【正文】 字說(shuō)明等對(duì)象（Objects）構(gòu)成的一個(gè)用戶界面。MATLAB(MATrix LABoratory)是功能十分強(qiáng)大的工程計(jì)算及數(shù)值分析軟件。懲罰函數(shù)外點(diǎn)法將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束優(yōu)化問題，初始點(diǎn)可任意選，罰因子應(yīng)取為單調(diào)遞增數(shù)列，初試罰因子及遞增系數(shù)應(yīng)取適當(dāng)?shù)慕檀笾?。常取C＝0．1。2) 在可行域內(nèi)選擇一個(gè)嚴(yán)格滿足所有不等式約束的初始點(diǎn)。根據(jù)Fiacco等建議的關(guān)系式 將懲罰因子統(tǒng)一用表示，則混合法的懲罰函數(shù)又可表達(dá)為或 當(dāng)受約束于時(shí)，則混合法的懲罰函數(shù)的表達(dá)式為或混合法與內(nèi)點(diǎn)法及外點(diǎn)法一樣，屆于序列無(wú)約束極小化(SUMT)方法中的一種。5） 檢驗(yàn)＞R？若＞R，再用靠近約束面附近的條件極值點(diǎn)的移動(dòng)距離作為迭代終止準(zhǔn)則來(lái)檢驗(yàn)，即當(dāng) 時(shí)，則停止迭代；若或上式不成立，則取=C；=；k=k+1，并轉(zhuǎn)向步驟2）。2．2．3．2 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法的迭代步驟：1） 選擇參數(shù)：初始懲罰因子＞0(例如?。?)；允許誤差 (均應(yīng)大于零)；遞增系數(shù)C(C＝，C＝5一10，可取8)；初始點(diǎn) (可在可行域外部或內(nèi)部任意選擇，不論怎樣選擇，的無(wú)約束極值點(diǎn)均在可行域外)；懲罰因子的控制量R，當(dāng)＞R時(shí)即可判別是否達(dá)到收斂精度要求。同樣有： 0……(當(dāng)時(shí))在懲罰項(xiàng)中：(當(dāng)時(shí)) 當(dāng)約束條件中尚包括 (v＝1，2，…，p)的等式約束時(shí)，則在式中的右邊尚需加進(jìn)第三項(xiàng)——懲罰項(xiàng)。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)受約束于的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題．利用外點(diǎn)法求解時(shí)，作為無(wú)約束新目標(biāo)函數(shù)的懲罰函數(shù)，其一般表達(dá)式為 式中右邊第二項(xiàng)——懲罰項(xiàng)； ——構(gòu)造懲罰項(xiàng)函數(shù)的指數(shù)，其值將影響函數(shù)等值線在約束面處的性質(zhì)，一般?。?； ——懲罰因子，是大于零的一個(gè)遞增數(shù)列，即應(yīng)滿足： 0…… (當(dāng)時(shí)）在懲罰項(xiàng)中：(當(dāng)時(shí)） 由此可見，當(dāng)探索點(diǎn)在可行城內(nèi)時(shí)，懲罰項(xiàng)為零；若不在可行域內(nèi)，則不為零，且愈大，則受到的“懲罰”亦愈大。對(duì)于多維(n＞100)問題，由于收斂快、效果亦佳，被認(rèn)為是無(wú)約束極值問題最好的優(yōu)化方法之一。計(jì)算時(shí)可取(0)＝I，即第l步探索是用負(fù)梯度方向。因?yàn)樗怯脕?lái)代替的，而且從一次迭代到另一次迭代是變化的，故稱為變尺度矩陣。變尺度法是無(wú)約束最優(yōu)化方法在最近二十多年來(lái)發(fā)展中最有影響的研究成果之一，它被公認(rèn)為求解無(wú)約束極值問題最有效的算法之一，這種方法是在牛頓法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。這時(shí)應(yīng)當(dāng)加大值。相反，若值取得太大，則開始幾次構(gòu)造的懲罰函數(shù)的無(wú)約束極值點(diǎn)就會(huì)離約束邊界很遠(yuǎn)，將使計(jì)算效率降低。求初始可行點(diǎn)的另一種常用方法，可按下述迭代計(jì)算步驟進(jìn)行：I） 任取一點(diǎn)，（例如取），令k=0；II） 定出下標(biāo)集與： III） 檢查是否為空集，若是則停止迭代，并取塞為初始內(nèi)點(diǎn)，否則進(jìn)行下一步；IV) 以為初始點(diǎn)，解問題受約束于 令所得的這個(gè)問題的最優(yōu)解為，轉(zhuǎn)下一步；V） 令＝ (C可取為0．1一0．5，常取0．1亦可取0．02)，令k＝k+1，轉(zhuǎn)向步驟II）。但當(dāng)約束條件多而復(fù)雜時(shí)，要確定一個(gè)初始可行點(diǎn)也并不十分容易。2．2．1．2 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的迭代步驟：1) 取初始懲罰因子＞0(例如?。?)，允許誤差c＞0；2) 在可行域內(nèi)選取初始點(diǎn)，令k＝l；3) 從點(diǎn)出發(fā)用無(wú)約束最優(yōu)化方法求解： 的極值點(diǎn)X*()； 4) 檢驗(yàn)迭代終止準(zhǔn)則：如果滿足 和 則停止迭代計(jì)算，并以X*()為原目標(biāo)函數(shù)的約束最憂解，否則轉(zhuǎn)入下一步；5) ?。紺，＝X*()，k＝k+1，轉(zhuǎn)向步驟3）。為了取得約束面上的最優(yōu)解，在迭代過(guò)程中就要逐漸減小懲罰因子的值，直至為零，這樣才能迫使的極值點(diǎn)X*()收斂到原函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)X*。只要設(shè)計(jì)點(diǎn)x在探索過(guò)程中始終保持為可行點(diǎn)，則懲罰項(xiàng)必為正值，且當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)又由可行域內(nèi)部遠(yuǎn)離約束邊界處移向邊界()時(shí)，則懲罰項(xiàng)的值就要急劇增大并趨向無(wú)窮大，于是懲罰函數(shù)亦隨之急劇增大直至無(wú)窮大。2．2．1．1 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法原理對(duì)于目標(biāo)函數(shù)受約束于的最優(yōu)化問題，利用內(nèi)點(diǎn)法求解時(shí)．懲罰函數(shù)的一般表達(dá)式為 =或 =而對(duì)于受約束于的最優(yōu)化問題，其懲罰函數(shù)的一般表達(dá)式為 =或 =式中 ——懲罰因子，是遞減的正數(shù)序列。 （a） （b） 圖21 約束最優(yōu)解的解域?qū)ψ顑?yōu)解的影響 （a）行域?yàn)橥辜? （b）可行域?yàn)榉峭辜s束最優(yōu)化問題有解的條件為：(1)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)為連續(xù)、可微函數(shù)，且存在一個(gè)有界的可行域；(2)可行域應(yīng)是一個(gè)非空集，即存在滿足約束條件的點(diǎn)列：{（k=1，2，…）}。另外，只要由約束條件所決定的可行域是一個(gè)凸集，目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，其約束最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。無(wú)約束優(yōu)化問題指的是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍不加任何限制，無(wú)約束優(yōu)化問題的一般形式為：求n維設(shè)計(jì)變量 =[ …]T使目標(biāo)函數(shù)為 min x對(duì)X沒有任何限制。這樣，在求最優(yōu)解時(shí)的易難程度也就不一樣。目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值一般可用最小值(或最大值)的形式來(lái)體現(xiàn)，因此，最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)化表示為min .(subject to) v=1，2，…，p u=1，2，…，m建立數(shù)學(xué)模型是最優(yōu)化過(guò)程中非常重要的一步，數(shù)學(xué)模型直接影響設(shè)計(jì)效果。其設(shè)計(jì)原則是最優(yōu)設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)手段是電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算程序；設(shè)計(jì)方法是采用最優(yōu)化數(shù)學(xué)方法。② 為用戶提供輸入數(shù)學(xué)模型、選擇算法、確定初始操作參數(shù)、顯示運(yùn)行結(jié)果等一系列服務(wù)。然后利用文件編輯器編寫一個(gè)能返回函數(shù)值的m文件，即把函數(shù)表達(dá)式寫入MATLAB系統(tǒng)中，再在命令窗口調(diào)用優(yōu)化程序，就能得到優(yōu)化解。80年代中期，Mathworks公司將MATLAB投向市場(chǎng)。同時(shí), 現(xiàn)有的優(yōu)化軟件考慮軟件的擴(kuò)展性較少, 使用很不方便, 甚至無(wú)法求解。但現(xiàn)有許多通用的優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用軟件和專業(yè)聯(lián)系并不是十分緊密, 可視性、可操作性不是很好。另外還有一些與專業(yè)聯(lián)系緊密的優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件, 如減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件等, 主要是各應(yīng)用單位自行研制, 有很強(qiáng)的針對(duì)性。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)值計(jì)算尋優(yōu)方法的發(fā)展和推廣應(yīng)用，設(shè)計(jì)者在建立了優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，可通過(guò)各種語(yǔ)言編制優(yōu)化方法程序，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代計(jì)算求解。運(yùn)用該軟件可以幫助學(xué)生更好地理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過(guò)程，使抽象的問題具體化。