基于matlab約束優(yōu)化方法教學(xué)軟件包的設(shè)計(jì)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文(編輯修改稿)
2024-07-15 14:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 束邊界。因此，第二項(xiàng)使約束邊界成為探索點(diǎn)的一個(gè)不能跳出可行域之外的障礙，所以又稱為障礙項(xiàng)或障礙函數(shù)，也有稱圍墻函數(shù)的。由懲罰函數(shù)的表達(dá)式可知，對(duì)懲罰函數(shù)求無約束極值時(shí)，其結(jié)果將隨給定的懲罰因子而異。為了取得約束面上的最優(yōu)解，在迭代過程中就要逐漸減小懲罰因子的值，直至為零，這樣才能迫使的極值點(diǎn)X*()收斂到原函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)X*?？梢园衙看蔚蟮玫牡臒o約束極值的最優(yōu)解X*()看作是以為參數(shù)的一條軌跡，當(dāng)取……0且時(shí)，點(diǎn)列{X*()}就沿著這條軌跡趨于的約束最優(yōu)點(diǎn)。因此，懲罰因子又稱為懲罰參數(shù)。內(nèi)點(diǎn)法是隨著懲罰參數(shù)的遞減序列，使懲罰函數(shù)的無約束極值點(diǎn)X*()從可行域的內(nèi)部向原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)逼近，直到達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。2．2．1．2 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的迭代步驟：1) 取初始懲罰因子＞0(例如取＝1)，允許誤差c＞0；2) 在可行域內(nèi)選取初始點(diǎn)，令k＝l；3) 從點(diǎn)出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： 的極值點(diǎn)X*()； 4) 檢驗(yàn)迭代終止準(zhǔn)則：如果滿足 和 則停止迭代計(jì)算，并以X*()為原目標(biāo)函數(shù)的約束最憂解，否則轉(zhuǎn)入下一步；5) ?。紺，＝X*()，k＝k+1，轉(zhuǎn)向步驟3）。遞減系數(shù)C＝0．1一0．5，常取0．1，亦可取0．02。內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算程序框圖如圖22所示： 圖22 內(nèi)點(diǎn)法程序框圖2．2．1．3 應(yīng)注意的問題：1） 初始點(diǎn)的選擇因?yàn)閮?nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)，故要求嚴(yán)格滿足全部約束條件，且應(yīng)避免位于邊界上，即應(yīng)使。在機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，只要不顧及函數(shù)值的大小，這種點(diǎn)還是容易取得的。但當(dāng)約束條件多而復(fù)雜時(shí)，要確定一個(gè)初始可行點(diǎn)也并不十分容易。為此可先對(duì)設(shè)計(jì)問題估計(jì)一個(gè)初始點(diǎn)，這一點(diǎn)可能已滿足s個(gè)不等式約束條件，而剩下的(s1)個(gè)約束條件未滿足，即 先求{ }然后將作為目標(biāo)函數(shù)，求使受約束于 （u=1，2，…，s） （u=s+1，s+2，…，m）由此構(gòu)造懲罰函數(shù)并利用程序自身的懲罰函數(shù)法求它的極值點(diǎn)。在計(jì)算中一旦取得即可以停機(jī)以節(jié)省時(shí)間，這樣得到的點(diǎn)作為初始點(diǎn)至少比原初始點(diǎn)要多滿足一個(gè)約束條件。如此反復(fù)進(jìn)行下去，直到所有約束條件均滿足為止。求初始可行點(diǎn)的另一種常用方法，可按下述迭代計(jì)算步驟進(jìn)行：I） 任取一點(diǎn)，（例如取），令k=0；II） 定出下標(biāo)集與： III） 檢查是否為空集，若是則停止迭代，并取塞為初始內(nèi)點(diǎn)，否則進(jìn)行下一步；IV) 以為初始點(diǎn)，解問題受約束于 令所得的這個(gè)問題的最優(yōu)解為，轉(zhuǎn)下一步；V） 令＝ (C可取為0．1一0．5，常取0．1亦可取0．02)，令k＝k+1，轉(zhuǎn)向步驟II）。 還可以采用隨機(jī)選擇初始點(diǎn)的方法來尋找可行的初始點(diǎn)。2） 初始懲罰參數(shù)的選擇 的選擇對(duì)SUMT法的計(jì)算效率影響很大，在SUMT法中是個(gè)比較重要的環(huán)節(jié)，選擇時(shí)需有一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)。若值選得太小，則在新目標(biāo)函數(shù)即懲罰函數(shù)中懲罰項(xiàng)的作用就會(huì)很小，這時(shí)求的無約束極值，猶如求原目標(biāo)函數(shù)本身的無約束極值，而這個(gè)極值點(diǎn)又不大可能接近的約束極值點(diǎn)，且有跑出可行域的危險(xiǎn)。相反，若值取得太大，則開始幾次構(gòu)造的懲罰函數(shù)的無約束極值點(diǎn)就會(huì)離約束邊界很遠(yuǎn)，將使計(jì)算效率降低?？扇一50，但多數(shù)情況是取=1。通常，當(dāng)初始點(diǎn)是一個(gè)嚴(yán)格的內(nèi)點(diǎn)時(shí)，則應(yīng)使懲罰項(xiàng)在新目標(biāo)函數(shù)中所起的作用與原目標(biāo)函數(shù)的作用相當(dāng)，于是得 倘若約束區(qū)域是非凸的且初始點(diǎn)亦不靠近約束邊界，則的取值可更小些，約為上式算得值的0．1——0．5倍。當(dāng)初姑點(diǎn)是一個(gè)接近邊界的點(diǎn)時(shí)，按上式所求得的就會(huì)過小。這時(shí)應(yīng)當(dāng)加大值。但如果值又取得太大，則又會(huì)發(fā)生上述毛病。所以在求解時(shí)，應(yīng)對(duì)做幾次試算，以取得最合適值。2．2．2 DFP變尺度法懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法步驟3）中用到的無約束優(yōu)化算法為DFP變尺度法。變尺度法是無約束最優(yōu)化方法在最近二十多年來發(fā)展中最有影響的研究成果之一，它被公認(rèn)為求解無約束極值問題最有效的算法之一，這種方法是在牛頓法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。2．2．2．1 DFP變尺度法的原理牛頓法以及修正牛頓法雖然收斂很快，但是計(jì)算較繁，需要計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣(Hessian矩陣)的逆矩陣，即，才能求得探索方向即牛頓方向： 如果能設(shè)法構(gòu)造出一個(gè)對(duì)稱正定矩陣來代替，并在迭代過程中使逐漸逼近，那末就簡化了牛頓法的計(jì)算，且保持丁牛頓法收斂快的優(yōu)點(diǎn)，這就是變尺度法的基本思想。由于這一類方法的迭代形式與牛頓法類似。 變尺度法的法代公式為 式中： ——步長，可由式 求得； ——探索方向 ——nxn階對(duì)稱正定矩陣。因?yàn)樗怯脕泶娴?，而且從一次迭代到另一次迭代是變化的，故稱為變尺度矩陣。其遞推形式為 式中： E——校正矩陣，它應(yīng)只依賴于本次迭代的，和相應(yīng)的梯度，向量。在迭代過程中應(yīng)逐漸地逼近。如果能利用變尺度條件構(gòu)造出一個(gè)矩陣來代替，再如果 能用來表示，而其中校正矩陣又可用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示時(shí)，則只要知道(1)便可求出(2)，并依次求出(3)，(4)…，或者若已知，則可利用上式求出(k+1)，(k+2)，…。計(jì)算時(shí)可取(0)＝I，即第l步探索是用負(fù)梯度方向。W．C．Davido提出并經(jīng)過R．F1etcher和M．J．D．Powell修改的求校正矩陣的公式即所謂DFP公式為 因?yàn)閚 x n階對(duì)稱正定矩陣，故上式可寫為 式中 利用上式求出校正矩陣后，便可按式求出下一輪迭代的(k+1)。求出(k+1)后，便可按式的方法決定新的探索方向：可以證明，這樣產(chǎn)生的方向也是共扼方向，而且對(duì)于非二次函數(shù)來說，它比用其它方法產(chǎn)生的共輛方向共扼性更好。DFP變尺度法在函數(shù)的梯度向量容易求出的情況下，是非常有效的。對(duì)于多維(n＞100)問題，由于收斂快、效果亦佳，被認(rèn)為是無約束極值問題最好的優(yōu)化方法之一。但是計(jì)算的程序較復(fù)雜，且需要較大的存貯量，特別是在有舍入誤差時(shí)，也存在數(shù)值穩(wěn)定性不夠理想的情況。2．2．2．2 DFP變尺度法的計(jì)算步驟1) 選定初始點(diǎn)并給定計(jì)算精度，維數(shù)n；2) 置k＝0，＝(0)＝I(單位矩陣)，計(jì)算，這時(shí)探索方向?yàn)椋? = 3) 進(jìn)行一維探索求，使 4) 計(jì)算，如果＜，則即
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