTnTn??????????????????????????? Abx 求其梯度和海賽矩陣。 解 ?? ?? ??? ni iinji jiij cxbxxaf 11,21)( x 由 inj jijinj jjinj jijibxabxaxaxf ??????? ?????? 111 2121)( x 得 bAxxxxx ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnninnjjnjnjjjnjjjnbbbxxxaaaaaaaaabxabxabxaxfxfxff???????????2121212222111211121211121)()()()( 又由 njiabxaxxx f ijinj jijjji,2,1,)(12 ??????????? ?? ????? ?? x 得 Ax ???????????????nnnnnnaaaaaaaaaf???????2122221112112 )(
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